Содержание
Задача К-1
Задача К-2
Задача К-3
Задача К-4
Список литературы
Выдержка из текста
Точка В движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями:
х = f1(t) = -2 + 6cos((π∙t)/6)
у = f2(t) = 6cos((π∙t)/3)
где х и у выражены в см и t в сек.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1c, определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Дано:
х = -2 + 6cos((π∙t)/6)
у = 6cos((π∙t)/3)
t = 1с.
Найти: у(х), v, a, aT, an, ρ.
Решение.
Для определения уравнения траектории точки нам необходимо решить систему уравнений, заданную в параметрической форме
{█(x= -2 + 6cos(πt/6) @y=6cos(πt/3) )┤
Выразим соответствующие функции:
{█(cos (πt/6) = (x+2)/6 @cos(πt/3)=у/6)┤
Согласно второму уравнению и тригонометрическими формулами:
cos2 + 〖sin〗^2 α = 1
соs2= 1 – 2sin2 = 1 – 2 (1-〖cos〗^2 α)
cos(πt/3)=1-〖2sin 〗^2 (πt/6)= 1-2∙(1-〖cos 〗^2 (πt/6) )
у/6=1-2∙(1-((x+2)/6)^2 )
y=6-12∙(1-((x+2)/6)^2 )
y=6-12+12∙((x+2)/6)^2
y= (x+2)^2/3-6
Окончательное уравнение траектории точки
y=(x+2)^2/3-6
Это уравнение параболы
Рис. К1.1 Траектория точки.
2.Для определения скорости точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
vx = dx/dt = -πsin πt/6
vy = dy/dt = -2πsin πt/3
v = √(v_x^2+v_y^2 )
при t = 1 c
v1x = -πsin π/6 = -π ∙ 1/2 = -0.5 = -1.57см/с
v1у = -2π ∙ sin π/3 = -2π ∙√3/2 = -√3 π = — 5,439 см/с
v = √((-0.5π)^2+(-√3 π)^2 ) = π/2 ∙√(13 )= 5.661 см/c
3.Аналогично находим ускорение точки
аx = (dv_x)/dt = -π^2/6cos πt/6
аy = (dv_y)/dt = -〖2π〗^2/3cos πt/3
a = √(a_x^2+a_y^2 )
при t = 1 c
a1x =-π^2/6cos π/6 = (〖-π〗^2 √3)/12 = — 1.423 см/с2
a1у = -〖2π〗^2/3cos π/3 = — π^2/3 = — 3.287 см/с2
а = √(〖3π〗^4/144+π^4/9) = π^2/36 ∙√(171 )= 3.581 см/с2
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство
v 2= v_x^2+v_y^2
2vdv/dt = 2vx〖dv〗_x/dt+2vy〖dv〗_y/dt,
следовательно, а = dv/dt=(v_x a_x+v_y a_y)/v и при t = 1 с:
а = ((-1.57)∙(-1.423)+(-5,439)∙(-3,287))/5.661 = 3.553 см/с2.
5. Нормальное ускорение точки
an = √(a^2-a_^2 )
an = √(〖3,581〗^2-(3,553)^2 ) = 0,447 см/с2
6. Радиус кривизны траектории ρ = v^2/a_n = 〖3,581〗^2/0,447 = 28,7
7. Строим траекторию точки для заданного момента времени и строим вектора скорости и ускорения в выбранном масштабе.
При t = 1 с. координаты точки будут равны:
{█(x=-2+6cos(π/6)=-2+6∙√3/2≈3.2 см@y=6cos(π/3)=6∙1/2=3 см)┤
Выбираем масштаб скорости: в 1 см – 1 см/с; масштаб ускорения: в 1 см – 1 см/с2
Рис. К1. 2 Построения.
Ответ:
y= (x+2)^2/3-6
v = -π/2 ∙√(13 )= 5.661 см/c
а = 3.553 см/с2.
an = 0.447 см/с2
а = 3.581 см/с2
Список использованной литературы
Литература.
1. Бать И. М. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973. Т. 1
2. Бутенин Н. В. Курс теоретической механики. М.: Наука, 2001 т. 1.
3. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. – М.: Наука, 1969, т. 1.
4. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике/ под ред. А. А. Яблонского. – М.:ВШ, 2007.
5. Яблонский А. А. Никифорова В. М. Курс теоретической механики. – М.: Интеграл-Пресс, 2006.