Динамика и Пассивная Устойчивость Космического Аппарата на Участке Свободного Полета: Инженерно-Математический Анализ

Введение: Постановка Задачи и Актуальность Анализа

Фаза пассивного полета космического аппарата (КА), начинающаяся сразу после отделения от последней ступени ракеты-носителя (РН) или разгонного блока, является критически важным этапом, определяющим точность последующего выведения на орбиту или баллистического спуска. В отличие от активных участков, где доминирует тяга двигателей, в фазе пассивного полета движение КА полностью подчиняется законам небесной механики и динамики твердого тела под действием внешних и внутренних сил, не связанных с непосредственным управлением.

Цель настоящей работы — дать исчерпывающее математическое и физическое описание движения кабины КА на этом участке, разделив анализ на две фундаментальные, но взаимосвязанные части:

1. Поступательное движение центра масс (ЦМ) — определение траектории под действием гравитации и возмущающих сил.
2. Вращательное движение относительно центра масс — анализ углового состояния КА и условий его пассивной устойчивости.

Структура работы построена на синтезе классических принципов теоретической механики (Теорема о движении ЦМ, Уравнения Эйлера-Пуансо) и специализированных моделей динамики полета, что позволяет обеспечить необходимую академическую глубину и техническую точность, соответствующую уровню инженерно-технического анализа, который необходим для верификации баллистических расчетов.

Теория Поступательного Движения: Задача Двух Тел с Учетом Возмущений

Поступательное движение любого твердого тела, включая космический аппарат, описывается фундаментальным принципом динамики, известным как теорема о движении центра масс. Эта теорема гласит, что центр масс движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса тела, а на эту точку действует главный вектор всех внешних сил. Инверсия порядка слов позволяет акцентировать внимание на том, что для точного анализа динамики КА необходимо использовать именно этот фундаментальный принцип.

Математически это выражается соотношением:

M * a_c = Σ F_e

где $M$ — полная масса КА, $\mathbf{a}_{\text{c}}$ — ускорение центра масс, а $\sum \mathbf{F}_{\text{e}}$ — главный вектор внешних сил, действующих на аппарат. Практическая выгода этого подхода заключается в том, что он позволяет свести сложную систему из миллиардов частиц к одной материальной точке, что существенно упрощает начальные этапы баллистических расчетов.

Дифференциальные Уравнения Движения Центра Масс (ЦМ)

В инерциальной гелиоцентрической или геоцентрической системе координат, поступательное движение КА в космическом пространстве рассматривается как задача двух тел (КА и Земля), осложненная воздействием дополнительных возмущающих сил.

Базовое уравнение для радиус-вектора $\mathbf{R}$ центра масс КА в геоцентрической инерциальной системе координат имеет вид:

d²R / dt² = -(μ / R³) R + a_пр

Здесь:

• d²R / dt² — вектор ускорения центра масс.
• -(μ / R³) R — ускорение, создаваемое ньютоновской гравитацией центрального тела (Земли), где $\mu$ — гравитационный параметр Земли ($\mu \approx 398600.44 \text{ км}^3/\text{с}^2$).
• $\mathbf{a}_{\text{пр}}$ — вектор возмущающих ускорений, включающий все негравитационные и нецентральные гравитационные силы.

Вектор $\mathbf{a}_{\text{пр}}$ является ключевым элементом, переводящим идеализированное кеплерово движение в реальную, возмущенную траекторию. Для точного баллистического расчета траектория ЦМ определяется путем численного интегрирования этого дифференциального уравнения с учетом точных начальных условий.

Сравнительный Анализ Возмущающих Факторов

Вектор $\mathbf{a}_{\text{пр}}$ является суммой множества ускорений. Их относительная значимость критически зависит от высоты полета и типа орбиты:

a_пр = a_J₂ + a_Атм + a_Луна/Солнце + a_Св.давл. + ...

Таблица 1. Ранжирование возмущающих ускорений в зависимости от типа орбиты

Фактор Возмущения	Механизм действия	Низкая Околоземная Орбита (НОО, 400–800 км)	Геостационарная Орбита (ГСО, 35786 км)
Несферичность поля ($J_2$)	Асимметрия гравитационного потенциала Земли (экваториальное утолщение).	Доминирующий фактор для эволюции орбитальных элементов (прецессия узла и перигея). $a_{J_2} \approx 10^{-5} \text{ м/с}^2$.	Влияние снижено.
Аэродинамическое сопротивление ($\mathbf{a}_{\text{Атм}}$)	Взаимодействие с остаточной атмосферой (критично для участка спуска).	Существенно, вызывает постепенное снижение орбиты. Ниже 200 км становится доминирующим.	Практически отсутствует.
Гравитация Луны и Солнца ($\mathbf{a}_{\text{Л/С}}$)	Притяжение третьих тел.	Значимость меньше, чем $J_2$.	Доминирующий фактор для эволюции орбиты, вызывает смещение по широте. $a_{\text{Л/С}} \approx 10^{-6} \text{ м/с}^2$.
Световое давление ($\mathbf{a}_{\text{Св.давл.}}$)	Давление солнечного излучения на поверхность КА.	Минимально, но важно для точных расчетов. $a_{\text{Св.давл.}} \approx 10^{-8} \text{ м/с}^2$.	Существенно, влияет на долгопериодические изменения орбиты.

Как видно из анализа, на низких околоземных орбитах (400–800 км) наиболее существенным нецентральным возмущением является несферичность гравитационного поля Земли, где основной вклад вносит вторая зональная гармоника с коэффициентом $J_2 \approx 1082.63 \cdot 10^{-6}$. Ускорение, вызванное этой гармоникой ($\approx 10^{-5} \text{ м/с}^2$), на порядок выше, чем от светового давления, но при входе в плотные слои атмосферы (ниже 200 км) уступает аэродинамическому сопротивлению, которое становится доминирующим.

Начальные Условия Движения и Внешние Моменты Сил

Для однозначного определения траектории и углового состояния КА в фазе пассивного полета необходимо точно знать начальные условия в момент $t_0$, то есть момент отделения от последней ступени. Эти условия делятся на поступательные и вращательные. Если мы проигнорируем даже малые неточности в начальных условиях, то каким будет реальный разброс в точке финиша? Отклонение, вызванное неточностью, может составлять сотни километров.

Формирование Начальной Угловой Скорости ($\mathbf{\omega}_0$)

Начальные условия поступательного движения ($\mathbf{R}_0$ и $\mathbf{V}_0$) полностью определяются расчетными параметрами последней ступени РН в момент разделения. Инженерно более сложной и менее предсказуемой является задача определения начальной угловой скорости $\mathbf{\omega}_0$.

В идеальном случае, угловая скорость $\mathbf{\omega}_0$ должна быть равна нулю. На практике она возникает из-за остаточных кинетических моментов, вызванных конструктивными и динамическими несовершенствами процесса разделения:

1. Неточность центрирования масс: Смещение центра масс кабины относительно оси симметрии или оси тяги (если ступень еще работает) приводит к созданию плеча силы, вызывающего момент.
2. Несинхронность срабатывания: Неидеальная одновременность срабатывания пиротехнических замков или пружинных толкателей создает кратковременный импульсный момент.
3. Остаточная закрутка: Если последняя ступень РН была стабилизирована вращением (спиновая стабилизация), этот кинетический момент частично передается кабине, если не предусмотрена специальная система дезактивации.

Инженерные требования к контролю $\mathbf{\omega}_0$ весьма строги: для большинства спускаемых аппаратов или орбитальных блоков, которые затем должны ориентироваться, величина $\mathbf{\omega}_0$ после штатного отделения должна быть минимизирована, часто не превышая $0.1\text{–}1.0 \text{ град/с}$. Превышение этого порога может усложнить или сделать невозможным последующий захват ориентации.

Внешние Возмущающие Моменты (Гравитационный, Аэродинамический)

Вращательное движение КА описывается теоремой об изменении кинетического момента. Если аппарат не совершает свободного движения (Эйлера-Пуансо), то на него действуют внешние моменты сил $\mathbf{M}$.

1. Гравитационный момент ($\mathbf{M}_{\text{гр}}$): Возникает из-за градиента гравитационного поля Земли. Поскольку КА имеет конечные размеры и несимметричное распределение масс, сила гравитации, действующая на ближние к Земле части, больше, чем на удаленные. Этот момент стремится развернуть аппарат так, чтобы его ось с наименьшим моментом инерции была направлена к центру Земли. Величина момента пропорциональна разности главных моментов инерции и обратно пропорциональна кубу расстояния до центра Земли.
2. Аэродинамический момент ($\mathbf{M}_{\text{аэр}}$): Становится критически важным при входе в плотные слои атмосферы (ниже 120–100 км). Возникает, если центр давления (точка приложения равнодействующей аэродинамических сил) не совпадает с центром масс КА. Если центр давления расположен впереди центра масс, момент является дестабилизирующим (увеличивает угол атаки); если позади — восстанавливающим (способствует стабилизации).
3. Магнитный момент ($\mathbf{M}_{\text{магн}}$): Возникает из-за взаимодействия собственного или наведенного магнитного дипольного момента КА с геомагнитным полем. Используется для пассивной или полуактивной ориентации, но на участке свободного полета обычно рассматривается как возмущающий.

Динамика Вращательного Движения: Уравнения Эйлера-Пуансо

Угловое движение твердого тела относительно его центра масс описывается динамическими уравнениями Эйлера. Эти уравнения являются основой для анализа ориентации и устойчивости КА. Для упрощения анализа мы выбираем систему координат $Oxyz$, жестко связанную с телом и направленную по главным центральным осям инерции.

Динамические Уравнения Эйлера и Интегралы Движения

Векторное уравнение динамики вращательного движения $d\mathbf{L}/dt = \mathbf{M}$ в проекциях на главные оси инерции принимает форму:

I_x * dω_x / dt + (I_z - I_y) * ω_y * ω_z = M_x
I_y * dω_y / dt + (I_x - I_z) * ω_z * ω_x = M_y
I_z * dω_z / dt + (I_y - I_x) * ω_x * ω_y = M_z

где $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ — главные центральные моменты инерции, $\omega_{i}$ — проекции вектора угловой скорости $\mathbf{\omega}$, а $M_{i}$ — проекции внешнего момента $\mathbf{M}$.

Случай Эйлера-Пуансо (Свободное Вращение)

Фаза пассивного полета часто моделируется как свободное вращение, то есть при полном отсутствии внешних моментов ($\mathbf{M}=0$). В этом случае уравнения Эйлера упрощаются до:

I_x * dω_x / dt + (I_z - I_y) * ω_y * ω_z = 0
I_y * dω_y / dt + (I_x - I_z) * ω_z * ω_x = 0
I_z * dω_z / dt + (I_y - I_x) * ω_x * ω_y = 0

Для этого консервативного движения существуют два первых интеграла:

1. Интеграл кинетической энергии вращения ($T$):
   T = 1/2 * (I_x * ω_x² + I_y * ω_y² + I_z * ω_z²) = const
2. Интеграл квадрата модуля кинетического момента ($L^2$):
   L² = (I_x * ω_x)² + (I_y * ω_y)² + (I_z * ω_z)² = const

Эти интегралы означают, что вектор угловой скорости $\mathbf{\omega}$ должен одновременно лежать на поверхности эллипсоида инерции, заданного интегралом $T$, и на поверхности сферы, задаваемой интегралом $L^2$. Пересечение этих поверхностей дает траекторию движения конца вектора $\mathbf{\omega}$.

Геометрическая Интерпретация Пуансо

Геометрическая интерпретация движения твердого тела в случае Эйлера-Пуансо, предложенная Л. Пуансо, дает наглядное представление о сложном вращении.

Движение описывается как качение без скольжения эллипсоида инерции КА по неподвижной в пространстве плоскости, называемой инвариантной плоскостью.

• Эллипсоид Инерции: Поверхность, определяемая постоянством кинетической энергии $T$, жестко связана с телом.
• Полодия (Polhode): Траектория, которую описывает конец вектора угловой скорости $\mathbf{\omega}$ на поверхности эллипсоида инерции. В случае Эйлера-Пуансо, полодия — это замкнутая кривая, по которой эллипсоид "катится".
• Герполодия (Herpolhode): Траектория, которую описывает конец вектора $\mathbf{\omega}$ на неподвижной инвариантной плоскости.

Эта геометрическая модель позволяет легко определить характер свободного вращения: оно является либо правильным (вращение вокруг оси $I_{\text{min}}$ или $I_{\text{max}}$), либо прецессионным (колебание вокруг оси $I_{\text{max}}$ или $I_{\text{min}}$), либо неустойчивым (сложное движение около оси $I_{\text{mid}}$).

Принцип Пассивной Устойчивости: Роль Диссипации Энергии

Анализ свободного движения Эйлера-Пуансо показывает, что вращение вокруг осей с минимальным ($I_{\text{min}}$) и максимальным ($I_{\text{max}}$) моментом инерции является устойчивым (ось $\mathbf{\omega}$ совершает малые колебания), тогда как вращение вокруг оси с промежуточным моментом инерции ($I_{\text{mid}}$) является неустойчивым.

Однако для реального космического аппарата в фазе пассивного полета, который не является абсолютно твердым телом (наличие жидкого топлива, движущихся частей, трение), необходимо учитывать диссипативные силы. Разве могут инженеры пренебречь этим критически важным различием между идеализированной теорией и реальной конструкцией?

Спиновая Стабилизация и Теорема о Стоке Энергии

Спиновая стабилизация — это метод пассивной стабилизации, при котором КА искусственно закручивается вокруг одной из своих осей перед отделением от РН. Для обеспечения долговременной устойчивости вращения в реальном полете, ось вращения должна совпадать с осью, имеющей максимальный момент инерции ($I_{\text{max}}$).

Это требование объясняется Принципом минимальной кинетической энергии (также известным как Теорема о стоке энергии):

При наличии любых внутренних диссипативных моментов (например, вязкого трения в топливных баках, гистерезиса в материалах конструкции) полная механическая энергия системы будет постоянно уменьшаться. Поскольку кинетический момент $\mathbf{L}$ в отсутствии внешних сил остается постоянным, единственным способом для системы уменьшить свою кинетическую энергию вращения $T$ является переориентация вектора угловой скорости.

Математически, минимальное значение кинетической энергии $T_{\text{min}}$ при заданном постоянном кинетическом моменте $L$ достигается, когда ось вращения $\mathbf{\omega}$ совпадает с главной осью инерции, имеющей наибольший момент $I_{\text{max}}$.

Формула для кинетической энергии при постоянном $L$ (квадрате кинетического момента):

T = 1/2 * (L_x² / I_x + L_y² / I_y + L_z² / I_z)

Поскольку $L^2 = L_{x}^2 + L_{y}^2 + L_{z}^2 = \text{const}$, для минимизации $T$ необходимо максимизировать знаменатель, то есть вращение стремится к оси с $I_{\text{max}}$.

Таким образом, если КА был закручен вокруг оси $I_{\text{mid}}$, внутреннее демпфирование со временем переведет его в устойчивое вращение вокруг оси $I_{\text{max}}$, иногда через сложный кувырок. Именно поэтому критически важно на этапе проектирования начальных условий движения гарантировать, что ось вращения КА совпадает с осью максимального момента инерции.

Аэродинамическая Стабилизация на Участке Спуска

На участке баллистического спуска, когда аппарат входит в плотные слои атмосферы (ниже 100 км), аэродинамические силы становятся доминирующими.

Для обеспечения пассивной устойчивости и предотвращения неконтролируемого кувырка конструкция спускаемого аппарата (капсулы) должна быть выполнена таким образом, чтобы центр давления всегда находился позади центра масс.

В этом случае при возникновении угла атаки (отклонении оси симметрии от вектора скорости) аэродинамическая сила создает восстанавливающий момент, который стремится вернуть аппарат в положение с нулевым углом атаки. Это обеспечивает устойчивый спуск «днищем вперед» (или по заданной баллистической траектории) без необходимости постоянного активного управления, что является основой безопасности возвращаемых аппаратов.

Заключение

Движение космического аппарата в фазе пассивного полета представляет собой классическую, но сложную задачу динамики, требующую синтеза небесной механики и механики твердого тела.

Поступательное движение центра масс КА точно описывается дифференциальными уравнениями задачи двух тел с обязательным учетом вектора возмущающих ускорений $\mathbf{a}_{\text{пр}}$. Ранжирование этих возмущений (гравитационные аномалии $J_2$, аэродинамика, притяжение Луны/Солнца) критически зависит от высоты орбиты, что определяет точность баллистических расчетов.

Вращательное движение, определенное начальными угловыми скоростями $\mathbf{\omega}_0$, возникающими из-за остаточных кинетических моментов при разделении, моделируется уравнениями Эйлера-Пуансо. Однако ключевым аспектом реального полета является пассивная устойчивость, которая, вопреки классическим условиям Эйлера, требует учета диссипативных процессов. В силу Принципа минимальной кинетической энергии, при наличии внутреннего демпфирования, вращение КА неизбежно стабилизируется вокруг оси с максимальным моментом инерции ($I_{\text{max}}$).

Эти математические модели и принципы лежат в основе проектирования систем стабилизации и обеспечения безопасности баллистического спуска, гарантируя, что даже при отсутствии активного контроля аппарат сохраняет расчетную траекторию и ориентацию. Очевидно, что без глубокого понимания этих фундаментальных законов, невозможно созд��ть надежную и долговечную космическую систему.

Список использованной литературы

1. Войцеховский, А. Тайны Луны. Москва : Вече, 2003.
2. Гаврилов, В. Хозяева Луны против НАСА // Новые известия. 2005. № 209.
3. Глушко, В. Развитие ракетостроения и космонавтики в СССР. Москва : Машиностроение, 1987.
4. Железняков, А. Секретный космос. Мифы и фантомы на орбите. Москва : Эксмо, Яуза, 2006.
5. Караш, Ю. Тайны лунной гонки. СССР и США: соперничество в космосе. Москва : ОЛМА-ПРЕСС Инвест, 2005.
6. Геометрическая интерпретация Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера. URL: https://scask.ru/c_book_t_mech.php?id=125 (дата обращения: 28.10.2025).
7. ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Динамика. URL: http://kgeu.ru/Files/library/eumk/657519639/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D0%A2%D0%9C%20%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
8. ОРИЕНТАЦИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ. URL: http://www.astronaut.ru/bookcase/books/kosmomir/text/08.htm (дата обращения: 28.10.2025).
9. Конспект лекций студентов Handbook on «Динамика твердого тела (динамика пр:». URL: http://ssau.ru/files/education/uchebnye_materialy/dinamika_tverdogo_tela_(dinamika_prostranstvennogo_dvizheniya_kosmicheskih_apparatov).pdf (дата обращения: 28.10.2025).
10. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. URL: https://uust.ru/upload/iblock/c3e/c3e76a2662283ccb868516104e466d6d.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
11. Способы корректировки орбиты и ориентации космического аппарата // Аэрокосмические технологии и системы. 2023. № 4(24). URL: https://agat-roscosmos.ru/wp-content/uploads/2023/12/aerokosmicheskie-tehnologii-i-sistemy-2023-4-24.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
12. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно-стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты. URL: https://www.researchgate.net/publication/325203387 (дата обращения: 28.10.2025).
13. Основы теории движения ИСЗ (часть вторая: возмущенное движение): учебное пособие. URL: https://www.miigaik.ru/upload/iblock/d76/d762e847c0a87a71f08e427e02542ffb.pdf (дата обращения: 28.10.2025).
14. Случай Эйлера — Пуансо. URL: https://scask.ru/c_book_t_mech.php?id=124 (дата обращения: 28.10.2025).