Эволюция концепции движения в геометрии: от античности до современных интерпретаций

Понятие движения, на первый взгляд интуитивно простое и понятное каждому человеку, на протяжении тысячелетий служило одним из самых мощных и плодотворных инструментов в арсенале математиков. Оно стало тем невидимым потоком, который пронизывает всю историю геометрии, преобразуя ее из набора эмпирических правил в строгую аксиоматическую систему и далее — в абстрактные алгебраические структуры. От древнегреческих попыток доказать равенство фигур путем их «совмещения» до современных теорий относительности, где движение формирует саму ткань пространства-времени, эта концепция претерпела колоссальную эволюцию. Каковы же ключевые этапы этого развития и как они повлияли на наше понимание мира?

Данный реферат призван проследить эту увлекательную траекторию развития, погружаясь в исторический контекст и вклад ключевых мыслителей. Мы начнем с истоков евклидовой геометрии, затем перейдем к революционным неевклидовым системам, которые кардинально изменили наше понимание пространства, и завершим наш путь в сферах дифференциальной геометрии, топологии и современной физики. Понимание этой эволюции является ключом к глубокому осмыслению как самих математических принципов, так и их актуальности в динамично развивающемся мире науки и технологий.

Зарождение идеи движения в классической евклидовой геометрии: Античность и Новое время

Концепция движения, хотя и не всегда эксплицитно выраженная, лежит в основе развития классической евклидовой геометрии. Именно она позволяла древним мыслителям сравнивать фигуры, доказывать их равенство и исследовать свойства пространства задолго до появления строгих аксиоматических систем.

Фалес Милетский: Пионер использования движения в доказательствах

В VI веке до нашей эры, когда геометрия только начинала свой путь от свода практических правил к подлинной науке, древнегреческий мыслитель Фалес Милетский (625–547 гг. до н.э.) стал одним из первых, кто начал использовать идею движения в своих доказательствах. Его подход заключался в преобразовании фигур таким образом, чтобы они сохраняли расстояния между точками, что по сути является определением движения.

Фалес продемонстрировал, что равенство вертикальных углов, образующихся при пересечении двух прямых, можно доказать с помощью осевой симметрии. Представьте две пересекающиеся прямые. Если мы «отразим» одну из прямых относительно точки пересечения, то углы, расположенные напротив друг друга, идеально совместятся, доказывая их равенство. Аналогично, он использовал осевую симметрию для доказательства равенства углов при основании равнобедренного треугольника: если перевернуть треугольник относительно его оси симметрии (биссектрисы угла при вершине), две равные стороны и прилежащие к ним углы совпадут.

Кроме того, Фалесу приписывается доказательство равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Он также применил параллельный перенос — еще один вид движения — для доказательства теоремы, носящей его имя. Теорема Фалеса утверждает, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки. Эти ранние примеры использования движения были фундаментом для превращения геометрии из набора рецептов в дедуктивную науку, которую Фалес, по преданию, принес из Египта в Грецию.

Евклид: Неявное движение в «Началах» и вызовы формализации

Спустя несколько столетий, в III веке до нашей эры, Евклид систематизировал накопленные геометрические знания в своем фундаментальном труде «Начала». Хотя его система аксиом стала краеугольным камнем евклидовой геометрии, само понятие движения в ней не было формализовано как отдельная аксиома. Тем не менее, Евклид активно использовал идею движения неявно, особенно в постулате о том, что «всякие две равные фигуры могут быть совмещены». Этот постулат, по сути, является прямым отсылом к возможности перемещения фигур без изменения их формы и размера.

Наиболее яркий пример такого неявного использования — это доказательство равенства треугольников методом наложения. Для Евклида, если две фигуры могли быть «наложены» друг на друга так, чтобы они полностью совпали, они считались равными. Этот процесс наложения, очевидно, представляет собой последовательность движений (переносов и поворотов). Впоследствии, когда математики начали строить более строгие аксиоматические системы, отсутствие явных аксиом движения у Евклида стало предметом внимания. Давид Гильберт, в своей знаменитой аксиоматике элементарной геометрии, заменил это неявное использование движения группой «аксиом конгруэнтности», которые строго определяют свойства равенства фигур без необходимости физического «перемещения». Это позволило избежать смешения «высокой» геометрии с «низкой» механикой, как, возможно, стремился Евклид, подчеркивая абстрактность математических построений.

Кавальери и Шаль: Расширение понимания движения в Новое время

В XVII веке, в эпоху бурного развития математики, появились новые подходы к пониманию геометрических объектов и их преобразований. Важную роль в этом сыграл итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598–1647), профессор математики Болонского университета. В своем сочинении «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» он представил революционный взгляд на площади и объемы.

Согласно принципу Кавальери, плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий (неделимых), а тела — как образованные при движении плоскостей. Этот принцип утверждает, что если два тела имеют одинаковую высоту, и если площади их сечений на любой заданной высоте равны, то объёмы этих тел также равны. Этот подход является интуитивным предтечей интегрального исчисления, где площадь рассматривается как сумма бесконечно тонких отрезков, а объём — как сумма бесконечно тонких площадей. Хотя Кавальери не использовал современные понятия интеграла, его метод «неделимых» по сути демонстрировал, как непрерывное движение порождает геометрические величины, и как эти величины можно сравнивать.

Таблица 1: Принцип Кавальери в сравнении с интегральным исчислением

Аспект	Принцип Кавальери	Интегральное исчисление
Фигура/Тело	Совокупность «неделимых» (линий или плоскостей)	Предел сумм бесконечно малых элементов
Площадь	Сумма длин отрезков	Интеграл от функции длины
Объём	Сумма площадей сечений	Интеграл от функции площади
Движение	Интуитивное формирование фигуры движением плоскостей	Неявно в процессе суммирования
Пример	Сравнение объёмов цилиндра и косого цилиндра	Вычисление площадей и объёмов с помощью определённого интеграла

В XIX веке французский геометр и историк науки Мишель Шаль (1793–1880) внес значительный вклад в развитие теоретической кинематики и кинематической геометрии. В своей работе «Исторический очерк о возникновении и развитии методов в геометрии», опубликованной в 1837 году, Шаль не только систематизировал исторические данные, но и развивал направление синтетической проективной геометрии. Он глубоко изучал движение как фундаментальную концепцию, даже определяя машину как «аппарат, передающий движение», что подчеркивает его междисциплинарный подход и стремление к теоретическому осмыслению физических явлений через призму геометрии. Его работы стали важным шагом к более строгому и систематическому изучению движения в математике.

Революция неевклидовых геометрий: Переосмысление пространства и движения

Исторический путь геометрии не был линейным. XIX век принес с собой революционные открытия, которые навсегда изменили наше представление о пространстве и движении. Появление неевклидовых геометрий стало мощным интеллектуальным вызовом, заставившим пересмотреть фундаментальные аксиомы и постулаты.

Геометрия Лобачевского: Отказ от пятого постулата и новые свойства движения

Геометрия Лобачевского, разработанная русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792–1856) и независимо от него венгерским математиком Яношем Бойяи, стала первой геометрической системой, кардинально отличающейся от евклидовой. Она строится на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением одной — аксиомы о параллельных. В то время как Евклид утверждал, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, Лобачевский постулировал, что таких прямых бесконечно много.

Этот, казалось бы, небольшой отказ от пятого постулата имел глубочайшие последствия для свойств пространства и движения в нем. Движения в геометрии Лобачевского, как и в евклидовой, определяются как преобразования, сохраняющие расстояния (изометрии). Однако из-за иной структуры пространства некоторые другие инварианты меняются. Например, в отличие от евклидовой геометрии, где сумма углов треугольника всегда равна 180°, на плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Более того, площадь треугольника здесь пропорциональна его дефекту — разности между 180° и суммой его углов. Зачем нам знать об этом дефекте? Потому что он напрямую показывает, насколько сильно пространство отличается от привычного евклидова, и даёт количественную оценку этой разницы.

Формула для площади S треугольника с углами α, β, γ на плоскости Лобачевского имеет вид:

S = k2 (π - (α + β + γ))

где k — постоянная, характеризующая кривизну пространства Лобачевского, а (π — (α + β + γ)) — есть дефект треугольника. Чем больше «недостача» углов до 180°, тем больше площадь треугольника.

Несмотря на эти отличия, математики обнаружили, что любое движение плоскости Лобачевского может быть представлено как композиция не более трех симметрий, что демонстрирует глубокие алгебраические связи между движениями и группами преобразований. Важность геометрии Лобачевского заключается не только в ее внутренней красоте, но и в том, что она доказала, что евклидова геометрия не является единственно возможной или единственно «истинной» для описания физического пространства. Более того, евклидова геометрия может быть рассмотрена как предельный случай геометрии Лобачевского, когда постоянная кривизны k стремится к бесконечности.

Эудженио Бельтрами, итальянский математик, дал важную интерпретацию геометрии Лобачевского, сопоставив движению плоскости Лобачевского перемещение фигуры по псевдосфере — поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Позднее Феликс Клейн и Анри Пуанкаре разработали свои знаменитые модели геометрии Лобачевского (модель Клейна в круге и модель Пуанкаре в круге или на полуплоскости), которые доказали ее непротиворечивость, показав, что если евклидова геометрия непротиворечива, то и геометрия Лобачевского тоже.

Общие черты и различия движений в евклидовых и неевклидовых пространствах

Несмотря на их радикальные различия, евклидовы и неевклидовы геометрии имеют общие аксиомы движения в том смысле, что во всех этих пространствах движения определяются как преобразования, сохраняющие расстояния между точками. Это фундаментальное свойство — изометрия — является универсальным для всех геометрических систем, где определено понятие расстояния.

Однако ключевые различия проявляются в других инвариантах, то есть в тех свойствах, которые сохраняются при движениях, помимо расстояний.

Таблица 2: Сравнение инвариантов движений в различных геометриях

Свойство	Евклидова геометрия	Геометрия Лобачевского	Геометрия Римана (сфера)
Сохранение расстояний	Да (изометрия)	Да (изометрия)	Да (изометрия)
Сохранение углов	Да	Да	Да
Сумма углов треугольника	Равна 180°	Меньше 180°	Больше 180°
Кривизна пространства	Нулевая (плоское)	Отрицательная (гиперболическое)	Положительная (эллиптическое)
Инварианты, сохраняемые движениями	Расстояния, углы, параллельность	Расстояния, углы, кривизна (локально)	Расстояния, углы, кривизна (локально)

В евклидовом пространстве, которое является «плоским» (имеет нулевую кривизну), движения сохраняют не только расстояния и углы, но и, например, параллельность прямых. В геометриях Лобачевского и Римана (эллиптическая геометрия), которые обладают постоянной отрицательной и положительной кривизной соответственно, движения также сохраняют расстояния и углы. Однако параллельность прямых в них определяется иначе, а ключевым инвариантом при движениях, помимо метрических характеристик, является сама кривизна пространства. Это означает, что локальные геометрические свойства, связанные с кривизной, остаются неизменными при изометрических преобразованиях. Появление неевклидовых геометрий показало, что аксиома о параллельных является независимой, и что могут существовать математически непротиворечивые описания пространств с совершенно иными геометрическими свойствами.

Формализация и абстрагирование: Движение в дифференциальной геометрии и топологии

С течением времени, концепция движения в геометрии становилась все более абстрактной и строго формализованной. Развитие алгебры и теории групп позволило математикам систематизировать и обобщить понятие преобразований, а вместе с ним и движений.

Эрлангенская программа Клейна и аксиоматика Гильберта

В 1872 году Феликс Клейн (1849–1925) представил свою знаменитую Эрлангенскую программу, которая стала поворотным моментом в истории геометрии. Клейн предложил революционный подход: изучать геометрию не как набор фигур и их свойств, а как исследование пространств относительно определенной группы преобразований, сохраняющих те или иные свойства. Таким образом, каждая геометрия определяется своей группой преобразований. Например, евклидова геометрия — это изучение свойств фигур, инвариантных относительно группы движений (изометрий), которые включают переносы, повороты и отражения.

В рамках Эрлангенской программы Клейн предложил, что равенство фигур на плоскости может быть установлено с помощью групп движений. Если одну фигуру можно перевести в другую с помощью преобразования из группы движений, то они считаются равными (конгруэнтными). Этот подход обеспечил мощный аппарат для классификации различных геометрий и подчеркнул центральную роль групп преобразований.

Параллельно с этим, в начале XX века, Давид Гильберт (1862–1943) предпринял попытку создать первую строгую аксиоматику элементарной геометрии, свободную от интуитивных представлений и неявных допущений. В его системе аксиом, опубликованной в 1899 году, неявное использование движения Евклидом (метода наложения) было заменено специальной группой «аксиом конгруэнтности». Эти аксиомы строго определяют отношения равенства отрезков и углов, а также возможность их «откладывания», без обращения к физическому перемещению. Таким образом, Гильберт обеспечил логическую строгость, формализовав то, что ранее было лишь интуитивным представлением о движении.

Движение как изометрия и роль теории групп

В современной математике концепция движения приобрела более абстрактный и строгий смысл. Движение в геометрии понимается как изометрия — преобразование пространства, которое сохраняет расстояния между любыми двумя точками. В евклидовых пространствах изометрии также сохраняют углы между прямыми. Группа всех изометрий пространства называется группой движений этого пространства.

Ключевую роль в систематизации и изучении свойств движений играет теория групп. Теория групп, в значительной степени развитая такими математиками, как Эварист Галуа и Софус Ли, предоставляет мощный алгебраический аппарат для описания симметрий и преобразований. Группы преобразований играют фундаментальную роль в различных разделах математики, включая геометрию, топологию, алгебру и анализ.

В дифференциальной геометрии, изучающей криволинейные пространства, движения также рассматриваются как изометрии, но с учетом локальной структуры пространства. Здесь движения тесно связаны с симметриями пространства. Например, в пространстве постоянной кривизны (евклидово, Лобачевского, Римана) движения сохраняют эту кривизну как инвариант. Это означает, что, хотя расстояния и углы остаются неизменными, сама «форма» пространства (его кривизна) является характеристикой, которая не меняется при изометрических преобразованиях. Теория групп Ли, созданная Софусом Ли, систематизировала исследования в области непрерывных групп преобразований, которые описывают движения в более сложных, гладких пространствах, оказав глубокое влияние на основания геометрии и топологии. Этот подход позволяет не только описывать известные геометрии, но и конструировать новые, исходя из свойств групп их движений.

Движение в n-мерных и псевдоевклидовых пространствах: Математические инструменты и теории

Расширение геометрического аппарата в XIX и XX веках привело к изучению пространств с более сложной структурой, таких как n-мерные и псевдоевклидовы пространства. Это потребовало разработки новых математических инструментов и теорий для описания движения.

Свойства движений в псевдоевклидовых пространствах

Псевдоевклидово пространство — это обобщение евклидова пространства, где скалярное произведение не является положительно определённым. То есть, квадрат «длины» вектора может быть не только положительным, но и отрицательным или даже равным нулю, даже если сам вектор не является нулевым. Классический пример — пространство Минковского в специальной теории относительности, где скалярное произведение имеет сигнатуру (3,1) или (1,3), что соответствует трем пространственным и одной временной координате.

В псевдоевклидовом пространстве движение (изометрия) также определяется как преобразование, которое сохраняет скалярное произведение между любыми двумя векторами, а следовательно, и «расстояния» (точнее, интервалы) и углы. Группа таких движений также образует группу. Эти движения классифицируются на движения первого и второго рода в зависимости от определителя их аффинного преобразования:

• Движения первого рода соответствуют преобразованиям с определителем аффинного преобразования, равным +1. Они сохраняют ориентацию пространства и не включают «отражений». Примерами могут служить переносы и «повороты» (в данном случае, преобразования Лоренца).
• Движения второго рода соответствуют преобразованиям с определителем аффинного преобразования, равным -1. Эти движения включают отражения или инверсии, которые меняют ориентацию пространства.

В псевдоевклидовом пространстве с сигнатурой (n-1, 1), как, например, пространство Минковского, существуют особые направления, называемые изотропными или нулевыми. Эти направления характеризуются тем, что «длина» вектора в этом направлении равна нулю, несмотря на то, что сам вектор не является нулевым. В физике такие направления соответствуют распространению света, поэтому их часто называют светоподобными. Эти уникальные свойства псевдоевклидовых пространств имеют глубокие физические интерпретации и лежат в основе релятивистской механики.

Применение координатного метода и теория групп Ли

Универсальность координатного метода, введенного Декартом и Ферма в XVII веке, проявилась в полной мере при описании движений в n-мерных и псевдоевклидовых пространствах. Геометрические преобразования фигур и пространств выражаются через координатные преобразования, что позволяет использовать аппарат линейной алгебры и анализа. Любое движение в таком пространстве может быть представлено матрицей и вектором смещения.

Например, изометрическое преобразование f (перенос, поворот, отражение) в n-мерном пространстве можно записать как:

x' = A x + b

где x — исходный вектор координат точки, x’ — вектор координат преобразованной точки, A — ортогональная матрица, соответствующая вращению или отражению, и b — вектор переноса.

В контексте n-мерных пространств и псевдоевклидовых пространств особую значимость приобретает теория групп Ли, разработанная норвежским математиком Софусом Ли (1842–1899). Группы Ли — это непрерывные группы преобразований, которые также являются дифференцируемыми многообразиями. Они позволяют изучать движения, которые могут быть сколь угодно малыми, и описывать их с помощью дифференциальных уравнений. Теория групп Ли оказала глубокое влияние на развитие оснований геометрии, топологии, а также на теоретическую физику, став мощным инструментом для анализа симметрий в различных математических и физических системах.

При переходе от одной системы отсчета к другой в физике, например, при изучении движения наблюдателей или объектов, физик фактически использует геометрическое преобразование, которое может быть рассмотрено как движение в математическом смысле. Таким образом, математический аппарат движений становится неотъемлемой частью описания физической реальности.

Современные интерпретации и практические применения понятия движения

Сегодня концепция движения продолжает оставаться фундаментальной как в чистой математике, так и в прикладных областях, претерпевая новые интерпретации и находя неожиданные применения.

Движение в физике: Специальная и Общая теории относительности

Взаимосвязь между движением в физике и геометрией наиболее ярко проявляется в теориях относительности Альберта Эйнштейна. Движение является центральным понятием как в классической механике, где оно описывается через уравнения координат, скорости и ускорения, так и в более сложных физических моделях.

• Специальная теория относительности (СТО), разработанная Эйнштейном в 1905 году, описывает движение, законы механики и пространственно-временные отношения при скоростях, сравнимых со скоростью света. В СТО вводится четырехмерное пространство-время, известное как пространство Минковского, где три измерения являются пространственными, а одно — временным. Движения в этом пространстве описываются преобразованиями Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе между инерциальными системами отсчета. Анри Пуанкаре первым показал, что преобразования Лоренца можно геометрически представить как повороты в четырехмерном пространстве-времени и что они образуют группу, тем самым подчеркнув их глубокую геометрическую природу. Удивительно, но геометрия Лобачевского, как было обнаружено, находит прямое применение в кинематике частной теории относительности, где скорости можно интерпретировать как точки на гиперболической плоскости.
• Общая теория относительности (ОТО), представленная Эйнштейном в 1915 году, идет еще дальше, объясняя гравитацию не как силу, а как проявление геометрических свойств самого пространства и времени. В ОТО пространство-время становится не плоским, а искривленным под воздействием массы и энергии. Распределение массы и энергии определяет геометрические свойства этого искривленного пространства-времени, в котором затем происходит движение материи. Например, планеты движутся вокруг Солнца не потому, что их притягивает гравитационная сила, а потому, что они следуют по кратчайшим путям (геодезическим линиям) в искривленном пространстве-времени, созданном массой Солнца. Таким образом, движение объекта является прямым следствием геометрии, а геометрия, в свою очередь, определяется распределением материи и энергии.

Прикладное значение концепции движения в современных технологиях

Изучение движения в геометрии имеет не только глубокий теоретический интерес, но и огромное практическое значение для современной науки и техники.

• Робототехника: В этой области концепция движения является центральной для планирования траекторий движения манипуляторов, колесных роботов и других автономных систем. Алгоритмы, основанные на геометрических преобразованиях (переносы, повороты, масштабирование), позволяют роботам избегать препятствий, выполнять сложные задачи и взаимодействовать с окружающей средой. Например, для определения оптимальной траектории движения руки робота могут использоваться методы дифференциальной геометрии, позволяющие находить кратчайшие пути в конфигурационном пространстве робота.
• Компьютерная графика и анимация: В компьютерной графике все перемещения объектов, камер и виртуальных персонажей моделируются с помощью геометрических движений. Преобразования вращения, масштабирования и переноса применяются к координатам вершин 3D-моделей для создания реалистичных анимаций и интерактивных сцен. Понимание групп преобразований позволяет разработчикам создавать сложные и плавные движения, а также управлять перспективой и освещением.
• Навигационные системы: От GPS-приемников до систем автономного вождения, навигационные технологии активно используют принципы геометрического движения. Расчет оптимальных маршрутов, определение положения объектов в пространстве, коррекция дрейфа — все это задачи, решаемые с помощью математического аппарата, основанного на геометрии и преобразованиях. Например, для точного позиционирования используются преобразования координат из одной системы отсчета в другую, учитывающие вращение Земли и другие факторы.
• Компьютерное зрение и анализ данных: В области компьютерного зрения движение объектов в видеопотоке анализируется с помощью методов геометрических преобразований для отслеживания, распознавания образов и реконструкции 3D-сцен. В анализе данных, особенно в задачах машинного обучения, преобразования данных (например, для уменьшения размерности или нормализации) также могут быть интерпретированы как геометрические движения в многомерных пространствах.

Эти примеры демонстрируют, как глубокие теоретические исследования в области геометрии и ее концепции движения находят свое воплощение в реальных технологиях, формируя основу для инноваций в самых разных сферах человеческой деятельности.

Заключение

Путешествие по истории концепции движения в геометрии раскрывает перед нами одну из самых захватывающих и плодотворных глав в развитии математической мысли. От интуитивных представлений древних греков, таких как Фалес, который с помощью осевой симметрии и параллельного переноса заложил основы доказательств, до неявного, но вездесущего «совмещения» фигур у Евклида — движение всегда служило мощным инструментом для понимания пространственных отношений. В Новое время Кавальери, с его принципом «неделимых», предвосхитил идеи интегрального исчисления, а Шаль систематизировал кинематическую геометрию, демонстрируя, как движение может порождать и определять геометрические объекты.

Настоящая революция произошла с появлением неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана, которые показали, что наше интуитивное евклидово пространство — лишь один из множества возможных миров. В этих новых геометриях движения, сохраняя расстояния, приводили к совершенно иным инвариантам, таким как дефект треугольника, пропорциональный площади на плоскости Лобачевского. Этот прорыв заставил математиков переосмыслить фундаментальные аксиомы и привел к формализации понятия движения через группы преобразований.

Эрлангенская программа Клейна связала геометрию с группами, а аксиоматика Гильберта строго определила конгруэнтность, превратив движение в строгую изометрию. Теория групп Ли стала универсальным языком для описания движений в n-мерных и псевдоевклидовых пространствах, включая пространства Минковского, где движения первого и второго рода имеют глубокие физические интерпретации.

Сегодня концепция движения является краеугольным камнем не только в математике, но и в современной физике, особенно в теориях относительности, где она формирует саму ткань пространства-времени. Ее прикладное значение огромно, простираясь от робототехники и компьютерной графики до навигационных систем и передовых методов анализа данных. Таким образом, эволюция понятия движения в геометрии — это история непрерывного углубления понимания мира, перехода от конкретного к абстрактному, от интуиции к строгой формализации, демонстрирующая непреходящую мощь математики в раскрытии тайн бытия и в создании технологий будущего.

Список использованной литературы

1. Рыбников, К. А. История математики. 2-е изд. Москва, 1974.
2. Хрестоматия по истории математики / под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1977.
3. Болгарский, Б. В. Очерки по истории математики. 2-е изд. Минск : Вышэйшая школа, 1979.
4. Колмогоров, А. Н. Математика // Большая Советская энциклопедия. 2-е изд. Москва, 1954. Т. 26. URL: http://www.kolmogorov.info/bse-mathimatic.html
5. Райк, А. Е. Очерки по истории математики в древности. 2-е изд. Саранск, 1977.
6. История развития движений. URL: https://studwood.ru/2059345/matematika/istoriya_razvitiya_dvizheniy (дата обращения: 18.10.2025).
7. Теория групп преобразований: в 3 ч. Ч. 3. URL: https://shop.rcd.ru/book/teoriya-grupp-preobrazovaniy-v-3-h-chastyah-chast-3/ (дата обращения: 18.10.2025).
8. Теория групп преобразований. Ч. 1. URL: https://totbook.ru/catalog/133642/ (дата обращения: 18.10.2025).
9. Теорема Фалеса. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/teorema-falesa (дата обращения: 18.10.2025).
10. Геометрия 8 класс: Теорема Фалеса (Немного истории). URL: https://dist-tutor.info/geometriya-8-klass-teorema-falesa-nemnogo-istorii/ (дата обращения: 18.10.2025).