Ответы на билеты по предмету: Высшая математика (Пример)
Содержание
1. Ранг матрицы, минор матрицы.
2. Теорема о ранге матрицы.
3. Вычисление обратной матрицы. Метод Гаусса—Жордана. С помощью матрицы алгебраических дополнений. Использование LU/LUP-разложения. Метод Шульца.
4. Решение системы линейных уравнений.
5. Симметрические матрицы.
6. Положительно и отрицательно определенные матрицы.
7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
8. Характеристический многочлен.
9. Уравнение прямой на плоскости.
10. Уравнение плоскости в пространстве.
11. Производные и дифференциалы высших порядков.
12. Формула Тейлора.
13. Экстремумы функций, необходимые и достаточные условия экстремума.
14. Последовательности и ряды. Функциональная последовательность Равномерная сходимость. Функциональный ряд.
15. Числовые ряды.
16. Сходимость ряда, сумма ряда.
17. Критерий Коши сходимости ряда.
18. Признаки сходимости числовых рядов.
19. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
20. Примеры интегрируемых простейших дифференциальных уравнений.
21. Метод Эйлера приближенного решения начальной задачи Коши.
22. Метод наименьших квадратов.
23. Элементы теории графов, взвешенные ориентированные графы.
Выдержка из текста
1. Ранг матрицы, минор матрицы.
Рангом матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов).
Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля.
Ранг матрицы — Размерность образа dim (im (A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.
Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.
Определение Пусть A{m х n} — прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы A является:
ноль, если A — нулевая матрица;
число r ∈N∶ ∃M_r ≠ 0,∀M_(r+1)=0,где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_(r+1) — окаймляющий к нему минор порядка (r+1), если они существуют.
Теорема о корректности определения рангов. Пусть все миноры матрицы A(m x n) порядка k равны нулю (Mk =0).
Тогда Mk+1=0, если они существуют.
Связанные определения
Ранг матрицы A(m x n) называют полным, если rangA = min{m, n}.
Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где r = rangA.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)
Свойства:
Теорема (о базисном миноре): Пусть r=rangA,
Mr — базисный минор матрицы A, тогда:
базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
Если ранг матрицы равен r, то любые p:p>r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
Если A — квадратная матрица, и detA = 0, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
Пусть r = rangA, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Список использованной литературы
23. Элементы теории графов, взвешенные ориентированные графы.
Граф, или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G := (V, E), где V — это непустое множество вершин или узлов, а E — множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.
V (а значит и, E, иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов, поскольку не все утверждения, имеющие место для конечных совокупностей, выполняются в случае бесконечных множеств.
Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе |V| — порядком, число рёбер |E| — размером графа.
Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e={u,v}. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.
Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.
Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.
Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e={v,v}.
Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер (при этом петли считают дважды).
Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.
Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G:= (V, A), где V — непустое множество вершин или узлов, и A — множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведёт от вершины v к вершине w.
Граф называется:
• связным, если для любых вершин u,v есть путь из u в v.
• сильно связным или ориентировано-связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
• деревом, если он связный и не содержит нетривиальных циклов.
• полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
• двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 так, что всякое ребро соединяет вершину из V1 с вершиной из V2.
• k-дольным, если его вершины можно разбить на k непересекающихся подмножества V1, V2, …, Vk так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
• полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
• планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
• взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.
• хордальным, если граф не содержит индуцированных циклов с длиной больше трёх.
