Параболическая Интерполяция с Наименьшим Числом Узлов: Теория, Методы и Применение

В мире, где данные генерируются с беспрецедентной скоростью, а точность вычислений зачастую определяет успех инженерных проектов и научных открытий, задача нахождения промежуточных значений величин по имеющемуся дискретному набору известных точек становится краеугольным камнем. Это и есть суть интерполяции — процесса, позволяющего «заполнить пробелы» в данных, предсказать поведение функции в неизвестных точках, основываясь на её поведении в известных. Интерполяция лежит в основе многих численных методов, является неотъемлемой частью математического моделирования и вычислительной математики, пронизывая самые разные дисциплины — от физики и экономики до компьютерной графики и спутниковой навигации.

Среди множества интерполяционных подходов параболическая интерполяция занимает особое место. Она представляет собой золотую середину между простотой линейной интерполяции и сложностью высокостепенных полиномов, при этом её главная привлекательность заключается в способности эффективно аппроксимировать криволинейные зависимости, не требуя чрезмерных вычислительных затрат. Это достигается за счет использования наименьшего возможного числа узлов, что делает её не только экономичной, но и достаточно точной для широкого круга задач.

Целью данного реферата является систематизация и углубленное исследование параболической интерполяции с акцентом на принципы использования наименьшего числа узлов. Мы рассмотрим её математические основы, ключевые методы построения, проведем детальный сравнительный анализ с другими подходами, а также изучим широкий спектр практических применений и современные тенденции в исследованиях. Данная работа призвана стать ценным ресурсом для студентов технических и математических специальностей, углубляющих свои знания в области численных методов, позволяя им эффективно применять этот инструмент в своей профессиональной деятельности.

Математические Основы Параболической Интерполяции

Параболическая интерполяция, часто именуемая также квадратичной интерполяцией, — это элегантный метод построения интерполирующей функции, которая принимает форму квадратного трёхчлена. Этот трёхчлен, будучи полиномом второй степени, обладает достаточной гибкостью для аппроксимации криволинейных зависимостей, оставаясь при этом сравнительно простым с точки зрения вычислений.

Общий вид уравнения квадратного трёхчлена задается как ax² + bx + c. Для того чтобы однозначно определить три неизвестных коэффициента a, b, c, математически необходимо и достаточно иметь три уравнения. Эти уравнения формируются из условий прохождения интерполирующей параболы через три заданные точки, или узлы интерполяции: (x_i-1, y_i-1), (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1). Именно эти узлы являются «опорными пунктами», по которым строится вся интерполяционная кривая, определяя её уникальное положение в пространстве.

Основной принцип параболического интерполирования заключается в создании интерполирующего многочлена, который точно проходит через заданные узловые точки. Это означает, что в каждой из этих точек значение интерполирующего многочлена совпадает со значением исходной функции. Таким образом, парабола становится «мостом», соединяющим известные точки и позволяющим оценить значения функции между ними.

Одной из ключевых особенностей параболической интерполяции является её гладкость. В отличие от линейной интерполяции, которая формирует «ломаную» линию, парабола обеспечивает непрерывность первой производной в точках соединения сегментов (в случае кусочно-параболической интерполяции). Это означает, что кривая не имеет резких «изломов» в этих точках, что делает её более плавной и естественно выглядящей, но при этом она не гарантирует непрерывности второй производной, что отличает её от кубических сплайнов.

Геометрическая интерпретация и кривые Оверхаузера

Исторически развитие параболической интерполяции, особенно в контексте компьютерной графики и геометрического моделирования, тесно связано с геометрическими соображениями. Ярким примером такого подхода являются кривые Оверхаузера, предложенные в 1968 году. Эти кривые основывались на интуитивно понятных геометрических принципах локального управления формой кривой через опорные точки.

Суть подхода Оверхаузера заключается в том, что касательные векторы в опорных точках формируются не произвольно, а на основе симметричной разности векторов между соседними опорными точками. Например, касательный вектор в точке P_i может быть определен как (P_i+1 − P_i-1) / 2. Такой метод обеспечивает не только непрерывность первой производной (гладкость касательной), но и позволяет управлять формой кривой локально, то есть изменение одной опорной точки влияет только на соседние сегменты, не затрагивая всю кривую целиком. Эта локальность является значимым преимуществом, особенно при интерактивном редактировании кривых. Простота и наглядность геометрического подхода Оверхаузера сделали его популярным в ранних системах компьютерной графики, где требовалось эффективно создавать и манипулировать гладкими кривыми.

Концепция Наименьшего Числа Узлов и Ключевые Методы Построения

В основе интерполяционных методов лежит фундаментальный принцип: для построения интерполяционного многочлена степени n требуется n+1 узлов интерполяции. Этот принцип является краеугольным камнем для понимания концепции «наименьшего числа узлов». Для параболической интерполяции, которая использует полином второй степени (то есть n=2), минимально необходимое число узлов составляет три. Использование именно трёх узлов не случайно и имеет глубокий смысл, ведь это позволяет создать самую простую нелинейную аппроксимацию.

Целью применения минимального числа узлов при параболической интерполяции является получение наиболее простого, но при этом нелинейного интерполянта. Такой интерполянт способен эффективно аппроксимировать криволинейную зависимость, что недоступно для линейной интерполяции, и при этом значительно сократить вычислительные затраты по сравнению с многочленами более высоких степеней. В задачах, где требуется локальная интерполяция, то есть когда функция приближается на небольших отрезках, предпочтение отдается многочленам невысоких степеней. Это позволяет минимизировать погрешности при расчете коэффициентов и избежать осцилляций, характерных для высокостепенных полиномов, которые могут возникать при использовании большого количества точек.

Основными методами построения параболической интерполяции по трем узлам являются интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Метод Интерполяционного Многочлена Лагранжа

Многочлен Лагранжа — это один из наиболее известных и прямолинейных методов построения интерполяционного полинома. Для n+1 точек (x₀, y₀), …, (x_n, y_n) он выражается общей формулой:

Ln(x) = Σi=0n yi Πj=0, j≠in (x - xj) / (xi - xj)

Где:

• Σ — сумма по i от 0 до n.
• Π — произведение по j от 0 до n, исключая случай j=i.
• y_i — значение функции в узле x_i.

Для параболической интерполяции, где n=2, и используются три узла (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂), формула значительно упрощается и принимает следующий вид:

L2(x) = y0 ⋅ (x - x1)(x - x2) / ((x0 - x1)(x0 - x2)) + y1 ⋅ (x - x0)(x - x2) / ((x1 - x0)(x1 - x2)) + y2 ⋅ (x - x0)(x - x1) / ((x2 - x0)(x2 - x1))

Алгоритм построения:

1. Выбор узлов: Определить три уникальные точки (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂).
2. Расчет знаменателей: Вычислить значения (x₀ — x₁)(x₀ — x₂), (x₁ — x₀)(x₁ — x₂), (x₂ — x₀)(x₂ — x₁). Важно убедиться, что эти знаменатели не равны нулю (что гарантируется уникальностью узлов).
3. Формирование базисных полиномов: Для каждой точки x_i строится базисный полином Лагранжа, который равен 1 в x_i и 0 во всех остальных узлах. Например, для x₀ это будет (x — x₁)(x — x₂) / ((x₀ — x₁)(x₀ — x₂)).
4. Суммирование: Конечный интерполяционный полином получается как сумма произведений y_i на соответствующий базисный полином.

Метод Интерполяционного Многочлена Ньютона

Многочлен Ньютона с разделёнными разностями является альтернативным методом, который часто оказывается более удобным для последовательного добавления узлов или когда требуется оценка погрешности. Для n+1 узлов он имеет общий вид:

Pn(x) = f(x0) + (x - x0)f[x0; x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0; x1; x2] + ... + (x - x0)...(x - xn-1)f[x0; ...; xn]

Ключевым элементом этого метода являются разделённые разности, которые вычисляются итеративно:

• Первый порядок: f[x0; x1] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)
• Второй порядок: f[x0; x1; x2] = (f[x1; x2] - f[x0; x1]) / (x2 - x0)
• И так далее для более высоких порядков.

Для параболической интерполяции, где n=2, многочлен Ньютона принимает вид:

P2(x) = f(x0) + (x - x0)f[x0; x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0; x1; x2]

Алгоритм построения:

1. Выбор узлов: Определить три уникальные точки (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂).
2. Расчет разделённых разностей первого порядка:
   • f[x0; x1] = (y1 - y0) / (x1 - x0)
   • f[x1; x2] = (y2 - y1) / (x2 - x1)
3. Расчет разделённой разности второго порядка:
   • f[x0; x1; x2] = (f[x1; x2] - f[x0; x1]) / (x2 - x0)
4. Формирование полинома: Подставить полученные значения в формулу P₂(x).

Единственность Интерполяционного Полинома

Несмотря на кажущееся различие в формулах, полиномы Лагранжа и Ньютона, построенные для одних и тех же узлов интерполяции и одной и той же степени, тождественно равны. Этот важный факт следует из теоремы о единственности интерполяционного многочлена заданной степени. Теорема гласит, что через n+1 различных точек всегда можно провести единственный полином степени не выше n. Таким образом, оба метода, Лагранжа и Ньютона, являются просто разными алгебраическими формами для представления одного и того же интерполяционного полинома. Выбор конкретного метода часто определяется удобством реализации, вычислительной эффективностью для конкретной задачи или необходимостью оценки погрешности.

Сравнительный Анализ и Особенности Параболической Интерполяции

Выбор метода интерполяции — это всегда компромисс между точностью, вычислительной сложностью и требуемой гладкостью. Параболическая интерполяция с минимальным числом узлов (тремя) занимает уникальное положение в этом спектре, предлагая определённые преимущества и ограничения по сравнению с линейной и кубической интерполяцией. Давайте рассмотрим, почему этот метод так важен и какие задачи он решает наилучшим образом.

Преимущества

1. Перед линейной интерполяцией: Главное и наиболее очевидное преимущество параболической интерполяции перед линейной заключается в её способности аппроксимировать криволинейные зависимости. Линейная интерполяция соединяет точки прямыми отрезками, что приводит к «изломам» и неточному представлению функций с кривизной. Парабола же, будучи полиномом второй степени, может передавать изгибы и выпуклости, значительно повышая точность приближения для многих реальных функций. Это особенно важно, когда форма функции между узлами не является прямолинейной, предоставляя более реалистичное и сглаженное отображение данных.
2. Перед кубическими сплайнами:
   • Меньшие вычислительные затраты и простота реализации: Построение параболического интерполянта требует решения системы из трёх уравнений (или использования прямых формул Лагранжа/Ньютона). Кубические сплайны, напротив, требуют решения более сложной системы уравнений для определения коэффициентов, что увеличивает вычислительную сложность и время выполнения, особенно в случае составной интерполяции с большим числом сегментов. Для простых задач или систем с ограниченными ресурсами параболическая интерполяция оказывается более эффективной, предоставляя быстрые результаты.
   • Непрерывность первой производной: В точках соединения сегментов (в случае кусочно-параболической интерполяции), параболическая интерполяция обеспечивает непрерывность первой производной. Это означает, что касательные к кривой в этих точках совпадают, исключая резкие изломы. Такое свойство может быть весьма полезно для функций, которые в своей природе имеют плавные переходы, но не требуют абсолютно «гладкого» (непрерывного второй производной) изменения кривизны.
   • Локальность изменения: Одним из значимых преимуществ, особенно в контексте интерактивного моделирования, является локальность влияния. Изменение одного узла интерполяции в кусочно-параболической интерполяции влияет только на два соседних параболических сегмента. Это резко контрастирует с некоторыми типами кубических сплайнов (например, натуральными), где изменение одной точки может глобально повлиять на всю интерполирующую кривую. Такая локальность упрощает редактирование и контроль формы, делая процесс более предсказуемым.

Недостатки и Ограничения

1. Относительно низкая гладкость: Главным недостатком параболической интерполяции по сравнению с кубическими сплайнами является отсутствие гарантии непрерывности второй производной в точках соединения сегментов. Непрерывность второй производной означает отсутствие «изломов» кривизны, что критически важно для функций, описывающих абсолютно гладкие поверхности или траектории без резких изменений ускорения (например, в аэродинамике или проектировании кузовов автомобилей). Кубические сплайны, как правило, обеспечивают более высокую гладкость и точность приближения и считаются предпочтительными для формосохраняющего моделирования, где визуальная или физическая плавность является приоритетом.
2. Локальный характер и потенциальная неточность: При интерполяции по всего трём точкам параболическая интерполяция является исключительно локальной. Это означает, что она может неточно отражать общее поведение функции, если её форма между узлами значительно отличается от параболической. Если исходная функция имеет сложную осциллирующую структуру или резкие изменения, которые не могут быть адекватно описаны полиномом второй степени, параболическая интерполяция может дать значительную погрешность. В таких случаях может потребоваться либо увеличение числа узлов для кусочно-параболической интерполяции, либо использование полиномов более высокой степени, либо более адаптивные методы.
3. Применимость в оптимизации: Стоит отметить, что метод квадратичной интерполяции находит специфическое применение в задачах оптимизации. Здесь он используется для нахождения экстремумов функций путём их аппроксимации параболой по трём точкам. В таких алгоритмах, как метод Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шанно (BFGS) или метод Пауэлла, квадратичная интерполяция позволяет быстро сходиться к решению, используя аппроксимацию функции параболой на основе трёх последовательных точек. Однако это использование отличается от классической интерполяции, где целью является точное приближение функции.

Таким образом, параболическая интерполяция с наименьшим числом узлов — это мощный и экономичный инструмент, идеальный для задач, где требуется аппроксимация криволинейных зависимостей при умеренных требованиях к гладкости и ограниченных вычислительных ресурсах. Её сила в балансе между простотой и достаточной точностью для широкого круга инженерных и научных приложений.

Практическое Применение Параболической Интерполяции с Минимальным Числом Узлов

Параболическая интерполяция, благодаря своей эффективности и способности аппроксимировать криволинейные зависимости, находит широкое применение в самых разнообразных областях науки и техники. Использование минимального числа узлов делает её особенно привлекательной там, где важно обеспечить баланс между точностью и вычислительной экономией.

Компьютерная Графика и Анимация

В компьютерной графике параболическая интерполяция играет ключевую роль в формировании плавных кривых и поверхностей. Она активно используется для:

• Создания сглаженных траекторий движения объектов: При анимации персонажей или динамичных сцен необходимо, чтобы движение выглядело естественно. Параболические сегменты позволяют создавать плавные переходы между ключевыми позами, обеспечивая непрерывность касательных (первой производной) и исключая резкие «дергания».
• Построения контуров и форм: Дизайнеры и инженеры при��еняют параболическую интерполяцию для моделирования различных объектов, от простых геометрических фигур до сложных органических форм. Это позволяет получить эстетически приятные и функциональные контуры при относительно невысокой вычислительной сложности.
• Кривых Безье второго порядка: Параболическая интерполяция является основой для построения кривых Безье второго порядка, которые широко используются для создания и редактирования форм в векторной графике и системах CAD.
• Аппроксимации сложных кривых: Зачастую сложные кривые можно эффективно аппроксимировать набором более простых параболических сегментов, что упрощает их хранение, обработку и рендеринг.

Оптимизация и Численные Методы

В численном анализе и задачах оптимизации параболическая интерполяция выступает как мощный инструмент для эффективного поиска экстремумов функций:

• Поиск экстремумов функций: Метод квадратичной интерполяции (иногда известный как метод Пауэлла или часть более сложных алгоритмов, таких как BFGS) используется для быстрого нахождения минимума или максимума функции одной переменной. Он аппроксимирует функцию параболой по трём последовательным точкам и затем находит вершину этой параболы как предполагаемую точку экстремума.
• Многомерные задачи и B-сплайны: В более сложных многомерных задачах, например, при численном решении систем дифференциальных уравнений или задач оптимального управления, параболические B-сплайны обеспечивают превосходный компромисс между точностью и вычислительной эффективностью. Они обладают свойством локальности и требуют минимального объёма памяти ЭВМ для хранения своих коэффициентов, что делает их незаменимыми для работы с большими объемами данных и сложными моделями.

Обработка Экспериментальных Данных и Прогнозирование

Интерполяция в целом незаменима при работе с дискретными экспериментальными данными, и параболическая интерполяция здесь не исключение:

• Оценка промежуточных значений:
  • В гидрологии: Для построения карт изогипс (линий равного количества осадков) или изотерм (линий равных температур) на основе дискретных измерений. Параболическая интерполяция позволяет анализировать пространственное распределение этих показателей более детально.
  • В экономическом прогнозировании: Для оценки промежуточных значений макроэкономических показателей (например, ВВП между ежегодными отчетами) на основе имеющихся квартальных или годовых данных. Это помогает получить более полную картину динамики экономических процессов.
• Анализ статистических данных:
  • Оценка надёжности техники: Параболическая интерполяция может использоваться для прогнозирования времени отказа компонентов на основе ограниченных экспериментальных данных или для экстраполяции ресурса работы устройств.
  • В лесном хозяйстве (таксация): При таксации лесных насаждений она применяется для оценки объёмов древесины, прироста по высоте или диаметру стволов между измеренными точками, что позволяет более точно рассчитать запасы леса и планировать лесозаготовки.

Спутниковая Навигация и Моделирование Поверхностей

• Дифференциальный режим спутниковой навигации: В системах GPS/ГЛОНАСС параболическая интерполяция может использоваться для уточнения местоположения. Например, при интерполяции навигационных изолиний по трём точкам, она позволяет более точно определить положение при ограниченном количестве опорных сигналов, сглаживая и уточняя траекторию движения объекта.
• Моделирование поверхностей: Методы интерполяции, включая параболическую, применяются для моделирования дискретно заданных поверхностей, например, при создании трёхмерных моделей шероховатых поверхностей деталей машин для анализа их износа или трения.

Таким образом, параболическая интерполяция с наименьшим числом узлов является универсальным и мощным инструментом, способным решать широкий круг задач в самых разных областях, от визуализации до точного научного анализа, демонстрируя при этом свою эффективность и экономичность.

Выбор Узлов и Современные Тенденции в Исследованиях

Вопрос выбора узлов интерполяции является критически важным для точности и устойчивости любого интерполяционного процесса. Для одной параболической интерполяции, по определению, оптимальным является использование трёх узлов, поскольку полином второй степени однозначно определяется этим количеством точек. Однако, когда речь идет о кусочно-параболической интерполяции или выборе узлов из большего набора данных, их расположение начинает играть существенную роль, напрямую влияя на погрешность приближения.

Один из классических подходов к оптимизации расположения узлов — использование узлов Чебышева. Эти узлы распределены таким образом, чтобы минимизировать максимальную погрешность интерполяции на заданном отрезке, что особенно важно для равномерной аппроксимации. Параболические сплайны, построенные с учетом таких принципов, наиболее эффективны при интерполяции функций, обладающих низкой гладкостью, где высокостепенные полиномы могут приводить к нежелательным осцилляциям.

Параболические B-сплайны

Современные исследования активно концентрируются на использовании параболических B-сплайнов. Это локальные базисные функции, которые обладают рядом преимуществ:

• Локальность: Изменение одного узла влияет только на близлежащие сегменты кривой, что делает их удобными для редактирования и интерактивного моделирования.
• Экономия памяти: Представление параболических сплайнов через B-сплайны способствует минимальному использованию памяти ЭВМ, что критично для многомерных задач и работы с большими объемами данных.
• Численная устойчивость: В исследованиях определяются строгие ограничения на сетку узлов интерполяции, которые обеспечивают диагональное преобладание и хорошую обусловленность матрицы системы определяющих соотношений. Диагональное преобладание означает, что абсолютное значение элемента на главной диагонали больше суммы абсолютных значений остальных элементов в соответствующей строке. Это условие критически важно для численной устойчивости и сходимости итерационных методов решения, гарантируя, что малые возмущения во входных данных не приведут к большим изменениям в решении, тем самым повышая надежность интерполяции.

Развитие Методов Построения Кривых

Традиционные методы построения параболических кривых, такие как кривые Оверхаузера, иногда накладывали ограничения на взаимное расположение опорных точек (например, требование неколлинеарности). Современные разработки направлены на создание новых методов аналитического формирования смешанных параболических кривых, которые снимают эти ограничения. Это позволяет дизайнерам и инженерам более свободно размещать опорные точки и эффективно редактировать кривые, делая процесс моделирования более интуитивным и гибким.

Сходимость и Дискретные Сплайны

Важным направлением исследований является анализ сходимости интерполяционного процесса для параболических сплайнов. Классические схемы интерполяции могут расходиться, особенно когда узлы распределены неравномерно (например, сгущение на краях интервала) или исходная функция имеет сильные колебания. В ответ на это предлагаются альтернативные схемы выбора узлов, такие как узлы Гаусса или адаптивное сгущение узлов в областях с высокой изменчивостью функции, что обеспечивает сходимость интерполяционного процесса даже в сложных случаях.

Другое актуальное направление — изучение дискретных параболических сплайнов. В этом контексте условия непрерывности, характерные для аналоговых функций, заменяются совпадением значений соседних многочленов в определённом числе точек (обычно в двух узлах каждого интервала). Такая замена позволяет применять сплайны к дискретным данным, где понятие «непрерывной производной» не имеет прямого смысла, и сосредоточиться на сохранении формы исходной дискретной последовательности. Это открывает новые возможности для обработки данных в цифровых системах и дискретной математике. Эти направления исследований подчеркивают динамичное развитие параболической интерполяции, демонстрируя её адаптивность и актуальность в современных вычислительных задачах.

Заключение

Параболическая интерполяция с наименьшим числом узлов, основанная на полиномах второй степени, является мощным и универсальным инструментом в арсенале численных методов. Её математическая строгость, выраженная в формулах Лагранжа и Ньютона, позволяет однозначно построить интерполирующую функцию по трём заданным точкам. Эта «золотая середина» между простотой линейной и сложностью кубической интерполяции обеспечивает оптимальный баланс между вычислительной эффективностью и способностью аппроксимировать криволинейные зависимости.

Мы выяснили, что параболическая интерполяция обладает рядом значимых преимуществ: она превосходит линейную в способности передавать кривизну и выигрывает у кубических сплайнов в простоте реализации и снижении вычислительных затрат, при этом обеспечивая непрерывность первой производной. Несмотря на ограничения в гладкости по сравнению с кубическими сплайнами, её локальный характер и предсказуемость делают её ценной для многих практических задач.

Диапазон применения параболической интерполяции охватывает множество областей — от изящной компьютерной графики и анимации, где она формирует плавные кривые и траектории, до точных расчетов в задачах оптимизации и обработки экспериментальных данных в гидрологии, экономике и лесном хозяйстве. Её роль в спутниковой навигации и моделировании поверхностей подчеркивает её универсальность.

Современные исследования продолжают расширять горизонты применения параболической интерполяции, фокусируясь на параболических B-сплайнах для обеспечения численной устойчивости, разрабатывая новые методы формирования кривых без ограничений на опорные точки, а также углубляясь в проблематику сходимости и дискретных сплайнов. Эти направления демонстрируют, что, несмотря на свою классичность, параболическая интерполяция остается живой и развивающейся областью математического анализа.

Для студентов и исследователей параболическая интерполяция является фундаментальным элементом, необходимым для глубокого понимания численных методов. Её изучение не только развивает аналитическое мышление, но и предоставляет практически применимые навыки для решения широкого круга инженерных и научных задач. Перспективы дальнейших исследований, включая адаптивные стратегии выбора узлов и новые подходы к формированию кривых, гарантируют, что эта область будет оставаться актуальной и востребованной на многие годы вперед.

Список использованной литературы

1. Параболическая интерполяция. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGKFfUn1TC7XeOFdNFrkRZJwdUI3M9ze43D2vFAtnReYbOGpSOd49M4XjIHfLtKi84UhKR_Al5Iy_OplcbzXV5-FOMR2W0lZO3VVl7EuOcorRm3wiwGAtn9us6XP3XTipwMIM1yYhkt5EUvAtWiF-3IOHR3baqH9Gy8cYB4ep1K6mTBTNmOl6q-TwkkJFQ8E1CU1sYF5FH2pBprv_kXRTwubGEaHs2jBaaPOzYI1EH0A7ZZeassqQONJbcwysHFi3Z3uF9nuFwzcrFEfypQa-YUjJaQeMCFYbyZ9mQ0Qthm60mBFJy9NpWbydxbMGcHRh5rungFP319VzgH6PS_dRdsVQNM4GePtVUs (дата обращения: 25.10.2025).
2. Линейная и квадратичная интерполяция. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFuYycqGdzTWKYYXgjiyUhiLuNwzuQVtF9cB3b1BsOYnw4TM_AvfYpnEqz9o4o7gHQZX3280-x2mypwRMvn-zEcbvRX3-6Or_kGw0b6_u2VEsEeoWrIKhqNDBJVJbD0LJC9yIfI2B-1 (дата обращения: 25.10.2025).
3. Интерполяция полиномами Лагранжа и Ньютона. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHSNDpAOCe0SGLwG_0y0tcrMZXLMkTObT3Ghj-_PjVk5RPVm91Sk7dtN98jJl2PS6WykK3Sl62ZRyVwNRwibmqhIM0kkEPcQXwRQ_Qzlhv7LOBeDs_h7C387EuacJ0AUrjukWqvQ0JYPO-EDfnQULfbDNyeaz9_JXAnLq6ifl94XS8xdV61RVRZNxw2_zpHhdebJ41pxgThcyRBXSbL5w4YMxWe58_MEAWGYjkh-nRcNSRFr2_LVpgqlPJh7kTOD7avvhPKxb4n9-rkebT2WPLDgXoQjv3f5PjEBdObw1fuoE9t5UVP-2lFmB351Memr3KGRtVwfxa0Pc9QgAVOfU9JlJWyUD1HorZUAt4AWD5gIF8IC2ZNA3EJzt85oYdrIlAMAsulNWekznn0CtMdYYErh1w0Wcs_t_i36AsMqFdd-K_PjAEolnzW_FvEgBmDnfhmTKYsx8f4 (дата обращения: 25.10.2025).
4. Интерполяционные полиномы второй степени. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGKVx8TJd8c6u89Q-d5-oIKR3i85AAuU24Ap8eFyV7uee4WVWz0m0tPk4zX8QKLay62-LisTYltB4t6Vt8bKiia1ugD8EyCJRm06XGNYCDPV8lwr9d85-ZFGYYCmzNTKGolfrfXcgG_oF1cbgGrmDO0HMwgg_Zn5RhnnLojHsdLivM84QlQ9bf5QcGO6OdO0Gx9XVqt0CJk4Cr9oOhrkbaQB6U= (дата обращения: 25.10.2025).
5. Новые методы формирования параболических кривых Оверхаузера. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEiDRAhKjb7YqLtN0M4Tnrp3-zmF1ZLB51aKiT8QSU_inEOqqu7FCez9xevC0wk5lq39aSgGWJ_zf6WB9C4_KvmftLz7WLAtBw43kuETyONLfbbuoraOwWYxC_AqUHBPSVhQn6m_E8LfDImnw== (дата обращения: 25.10.2025).
6. Применение параболических B-сплайнов для решения задач интерполяции. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQH9i2tPYHc6K9ASO4m5d-DLhk180MwVlzylw5LBcZCiQzlDLQqYkJaZMKfY9gNjUXUTNbeaY6r8WfE_E3_KQucINLo9C9wEtnXAk2RKP3Xk8yi6S3mn6TQEe9hvBhjTKUCGVlMjbPRAYqPkqIe4lVFMogLflFzqpeooAf57_CAZ8_T5fCEu (дата обращения: 25.10.2025).
7. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEq6Evds62Ntm62RIlWSnpjvPqwPSBrCUBR_yy-1zZTYRShVJ_Id8204K9q6Skv7zYixwJGB2qffsuSAqAN8nAVET_wDdPA4v4A_hQDbraQrBjDuRKmQ4yr-nhsvx8SgYx6u2wKDzVIXxFd5068gUQ7C9Lbt72y (дата обращения: 25.10.2025).
8. Метод квадратичной интерполяции. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGfSWmLloGAX2xEFU_YXIoLlFwT_tkVX8WnbECoT9WCthOMyAwjL31bKx7JZoXY7Nhjt6ZA5mDUempdvmeS65NiptjXQQi0_r9Xqz3CrSwkxsSoF5189GAiehADnutnbjR3alXlzPKl (дата обращения: 25.10.2025).
9. Сопоставление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHJvyi1lLbAOt4Id0lvND9LFHh_w3RPjVRXoqo4tni6lGIhhunhSOq30QW44GO1pc9s2rAJOeHW0CRgE3fJsIbbH9tzcJro03zyBOi0XVw_KBBOxB8bexb-qwLehfYjJ1TOs3AaBcX5pQ== (дата обращения: 25.10.2025).
10. Интерполяция дискретными параболическими сплайнами. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFn5JeGxama7lHjnL6uhy9QCZAobwayunmELL9ClAXTG0Ds55LfOrGbRm8pMjTwmUl1-2EEzUwGS5JDIo2q5aQH2Na3bAhYCUeXplQ2sHUO4uNIN-Q0A54s66VVnxR1SN—Zv9sPw3qgCG_GIGENUbbHHL9uafPwp7rF-lw6jblxgRwgb6D (дата обращения: 25.10.2025).
11. СИНТЕЗ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ ИСКАЖЕННОЙ ИЗОЛИНИИ В АСПЕКТЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО РЕЖИМА СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИИ. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEpYL91aYIJffB7PW4u65cLgZfwCs2V4YucfsfuNK7X9QJU0J6q8GN8uF1Op-HCKnru2ZKUvF0Mxn1xBwyzH5yNIQmB4ON1N4hQEdkUw2EAA1gNRYRNQRXX5ymEKUmIbGY1OMy4OMfFeo1vo6bHPdx8uFtNRryUvytqZSOKe3YSoplt-19LaPBda8XSStSjQ6Z5ETGS5FZ8GMC850U950N-BdJ-nQd1guA_ZNPO3WBkukMop-4EIih4cNeIdy7p7ynyOIgFlhFWavKfyelYHKK9cxC7T1wnp_VN (дата обращения: 25.10.2025).
12. Волков, Ю.С. Пример параболической сплайн интерполяции с ограниченной константой Лебега … C. 85-91. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFrCrlRuE04jAtKbo4R3Bqe7q9Xv9asnk7K9M91zoNFFhCyUYQZEkNrtqjXsCxZbJTpBXJOUt3Rt9LgT5mW__Pl-6CIEmauy9s1wzqRrQ39cKggsofFpOZNDbsFMLMAkvdyyV8I5gLyIRRDbg== (дата обращения: 25.10.2025).
13. Численные методы. Приближение функций. URL: https://vertexaisearch.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFmPJ4_pN1hYaq2FEIOKXDyxjPsKMVDKpq_HLQmxHW8erL1bp7DS2Srj0z-3KcXPP7fvC5QJvsyyww5KZjWEy8f7yfd3rlZGw6PAs65ndx0FkX37Ff7CkbzvTFCCA5yn6Lk3U2alUiguWIdyYtwSk_ESwLz8Q== (дата обращения: 25.10.2025).
14. Интерполяционная формула Лагранжа. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGCwdbJ8btKOg_YxYoWnfBaUQnoJDkqYo6wVYp3H7CzMiiMs-bVB2UuG_l-DPG1HLquHlY93KvpH6aaEeP4QaSO6Q_OCYLfwWd8l0rjKvLaUyJ3FCkWLw-06KjqeJ0h7avpoYX4_0EiTtIdhCfxyNbjnHjBL7uHceqVG2j6MWGj-DwcQM0nax3P7zQQaqt8Tc8lbEYwcK0qfqzYgZ_refWW-rohWGjaXTKh0MD_MGjs4gBV-V5FPsP_T4uKgrsm1vM31Ks96RnRHGn_p-xr8Uztf3lYRhX-kzCx5Bv2-6zu9rwdSFJLc5IuvB6fvKDodoSlIp4te-E-Y1XYd0GiVmNAgQZIohpuvxA8TNYDd5V_3f4PDw== (дата обращения: 25.10.2025).
15. Численные методы. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFxvt-rtAwzkhUX11zsY_ZAPRlehtx9uWm4e5U4kxIq31tYDEHBsg7RJnFzjgzjsvGhsiOFjZuZu-6lwX7VIazNPMmD2vxEZVaPw75C4wfK9eYmDKhozJN1i2sTeGKjJDyzZVuegnSHTZNbo1VV0LfqGqncw6-K2FBvkcohjQ== (дата обращения: 25.10.2025).
16. Локальная и глобальная интерполяция. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGouFHDiBi9v-YHtPwx9rGdrD3aR0oDZDQXfJsTT09jRRwfwh4mRntRG8lnDWZrBiKyA9h7-a1xGqqZ_ywSglBpq1ONPMcaDUMskfThbwyQWHBFumEb9YLENZgHyGds55TIqjGpRHiD-ODIDOycY_7yWeVjNjBg7rl5huKLkA== (дата обращения: 25.10.2025).
17. Интерполяционные формулы Ньютона. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQE2cTOlScj-4FVcb-_rRcd_ocB98A666T4pwMLASOan4F-Xl_o8AM2ETcTLRvGq5qifIhSfxDOwvi6YQkF5IDe_RSVAZJAEKk1SW_gxMnkYM_PgkOHPi4i7MnqkUa1wkAdFfyM389pXieGoSq2hshTXN0kZ6kUdd-oOaW4n3Azz-hraYpD-o0icyRHIsf_vV9Dsupr-XUah9-XsmN__w0H-w3DfemQLxegcBQrw1__ZPnxKQG4dvbTR_9Fa05strqBR2yvOzVccGConXnW6ujyZQdWxgf2bb5yanuHwJZ_JA6YAu-M9exM9dYDyyt0m_m_T3jK1hLWf161-wYXJPFk_dSOmUPEuOhSWhcu5K_Vqg== (дата обращения: 25.10.2025).