Псевдочастотный анализ устойчивости разомкнутых дискретных систем автоматического управления: Теория, w-преобразование и практическая методология

Введение: Принципиальные особенности частотного анализа дискретных САУ

Современные системы автоматического управления (САУ) все чаще реализуются на базе микропроцессорных контроллеров, что переводит их из непрерывной (аналоговой) в дискретную (цифровую) область. Это неизбежно влечет за собой необходимость адаптации классических методов анализа устойчивости и динамики, разработанных для непрерывных систем. Частотный анализ, основанный на критериях Найквиста и Боде, является одним из наиболее мощных инструментов в теории автоматического управления (ТАУ). Однако его прямое применение к дискретным системам (ДСАУ) сталкивается с рядом фундаментальных математических и физических препятствий, которые мы должны преодолеть.

Дискретная система автоматического управления (ДСАУ) — это система, в которой сигналы управления обрабатываются и передаются не непрерывно, а лишь в строго определенные, дискретные моменты времени, с интервалом, равным периоду дискретизации $T$. Математическим языком, описывающим такие системы, является Z-преобразование (дискретный аналог преобразования Лапласа).

Z-преобразование переводит последовательность отсчетов сигнала $x[n]$ из временной области в функцию комплексной переменной $z$ по формуле:

X(z) = Σn=0∞ x[n] z-n

Используя этот аппарат, мы можем определить дискретную передаточную функцию разомкнутой системы $W(z)$ как отношение $z$-изображения выходной величины $Y(z)$ к $z$-изображению входной величины $X(z)$ при нулевых начальных условиях: $W(z) = Y(z)/X(z)$.

Периодичность и частота Найквиста

Принципиальная особенность частотного анализа ДСАУ заключается в том, что их частотные характеристики, в отличие от непрерывных систем, являются периодическими. Эта периодичность обусловлена явлением наложения спектров (алиасинга), возникающим при дискретизации, и имеет период $\omega₀ = 2\pi / T$, где $T$ — период дискретизации.

Вследствие этой периодичности, анализ характеристик достаточно проводить только в диапазоне частот от 0 до $\pi / T$.

Верхняя граница этого диапазона, $\omega_{\text{Н}} = \pi / T$, называется частотой Найквиста. Все, что происходит выше этой частоты, является лишь повторением уже исследованного диапазона. Это ограничение сужает область применимости классических частотных методов и усложняет интерпретацию результатов, поскольку область устойчивости в $z$-плоскости представляет собой единичный круг, что плохо коррелирует с удобными для анализа левой и правой полуплоскостями $s$-области. И что из этого следует? Для инженера это означает невозможность прямого использования привычных инструментов Боде для оценки запасов устойчивости, что требует введения математического моста.

Математический мост: Билинейное w-преобразование и псевдочастотная переменная

Чтобы обойти сложности, связанные с периодичностью частотных характеристик и неудобной формой области устойчивости в $z$-плоскости, инженеры и аналитики используют мощный математический инструмент — билинейное $w$-преобразование, также известное как $w$-преобразование Тастина.

Формула и свойства w-преобразования

Ключевая задача, которую решает $w$-преобразование, состоит в следующем: оно должно отобразить область устойчивости дискретной системы (внутренность единичного круга на $z$-плоскости) в область устойчивости непрерывной системы (левую полуплоскость переменной $w$).

Формула билинейного $w$-преобразования, связывающая переменную $z$ и переменную $w$ в размерном виде, выглядит так:

w = (2 / T) * ((z - 1) / (z + 1))

где $T$ — период дискретизации.

Это преобразование является конформным, что означает сохранение углов и формы при отображении. Главные свойства отображения:

1. Внутренность единичного круга $z$-плоскости (область устойчивости ДСАУ) отображается в левую полуплоскость $w$.
2. Внешность единичного круга $z$-плоскости (область неустойчивости ДСАУ) отображается в правую полуплоскость $w$.
3. Граница устойчивости (единичная окружность $|z|=1$) отображается на мнимую ось переменной $w$ ($w = j\Omega$).

Таким образом, передаточная функция разомкнутой дискретной системы $W_{\text{р}}(z)$ преобразуется в псевдонепрерывную передаточную функцию $W_{\text{р}}(w)$, для которой можно применять все классические методы анализа устойчивости. Какая важная практическая выгода кроется в этом? Возможность использовать привычный аппарат Найквиста и Боде без сложных пересчетов в $z$-области — это существенное упрощение инженерного проектирования.

Физический смысл и математическая нелинейность псевдочастоты $\Omega$

Для проведения частотного анализа в $w$-области необходимо перейти от комплексной переменной $w$ к чисто мнимой переменной $j\Omega$. Переменная $\Omega$ называется абсолютной псевдочастотой.

Переход к псевдочастотной переменной осуществляется путем подстановки $w = j\Omega$. Полученная функция $W_{\text{р}}(j\Omega)$ называется псевдочастотной передаточной функцией.

Связь между абсолютной псевдочастотой $\Omega$ и реальной круговой частотой $\omega$ устанавливается путем подстановки $z = e^{j\omega T}$ (границы устойчивости в $z$-плоскости) в формулу $w$-преобразования:

jΩ = (2 / T) * ((ejωT - 1) / (ejωT + 1))

После тригонометрических преобразований (используя формулу Эйлера и соотношения для тангенса половинного угла), мы получаем ключевое выражение:

Ω = (2 / T) * tan(ωT / 2)

Физический смысл псевдочастоты $\Omega$: Она является искусственно преобразованной переменной, которая позволяет сохранить математический аппарат частотного анализа. На низких частотах, когда $\omega T \ll 1$ (то есть, период дискретизации $T$ очень мал по сравнению с периодом сигнала), справедливо приближение $\tan(x) \approx x$. В этом случае:

Ω ≈ (2 / T) * (ωT / 2) = ω

Вывод: На низких частотах псевдочастота $\Omega$ практически совпадает с реальной круговой частотой $\omega$. Это позволяет использовать те же асимптотические методы построения логарифмических характеристик (методы Боде), что и для непрерывных систем.

Однако, по мере приближения реальной частоты $\omega$ к частоте Найквиста $\omega_{\text{Н}} = \pi / T$, аргумент тангенса приближается к $\pi/2$, и значение $\tan(\omega T / 2)$ стремится к бесконечности. Это приводит к нелинейному сжатию частотной оси: весь ограниченный диапазон реальных частот $[0, \pi/T]$ отображается на бесконечный диапазон псевдочастот $\Omega \in [0, \infty)$.

Разве не удивительно, что весь конечный диапазон рабочих частот системы при этом отображается на бесконечную псевдочастотную ось?

Реальная частота $\omega$	Аргумент $\omega T / 2$	Псевдочастота $\Omega$
$\omega \to 0$	$0$	$\Omega \to 0$
$\omega \to \omega_{\text{Н}}/2$	$\pi/4$	$\Omega = 2/T \cdot 1 = 2/T$
$\omega \to \omega_{\text{Н}} = \pi/T$	$\pi/2$	$\Omega \to \infty$

Это нелинейное сжатие является важным ограничением, которое необходимо учитывать: динамика системы на высоких частотах (близких к частоте Найквиста $\omega_{\text{Н}}$) будет отображаться на бесконечно удаленные участки ЛПФЧХ, что требует аккуратности при интерпретации.

Критерий устойчивости Найквиста и Логарифмические Псевдочастотные Характеристики (ЛПФЧХ)

После преобразования дискретной передаточной функции $W_{\text{р}}(z)$ в псевдочастотную $W_{\text{р}}(w)$, мы можем применить к ней хорошо разработанный аппарат частотного анализа. Для оценки устойчивости замкнутой ДСАУ по разомкнутой системе $W_{\text{р}}(w)$ используются псевдочастотные характеристики.

Адаптация критерия Найквиста для псевдочастотной области

Критерий устойчивости Найквиста — это графический критерий, позволяющий оценить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике (АФЧХ) разомкнутой системы.

Для разомкнутой дискретной САУ $W_{\text{р}}(w)$, преобразованной в $w$-область, АФЧХ называется амплитудно-фазовой псевдочастотной характеристикой (АПФЧХ) $W_{\text{р}}(j\Omega)$.

Формулировка критерия в псевдочастотной области:

Если разомкнутая система $W_{\text{р}}(w)$ устойчива (то есть, все ее полюсы лежат в левой полуплоскости $w$), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф $W_{\text{р}}(j\Omega)$ при изменении псевдочастоты $\Omega$ от $0$ до $\infty$ не охватывал критическую точку с координатами $(-1, j0)$.

Если разомкнутая система неустойчива и имеет $P$ полюсов в правой полуплоскости $w$, то для устойчивости замкнутой системы годограф должен совершить $N = P$ оборотов против часовой стрелки вокруг критической точки.

Алгоритм построения ЛПФЧХ (ЛАПЧХ и ЛФПЧХ)

На практике для оценки устойчивости удобнее использовать логарифмические псевдочастотные характеристики (ЛПФЧХ), которые включают:

1. Логарифмическую амплитудную псевдочастотную характеристику (ЛАПЧХ): $L(\Omega)$.
2. Логарифмическую фазовую псевдочастотную характеристику (ЛФПЧХ): $\varphi(\Omega)$.

Пошаговая методика построения ЛПФЧХ:

Шаг	Действие	Результат
1. Дискретизация	Преобразование непрерывной части САУ $W_{\text{c}}(s)$ в дискретную $W_{\text{c}}(z)$ с помощью заданного метода (например, ZOH). Определение полной передаточной функции разомкнутой ДСАУ $W_{\text{р}}(z)$.	$W_{\text{р}}(z)$
2. $w$-преобразование	Применение билинейного преобразования $z = \frac{1 + wT/2}{1 — wT/2}$ к $W_{\text{р}}(z)$ для получения псевдонепрерывной функции $W_{\text{р}}(w)$.	$W_{\text{р}}(w)$
3. Переход к $j\Omega$	Подстановка $w = j\Omega$ для получения псевдочастотной передаточной функции.	$W_{\text{р}}(j\Omega)$
4. Расчет ЛАПЧХ	Вычисление логарифма модуля $W_{\text{р}}(j\Omega)$ в децибелах.	$L(\Omega) = 20 \log_{\text{10}} |W_{\text{р}}(j\Omega)|$
5. Расчет ЛФПЧХ	Вычисление аргумента (фазы) $W_{\text{р}}(j\Omega)$ в градусах или радианах.	$\varphi(\Omega) = \arg [W_{\text{р}}(j\Omega)]$
6. Построение	Построение графиков $L(\Omega)$ и $\varphi(\Omega)$ в зависимости от $\log \Omega$.	Графики ЛПФЧХ

Этот алгоритм позволяет использовать все преимущества асимптотического метода построения Боде (быстрое построение по типовым звеньям), поскольку в $w$-области система описывается дробно-рациональной функцией, аналогичной непрерывной.

Методика оценки запасов устойчивости ДСАУ по ЛПФЧХ

ЛПФЧХ используются не только для качественной оценки устойчивости (охватывает / не охватывает), но и для количественной оценки запасов устойчивости. Запасы устойчивости — это ключевые показатели качества регулирования, характеризующие удаленность частотной характеристики разомкнутой системы от критической точки $(-1, j0)$. Чем больше запасы, тем меньше система чувствительна к вариациям параметров и тем более гладким и стабильным будет переходный процесс.

Оценка запасов устойчивости производится на основе двух критических точек на ЛПФЧХ:

Запас устойчивости по модулю $\Delta A$

Запас устойчивости по модулю ($\Delta A$ или $h$) показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, не нарушая при этом устойчивость замкнутой системы. Это прямое следствие применения критерия Найквиста.

1. Определение критической псевдочастоты $\Omega_{\text{кр}}$: Находим на графике ЛФПЧХ псевдочастоту $\Omega_{\text{кр}}$, при которой фаза равна $-180^{\circ}$ (или $-\pi$ радиан):
   φ(Ωкр) = -180°
2. Расчет запаса по модулю: Определяем значение ЛАПЧХ $L(\Omega)$ на этой критической частоте. Запас устойчивости по модулю $\Delta A_{\text{дБ}}$ равен отрицательному значению ЛАПЧХ на $\Omega_{\text{кр}}$:
   ΔAдБ = -L(Ωкр) (в дБ)
   Линейный запас по модулю $h$ определяется как обратная величина модуля псевдочастотной передаточной функции на критической частоте: $h = 1 / |W_{\text{р}}(j\Omega_{\text{кр}})|$. Для устойчивости необходимо, чтобы $\Delta A_{\text{дБ}} > 0$ дБ (или $h > 1$).

Запас устойчивости по фазе $\Delta\varphi$

Запас устойчивости по фазе ($\Delta\varphi$ или $\mu$) показывает, насколько еще может измениться фаза системы (запаздывание) на частоте среза, прежде чем система потеряет устойчивость.

1. Определение псевдочастоты среза $\Omega_{\text{с}}$: Находим на графике ЛАПЧХ псевдочастоту среза $\Omega_{\text{с}}$, при которой модуль передаточной функции равен единице, а ЛАПЧХ равна 0 дБ:
   L(Ωс) = 20 log10 |Wр(jΩс)| = 0 дБ
2. Расчет запаса по фазе: Определяем значение ЛФПЧХ $\varphi(\Omega)$ на частоте среза $\Omega_{\text{с}}$. Запас по фазе $\Delta\varphi$ определяется как угол, на который фаза отличается от $-180^{\circ}$:
   Δφ = 180° + φ(Ωс) (в градусах)
   Для устойчивости необходимо, чтобы $\Delta\varphi > 0$.

Практические рекомендации по запасам устойчивости:

Оценка запасов — это не только проверка устойчивости, но и прогноз качества динамики. Для обеспечения стабильной работы и приемлемого переходного процесса в большинстве инженерных задач рекомендуется придерживаться следующих диапазонов:

• Запас по модулю: $\Delta A_{\text{дБ}} \in [6, 12]$ дБ. Слишком большой запас может привести к медленному переходному процессу, уменьшая быстродействие.
• Запас по фазе: $\Delta\varphi \in [30^{\circ}, 60^{\circ}]$. Оптимальный запас по фазе обеспечивает малое перерегулирование, что критически важно для точности регулирования.

Инженерный инструмент: Численный анализ ЛПФЧХ в среде MATLAB

Ручной расчет ЛПФЧХ, особенно для систем высокого порядка, является трудоемким. Современный инженерный анализ полностью опирается на численные инструменты, в первую очередь, на пакет Control System Toolbox (CST) в среде MATLAB.

MATLAB позволяет автоматизировать все шаги псевдочастотного анализа: от дискретизации до построения характеристик и оценки запасов устойчивости.

Задание дискретной системы и w-преобразование

Для начала работы необходимо задать передаточную функцию системы.

1. Задание дискретной передаточной функции $W(z)$:
   Дискретная передаточная функция задается с помощью команды tf, где указываются векторы коэффициентов числителя (num) и знаменателя (den), а также период дискретизации (Ts):

   % Пример: W(z) = (0.5z + 1) / (z^2 - 1.5z + 0.7) при T = 0.1 с
   Ts = 0.1;
   num_z = [0.5, 1];
   den_z = [1, -1.5, 0.7];
   sys_z = tf(num_z, den_z, Ts);

2. Реализация билинейного $w$-преобразования Тастина:
   Если система изначально задана в непрерывной форме $W(s)$, для ее перевода в дискретную $W(z)$ и одновременного анализа в $w$-области используется команда c2d (Continuous to Discrete) с указанием метода 'tustin'.

   Хотя MATLAB не создает явно объект $W(w)$, команда c2d(..., 'tustin') применительно к непрерывной системе $W_{\text{c}}(s)$ математически эквивалентна замене $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$ и далее $z$-преобразованию. Однако для построения ЛПФЧХ часто используют прямое преобразование $W(s)$ в $W(z)$ с помощью c2d(..., 'zoh') (Zero-Order Hold) и последующее построение частотных характеристик для $W(z), в котором MATLAB неявно использует $w$-преобразование для корректного отображения.

   Важно: Для систем, уже заданных в $z$-области, MATLAB автоматически интерпретирует команду bode как построение псевдочастотных характеристик, используя $w$-преобразование для преобразования оси частот, что позволяет напрямую оценить запасы устойчивости.

Построение характеристик и анализ

Для построения ЛПФЧХ и годографа Найквиста используются стандартные команды, применимые к любому LTI-объекту (Linear Time Invariant), включая дискретные системы.

Команда	Назначение
bode(sys_z)	Автоматически строит ЛАПЧХ ($L(\Omega)$) и ЛФПЧХ ($\varphi(\Omega)$) для дискретной системы sys_z.
nyquist(sys_z)	Строит амплитудно-фазовый годограф $W_{\text{р}}(j\Omega)$ и отображает критическую точку $(-1, j0)$.
margin(sys_z)	Выводит численные значения запасов устойчивости: $\Delta A_{\text{дБ}}$, $\Delta\varphi$, $\Omega_{\text{с}}$ и $\Omega_{\text{кр}}$.

Использование команды margin является наиболее быстрым и точным способом получения запасов устойчивости, что является обязательным требованием при выполнении расчетно-графических работ.

Заключение

Псевдочастотный анализ является краеугольным камнем в теории устойчивости дискретных систем автоматического управления. Невозможность прямого применения классического частотного анализа Найквиста и Боде к $z$-области преодолевается с помощью билинейного $w$-преобразования Тастина.

Этот математический мост позволяет отобразить сложную для анализа область устойчивости (единичный круг) в привычную левую полуплоскость, вводя при этом понятие псевдочастоты $\Omega$. Несмотря на нелинейный характер связи между $\Omega$ и реальной частотой $\omega$, на низких частотах их совпадение позволяет сохранить эффективность асимптотических методов построения ЛПФЧХ.

Строгая методология построения ЛПФЧХ, включающая определение критической псевдочастоты $\Omega_{\text{кр}}$ и частоты среза $\Omega_{\text{с}}$, позволяет количественно оценить за��асы устойчивости по модулю $\Delta A$ и по фазе $\Delta\varphi$. Эти запасы являются жизненно важными показателями, обеспечивающими не только устойчивость, но и приемлемое качество переходного процесса проектируемой ДСАУ. Внедрение современных численных инструментов, таких как пакет MATLAB, делает этот анализ быстрым, точным и незаменимым элементом современного инженерного проектирования цифровых систем управления.

Список использованной литературы

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт. / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
2. Основы теории управления. Часть 2: Конспект лекций / Л.А. Ванеева, Е.Э. Страшинин, А.В. Цветков. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. 69 с.
3. Поляков, К. Ю. Основы теории цифровых систем управления: учеб. пособие. Санкт-Петербург: СПбГМТУ, 2006. 161 с.
4. Построение частотных характеристик в matlab. URL: tpu.ru (Дата обращения: 22.10.2025).
5. Синтез дискретных систем / Chechurin.com. 2020. URL: chechurin.com (Дата обращения: 22.10.2025).