Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Проблемы простых чисел 5
2. Начальные сведения о простых числах 8
2.1. Простейшие свойства функции π (х) 9
2.2. Критерий простоты 11
3. Теорема о распределении простых чисел 15
Выводы 21
Список использованной литературы 22
Выдержка из текста
ВВЕДЕНИЕ
Многие важные задачи современной аналитической теории чисел как правило формулируются в терминах элементарной математики и понятий предела [1]. Возможно их решение даже просто с использованием понятия безгранично возрастающего параметра. Таков, например, закон простых чисел, теорема И. М. Виноградова о том, что все достаточно большие нечетные числа — суммы трех простых чисел, и количество соответствующих представлений выражается простой предельной (асимптотической) формулой, теоремы о счете целых точек внутри расширяющихся контуров, о поведении дробных частей последовательностей и так далее. Вместе с тем решение соответствующих, сформулированных в простых терминах проблем часто требует весьма сложных и на первый взгляд далеких от теории чисел средств. Так, до недавнего времени закон простых чисел мог быть обоснован только с помощью теории функций комплексного переменного, и появление в 1949 г. полностью элементарных доказательств А. Сельберга, и П. Эрдеша и Д. Сельберга явилось крупным событием в теории чисел. Теория функций комплексного переменного существенно применялась и в аддитивных задачах (первоначальные варианты Гарди—Литтлвуда решений проблемы Варинга), различных теоремах о распределении простых чисел и их обобщений, решении А. О. Гель- фонда VII проблемы Гильберта и многих других случаях. Ряды Фурье и тригонометрические суммы играют фундаментальную роль в аддитивных задачах, теория полей функций над абстрактным полем констант и алгебраическая топология получают все возрастающее значение в современной теории чисел. Все перечисленные трансцендентные методы приводят в ряде случаев к весьма сильным и точным результатам, и от них можно ожидать еще очень многого.
Не может быть и речи об отказе от трансцендентных методов в современной теории чисел. Однако естественным желанием исследователя является определение возможно более арифметического пути к решению элементарно формулируемой проблемы. Помимо очевидного методического значения такого пути, он важен еще тем, что часто дает простой и естественный взгляд на полученные теоремы и причины, обусловливающие их существование. Часто элементарными методами можно достигнуть результатов, недоступных пока сильным аналитическим средствам, действующим в других случаях весьма эффективно. Таково, например, положение с бинарными задачами типа проблемы Гольдбаха; наиболее важные результаты здесь выводятся с помощью элементарного метода решета Эратосфена, разработанного Вигго Бруном. В большинстве известных случаев, однако, элементарные методы, в основном давая реше-ние проблемы, все же уступают трансцендентным методам в отношении дальнейших уточнений получаемых предельных соотношений.
Таким образом, распределение простых чисел — раздел теории чисел, в котором изучаются закономерности распределения простых чисел среди чисел натурального ряда. Данная теория хороша еще с той точки зрения, что все подобные процессы удобно программировать на различных языках, таких как С, Delphi и php [2]. Такое удобство повышает актуальность данной тематики. Но в данном реферате описывается распределение простых чисел именно при помощи математических методов.
Список использованной литературы
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прахар К. Распределение простых чисел.: М., Мир, 1967 г. – 512 с.
2. Зенкин В.И. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008. — 158 стр.
3. Ингам А.Е. Распределение простых чисел. М. -Л.: ОНТИ, 1936. — 160 с
4. Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. Монография. Перевод с. англ.: Бегунец А.В., Вегнер Я.В., Кнотько В.В., Преображенский С.Н., Сергеев И.С. М.: УРСС: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 664 с.
5. Дербишир Д. Простая одержимость.М.: изд-во "Астрель", 2010 г. — 275 с.