Сравнительный анализ современных систем компьютерной математики (СКМ): Актуальный обзор 2025 года и новые горизонты применения

В современном мире, где объем данных растет экспоненциально, а сложность научных и инженерных задач достигает беспрецедентных уровней, роль систем компьютерной математики (СКМ) становится не просто важной, а критически необходимой. Эти мощные программные комплексы выступают в качестве незаменимых инструментов для студентов, аспирантов, исследователей и инженеров, предоставляя им возможность не только выполнять сложнейшие вычисления, но и глубоко анализировать данные, моделировать процессы и визуализировать результаты. Однако, несмотря на их повсеместное применение, информация о СКМ имеет свойство быстро устаревать. Инновации, выпускаемые ведущими разработчиками, такими как MathWorks, Maplesoft, Wolfram Research и PTC, постоянно расширяют функционал и изменяют архитектуру этих систем, делая обзоры прошлых лет менее релевантными.

Данная работа призвана устранить этот пробел, предложив актуальный и всесторонний сравнительный анализ современных СКМ, сфокусированный на версиях 2023-2025 годов. Мы не просто обновим данные, но и углубимся в инновационные аспекты, такие как интеграция с искусственным интеллектом, облачные решения и расширенные возможности параллельных вычислений. Структура работы выстроена таким образом, чтобы читатель получил максимально полное и объективное представление о каждой системе, ее преимуществах, недостатках и оптимальных сценариях применения. Мы будем использовать методологию сравнения, основанную на объективных и современных критериях, чтобы помочь пользователям сделать осознанный выбор СКМ, соответствующий их специфическим академическим или профессиональным задачам. Наша цель — предоставить не просто реферат, а полноценное руководство, которое сможет служить надежным ориентиром в динамично развивающемся мире компьютерной математики, ведь от правильного выбора инструмента зачастую зависит успех всего проекта.

Теоретические основы и исторический экскурс в мир СКМ

Для того чтобы в полной мере оценить современные системы компьютерной математики, необходимо сначала разобраться в их фундаментальных принципах и проследить эволюцию от первых шагов до сегодняшнего дня. В основе любой СКМ лежат два ключевых подхода к вычислениям: символьный и численный.

Системы компьютерной алгебры (СКА, англ. Computer Algebra System, CAS) — это прикладные программы, специализирующиеся на символьных вычислениях. Что это значит? Представьте, что вы решаете уравнение. В обычной математике вы работаете с переменными, символами, функциями, стремитесь найти общее аналитическое решение. Символьные вычисления делают то же самое: они оперируют математическими выражениями и формулами как последовательностями символов, выполняя их преобразования в аналитической (символьной) форме. Например, вместо того чтобы получить числовое значение производной x² при x = 2 (что даст 4), СКА выдаст 2x, то есть само выражение. Это позволяет работать с неопределенными параметрами, получать точные решения, упрощать выражения, выполнять символьное интегрирование и дифференцирование.

В противовес этому, численные методы ориентированы на получение приближенных числовых решений. Когда точное аналитическое решение невозможно или нецелесообразно, численные методы позволяют найти ответ с заданной точностью, выполняя конечное число элементарных операций над числами. Например, если нужно найти корень сложного трансцендентного уравнения, численными методами можно получить его значение с высокой степенью приближения, но не в виде аналитической формулы.

Таким образом, если символьные вычисления стремятся к «идеальному» математическому решению, то численные методы предлагают «практическое» решение в виде конкретных чисел. Современные СКМ, как мы увидим, мастерски объединяют оба подхода, предоставляя пользователю гибридные возможности.

Истоки компьютерной алгебры уходят в середину XX века, когда на стыке математики и информатики зародилась идея об эффективных алгоритмах для вычислений математических объектов. Активная разработка систем компьютерной алгебры началась в конце 1960-х годов. Именно в этот период появились первые поколения СКА, такие как Macsyma, Scratchpad и SAC-I, предназначенные для больших машин и преимущественно ориентированные на исследовательские задачи в академической среде. Эти системы заложили фундамент для последующего развития, доказав принципиальную возможность и перспективность символьных вычислений.

Однако истинный прорыв произошел с появлением второго поколения систем компьютерной алгебры. Эти системы не только значительно расширили возможности символьных вычислений, но и интегрировали поддержку численных расчетов с произвольной точностью, предложили развитые, интуитивно понятные пользовательские интерфейсы и богатые средства визуализации данных. Двумя наиболее яркими представителями этого поколения стали:

• Mathematica, разработанная Стивеном Вольфрамом. Её первая версия 1.0 была выпущена 23 июня 1988 года, став вехой в истории СКМ.
• Maple, созданная в Университете Ватерлоо. Разработка началась в 1981 году, а первая версия Maple 1.0 увидела свет в январе 1982 года.

Эти системы стали стандартом де-факто для академического и научного сообщества, предлагая беспрецедентные возможности для решения широкого круга математических задач.

Значение символьных и численных вычислений в современной науке, инженерии и образовании невозможно переоценить. Они позволяют:

• В науке: Проводить сложные теоретические исследования, моделировать физические процессы, обрабатывать экспериментальные данные, верифицировать гипотезы.
• В инженерии: Проектировать сложные системы, оптимизировать параметры, анализировать устойчивость конструкций, автоматизировать рутинные расчеты, такие как расчеты в механике материалов или теоретической механике.
• В образовании: Демонстрировать сложные математические концепции, проводить виртуальные эксперименты, обучать студентов численным методам и символьной алгебре, развивать навыки алгоритмического мышления.

Современные СКМ продолжают эволюционировать, интегрируя новейшие технологии, такие как искусственный интеллект и облачные вычисления, что делает их еще более мощными и универсальными инструментами для решения задач XXI века.

Детальный обзор ведущих СКМ: Функционал и архитектура (Версии 2023-2025)

В этом разделе мы погрузимся в мир четырех ключевых систем компьютерной математики — MATLAB, Mathcad, Maple и Mathematica, рассматривая их последние версии и анализируя их функциональные и архитектурные особенности, актуальные на октябрь 2025 года.

MATLAB (R2025a): Экосистема для численных вычислений, моделирования и ИИ

MATLAB, выпущенный в версии R2025a в мае 2025 года, является не просто системой, а целой экосистемой, предназначенной для численных вычислений, разработки алгоритмов, анализа и визуализации данных. Его основной язык разработан таким образом, чтобы напрямую выражать матричную и массивную математику, что делает его интуитивно понятным для инженеров и ученых. Это означает, что линейная алгебра в MATLAB выглядит почти так же, как в учебнике, позволяя пользователям сосредоточиться на сути задачи, а не на синтаксисе.

Основные возможности MATLAB:

• Среда программирования: Мощная среда для создания и отладки алгоритмов.
• Анализ данных: Обширный набор инструментов для статистического анализа, обработки сигналов и изображений.
• Визуализация: Продвинутые возможности для построения 2D- и 3D-графиков, создания интерактивных визуализаций.
• Численные методы: Широкий спектр функций для решения дифференциальных уравнений, оптимизации, интерполяции.
• Профессиональная разработка: Функции тщательно протестированы и полностью документированы, обеспечивая надежность для широкого круга научных и инженерных задач.

Нововведения R2025a: Эта версия принесла ряд значительных улучшений, повышающих удобство и продуктивность:

• Новый макет рабочего стола: Пользователи теперь могут настраивать боковые панели слева, справа и снизу, получая быстрый доступ к таким инструментам, как Отладчик, Проекты и Панели управления версиями.
• Настраиваемый интерфейс: Появилась возможность изменять цвет рабочего стола, выбирая между темной и светлой темами, что способствует персонализации рабочей среды.
• Интеграция Live Scripts: В Live Scripts теперь можно встраивать видео с YouTube, делая интерактивные сценарии еще более наглядными и информативными.

Расширенные возможности и ИИ: MathWorks активно развивает MATLAB в сторону интеграции с передовыми технологиями:

• MATLAB Copilot: Это новый революционный продукт от MathWorks, интегрирующий генеративные ИИ-модели непосредственно в рабочие процессы MATLAB. Он призван автоматизировать рутинные задачи, генерировать код и помогать в отладке, значительно ускоряя разработку.
• Symbolic Math Toolbox™: Хотя MATLAB изначально ориентирован на численные вычисления, этот тулбокс позволяет выполнять символьные операции прямо из командной строки, определяя символьные объекты. Это стирает грань между численными и символьными подходами, предоставляя гибридные возможности.
• Parallel Computing Toolbox™: Для задач, требующих высокой производительности, этот тулбокс обеспечивает поддержку параллельных вычислений. Он позволяет использовать более 700 функций для вычислений на GPU без необходимости низкоуровневого программирования на CUDA®.
• Deep Learning Toolbox™: Инструмент для работы с глубокими нейронными сетями, который также предоставляет автоматическую параллельную поддержку для нескольких GPU, значительно ускоряя обучение моделей. Он улучшает интеграцию с Python, позволяя обмениваться моделями с TensorFlow™ и PyTorch через формат ONNX™, а также импортировать модели из TensorFlow-Keras и Caffe.
• Генерация кода: Функциональность MATLAB Coder была обновлена, что облегчает генерацию кода на языке C для внедрения алгоритмов MATLAB в другие системы.

Применение MATLAB: Спектр применения MATLAB чрезвычайно широк:

• От исследований до производства: MATLAB помогает автоматизировать весь путь от концепции и исследования до развертывания готовых решений.
• Моделирование: Идеально подходит для моделирования физических явлений, инженерных и экономических систем. Simulink, поставляемый с MATLAB, является золотым стандартом для имитации динамических систем с помощью блок-диаграмм.
• Обработка данных: Используется для цифровой обработки сигналов и связи, обработки изображений и видео, а также для обработки реальных осциллограмм и данных из экспериментов.
• Проектирование и контроль: Широко применяется в проектировании систем управления и контроля, автоматизации тестирования и измерений.
• Специализированные области: Активно используется в финансовом инжиниринге и вычислительной биологии, а также в академической среде для преподавания инженерных и научных дисциплин. Инженеры и ученые применяют MATLAB для автоматизации повседневных инженерных задач с помощью скриптов (m-файлов) и Live Editor.

PTC Mathcad (Prime 9): Инженерные расчеты с интуитивным интерфейсом

PTC Mathcad Prime 9, выпущенный 14 марта 2023 года, является ведущим решением для инженеров, которые ценят ясность, точность и простоту документирования расчетов. Отличительной чертой Mathcad является его способность объединять возможности инженерного калькулятора, электронной таблицы, текстового редактора и среды программирования в едином, интуитивно понятном документе. Пользователи могут записывать формулы на экране компьютера в их привычном, естественном виде, что делает процесс работы с вычислениями максимально комфортным и способствует автоматическому оформлению расчетной документации с заголовками, колонтитулами и нумерацией страниц.

Ключевые особенности Mathcad:

• Интуитивный интерфейс: Позволяет инженерам интуитивно строить вычисления с использованием стандартных математических обозначений, как будто они пишут на обычной бумаге.
• Документирование: Система идеально подходит для создания документов, которые объединяют исходные данные, математическое описание их обработки, результаты вычислений в виде числовых данных, таблиц и графиков.
• Интеллектуальная поддержка единиц измерения: Mathcad автоматически отслеживает и преобразует единицы измерения во всех расчетах, исключая ошибки и обеспечивая корректность результатов.

Улучшения Prime 9 (2023): Девятая версия принесла существенные обновления, направленные на повышение производительности и расширение функционала:

• Обновления символьного и численного движков: Значительно улучшена базовая математическая мощь системы.
• Аналитическое решение ОДУ: Добавлена возможность аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), включая ОДУ первого порядка и ОДУ высших порядков, сводимых к системам первого порядка, что является критически важным для многих инженерных задач.
• Новые функции: Появились новые функции, такие как интегральный логарифм и эллиптические интегралы, расширяющие спектр решаемых задач.
• Улучшенные операторы исчисления: Операторы для производных, пределов, интегралов и сумм, используемые символически, стали более мощными и гибкими.
• Оператор градиента: Введен новый оператор градиента (Gradient Operator), который возвращает градиент скалярной функции относительно определенных переменных как численно, так и символически.
• Расширенный блок решения (Solve Block): Добавлена функция pdesolve для решения дифференциальных уравнений в частных производных, а также возможность символьного решения систем уравнений внутри блока решения с использованием функции find.
• Ключевое слово assume: Пользователи могут использовать ключевое слово assume для определения допущений о результате функции, что улучшает контроль над символьными вычислениями.

Удобство использования и производительность:

• Текстовые стили: Новые текстовые стили позволяют лучше организовывать рабочий лист и улучшать читаемость.
• Внутренние ссылки: Возможность создавать внутренние ссылки для быстрой навигации по объемным документам.
• Настраиваемый выбор цвета: Пользователи могут настраивать цвета интерфейса для персонализации рабочего пространства.

Применение Mathcad:

• Инженерные расчеты: PTC Mathcad является стандартом для инженерных расчетов, позволяя инженерам и проектно-конструкторским группам не только выполнять, но и эффективно документировать и передавать расчеты.
• Образовательный процесс: Широко применяется в учебном процессе для решения задач по теоретической механике, механике материалов, теории механизмов и машин, а также других дисциплин, требующих сложных технических расчетов. Его визуальная простота делает его отличным инструментом для обучения.

Maple (2025): Мощный символьный процессор и интеграция с ИИ

Maple 2025 продолжает традиции мощного символьного процессора, сочетая его с инновационными функциями и улучшенным пользовательским опытом. Система содержит более 5000 встроенных функций, охватывающих практически все области математики: от базового математического анализа до линейной алгебры, дифференциальных уравнений, статистики и геометрии.

Широкий функционал Maple:

• Математический анализ: Символьное интегрирование, дифференцирование, нахождение пределов, сумм и произведений.
• Алгебра: Факторизация полиномов, определение наибольшего общего делителя, метод Гаусса, решение диофантовых уравнений.
• Линейная алгебра: Различные матричные операции и операции со строками.
• Специализированные вычисления: Гипергеометрическое суммирование, решение дифференциальных уравнений, анализ сходимости бесконечных рядов.

Новые возможности Maple 2025: Последняя версия принесла значительные улучшения как в интерфейсе, так и в ядре системы:

• Новый ленточный интерфейс: Интерфейс Maple 2025 был реорганизован по задачам, что значительно упрощает доступ и использование многочисленных функций системы, делая ее более дружелюбной для новых пользователей и более эффективной для опытных.
• Доработанный математический движок: Существенно улучшен математический движок, включая новые алгоритмы для:
  • Числовых обратных преобразований Лапласа: Критически важно для инженеров и физиков.
  • Поиска формулы n-го члена последовательности: Упрощает работу с дискретной математикой.
  • Анализа сходимости бесконечных рядов: Важно для теоретических исследований и аппроксимаций.
• Улучшенные команды упрощения выражений: Повышена эффективность и точность символьных преобразований.
• Автодополнение пользовательских переменных: Улучшенное автодополнение теперь поддерживает пользовательские переменные, ускоряя написание кода.
• Улучшенная производительность: Maple 2025 использует новую компактную структуру представления чисел с плавающей запятой, что улучшает производительность базовых операций и сокращает использование памяти.
• Алгоритм Фурье-Моцкина: Добавлена новая, значительно более быстрая реализация алгоритма Фурье-Моцкина для решения систем линейных неравенств.

Интеграция с ИИ: Maple активно движется в сторону интеграции с искусственным интеллектом:

• ИИ-инструмент для генерации документов: В Maple 2025 включена технологическая предварительная версия нового инструмента на основе ИИ, который генерирует документы Maple по текстовому запросу, что обещает революционизировать процесс создания учебных материалов и отчетов.
• Интеграция с Python: Система поддерживает запуск интерпретатора Python непосредственно внутри Maple, что позволяет использовать обширные библиотеки Python для анализа данных и машинного обучения.
• Пакет DeepLearning: Предоставляет API для работы с нейросетями на базе TensorFlow, делая Maple мощным инструментом для исследователей в области ИИ.

Применение Maple:

• Решение математических задач: Maple используется для решения широкого спектра математических задач любой сложности, от академических до прикладных.
• Образовательные инструменты: Система предоставляет специализированные образовательные инструменты, которые делают преподавание ключевых математических дисциплин более наглядным и интерактивным.
• Инженерные применения: Инженеры и преподаватели активно используют Maple для таких задач, как числовое обращение преобразований Лапласа.

Wolfram Mathematica (14.3): Универсальная вычислительная платформа и язык Wolfram

Wolfram Mathematica, последняя версия которой 14.3 была выпущена 5 августа 2025 года, представляет собой одну из наиболее универсальных и мощных систем компьютерной математики. Она является проприетарной системой, способной выполнять как аналитические (символьные), так и численные расчеты, представляя результаты в буквенно-цифровом виде и в форме графиков.

Аналитические и численные возможности: Mathematica известна своей способностью решать широкий круг задач:

• Решение уравнений: Системы полиномиальных и тригонометрических уравнений, трансцендентных уравнений, рекуррентных уравнений.
• Символьные преобразования: Упрощение выражений, нахождение пределов, интегрирование и дифференцирование функций.
• Ряды и преобразования: Нахождение сумм и произведений, выполнение интегральных преобразований.
• Дифференциальные уравнения: Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
• Вывод результатов: Результаты могут быть представлены как в традиционном текстовом виде, так и в виде высококачественной графики.

Архитектура: Отличительной чертой Mathematica является ее архитектура:

• Бэкенд: Все вычислительные и аналитические функции обеспечиваются мощным бэкендом (ядром).
• Пользовательские интерфейсы: К этому бэкенду могут подключаться различные пользовательские интерфейсы. Традиционная вычислительная записная книжка (Notebook) является наиболее распространенной. Однако с бэкендом Mathematica можно работать и из интегрированных сред разработки (IDE), таких как Eclipse и IntelliJ IDEA, а также через свободный инструмент JMath, предоставляющий интерфейс командной строки посредством MathLink с 2002 года.

Язык программирования Wolfram: Сердцем Mathematica является язык программирования Wolfram, который представляет собой уникальную мультипарадигмальную среду:

• Мультипарадигмальность: Поддерживает процедурное, объектно-ориентированное, функциональное и логическое программирование, а также программирование, основанное на правилах (rule-based programming).
• Символьные вычисления: Особый акцент сделан на символьные вычисления, что позволяет языку гибко работать с математическими выражениями.
• Философия языка: Ключевая идея заключается в том, что все — данные, формулы, код, графика, документы — представляется как символьные выражения. Это обеспечивает исключительную гибкость и мощь программирования, а также позволяет автоматизировать сложные задачи.

Гибкость и применение:

• Универсальная среда: Mathematica предоставляет уникальную среду для внедрения, исследования и развертывания вычислений, а также для поддержки передовых компьютерных наук.
• Научные исследования: Широко используется многими специалистами в научных исследованиях в математике, экономике, физике и других областях.
• Образование: В вузах Mathematica применяется как базовый пакет при изучении высшей математики, помогая студентам и ученым решать широкий спектр задач, от обработки экспериментальных данных до символьного решения дифференциальных уравнений.
• Wolfram|Alpha: Mathematica лежит в основе Wolfram|Alpha, популярного вычислительного поисковика знаний.

Таким образом, каждая из рассмотренных СКМ обладает уникальными особенностями и сильными сторонами, ориентированными на различные типы задач и категории пользователей. Выбор между ними часто зависит от конкретных требований проекта, предпочтений в интерфейсе и необходимого уровня интеграции с другими инструментами.

Альтернативные и свободно распространяемые СКМ: Расширяя выбор

Помимо коммерческих гигантов, таких как MATLAB, Mathcad, Maple и Mathematica, существует обширный мир альтернативных, в том числе свободно распространяемых систем компьютерной математики. Они предоставляют мощные инструменты для решения широкого круга задач и часто являются привлекательным выбором для студентов, исследователей и организаций с ограниченным бюджетом. Среди наиболее востребованных альтернатив выделяются SageMath, Maxima, R и Scilab.

SageMath: Объединяющая платформа для математики с открытым исходным кодом

SageMath — это не просто отдельная система, а амбициозный проект, который объединяет множество существующих математических пакетов с открытым исходным кодом, предоставляя единый, мощный и удобный интерфейс. Его философия заключается в создании универсальной «оболочки», которая позволяет использовать сильные стороны различных специализированных инструментов.

Ключевые особенности SageMath:

• Интеграция пакетов: SageMath выступает в качестве консолидирующей платформы, интегрируя такие известные пакеты, как Maxima (для символьных вычислений), R (для статистики), NumPy и SciPy (для численных вычислений на Python). Этот подход позволяет пользователям получать доступ к широкому спектру функционала, не переключаясь между разными программами.
• Широкий спектр интегрированных компонентов: Помимо вышеупомянутых, SageMath включает множество других специализированных библиотек:
  • brial: Алгебра булевых колец.
  • cddlib: Метод двойного описания для полиэдральных представлений.
  • cvxopt: Инструменты для оптимизации.
  • flint: Библиотека теории чисел.
  • gap: Вычислительная дискретная алгебра.
  • gmp: Арифметика произвольной точности, обеспечивающая высокую точность вычислений.
• Единый интерфейс: Несмотря на разнообразие интегрированных пакетов, SageMath предоставляет унифицированный интерфейс (часто на базе Jupyter Notebook), что облегчает работу и обучение.

Другие популярные альтернативы: Maxima, R, Scilab

Каждая из этих систем имеет свои уникальные сильные стороны и области применения:

• Maxima: Это классическая система компьютерной алгебры с открытым исходным кодом, предназначенная исключительно для символьных вычислений. Она может выполнять дифференцирование, интегрирование, решать уравнения, работать с полиномами и выполнять множество других операций в аналитической форме. Maxima является потомком знаменитой Macsyma и продолжает развиваться благодаря активному сообществу.
• R: R — это мощный язык и среда для статистических вычислений и графики. Он является де-факто стандартом в академическом мире и индустрии для статистического анализа, разработки моделей машинного обучения и создания высококачественной визуализации данных. R обладает огромным количеством пакетов, разработанных сообществом, что делает его чрезвычайно гибким и применимым в самых разных областях, от биоинформатики до финансов.
• Scilab: Scilab — это свободно распространяемое программное обеспечение для численных вычислений, которое во многом похоже на MATLAB. Оно предлагает мощную среду для инженерных и научных приложений, включая обработку сигналов, статистику, оптимизацию, моделирование и управление системами. Scilab является отличной альтернативой для тех, кому нужны возможности MATLAB, но кто ограничен в средствах на лицензирование проприетарного ПО.

Эти альтернативные и свободно распространяемые СКМ играют важную роль в демократизации доступа к мощным математическим инструментам, позволяя широкому кругу пользователей — от студентов до профессионалов — выполнять сложные расчеты и исследования без значительных финансовых вложений. Они также способствуют развитию открытого научного сообщества и обмену знаниями, что является неоценимым вкладом в прогресс.

Критерии для объективного сравнительного анализа СКМ

Проведение всестороннего и объективного сравнительного анализа систем компьютерной математики требует четко определенных критериев. Только такой подход позволяет получить полное представление о преимуществах и недостатках каждой системы и сделать осознанный выбор, исходя из конкретных потребностей пользователя. Мы предлагаем набор критериев, который охватывает как базовые, так и расширенные аспекты функциональности и использования СКМ.

Основные критерии: Фундамент для сравнения

1. Производительность: Этот критерий включает в себя скорость выполнения как символьных, так и численных вычислений. Для символьных систем важна скорость упрощения выражений, решения аналитических уравнений, интегрирования и дифференцирования. Для численных систем ключевыми являются скорость матричных операций, решения систем линейных уравнений, выполнения итерационных алгоритмов и обработки больших объемов данных.
2. Удобство интерфейса: Оценивается интуитивность, эргономика и простота использования пользовательского интерфейса.
   • Графический интерфейс пользователя (GUI): Насколько удобно работать с меню, панелями инструментов, интерактивными элементами.
   • Командная строка: Насколько гибок и мощен язык командной строки.
   • Ленточный интерфейс: Актуально для современных версий (например, Maple 2025), насколько он логично организован по задачам.
   • Естественность ввода: Особенно важно для Mathcad, где формулы записываются в традиционном математическом виде.
3. Расширяемость: Способность системы к адаптации и расширению функционала.
   • Наличие тулбоксов/пакетов: Количество и качество доступных специализированных библиотек и модулей (например, Image Processing Toolbox в MATLAB, пакет DeepLearning в Maple).
   • Возможность создания собственных расширений: Поддержка пользовательского программирования для разработки собственных функций, скриптов, библиотек и интерфейсов.
4. Стоимость лицензирования и доступность: Один из самых критичных факторов для многих пользователей.
   • Проприетарные СКМ: Цена полной лицензии, студенческие и академические скидки, варианты сетевого лицензирования.
   • Open-source альтернативы: Бесплатность использования, но с учетом потенциальных затрат на поддержку, обучение и разработку.

Расширенные критерии: Глубокий взгляд на возможности

1. Возможности визуализации: Как система представляет данные и результаты.
   • 2D- и 3D-графика: Качество и гибкость построения графиков функций, данных, полей.
   • Интерактивность: Возможность масштабирования, вращения, анимации графиков, создания интерактивных элементов управления.
   • Настройка: Насколько легко настроить внешний вид графиков (цвета, стили линий, легенды, подписи).
2. Поддержка параллельных вычислений: Способность эффективно использовать многоядерные процессоры, GPU и кластерные системы для ускорения расчетов.
   • CPU/GPU: Наличие встроенных функций и тулбоксов для параллельных вычислений на центральных и графических процессорах.
   • Кластеры: Поддержка распределенных вычислений на нескольких машинах.
3. Возможности программирования: Гибкость и мощность встроенного языка программирования.
   • Поддержка парадигм: Процедурное, функциональное, объектно-ориентированное, символьное, основанное на правилах программирование.
   • Интеграция с другими языками: Возможность вызова и использования функций из других популярных языков, таких как Python (например, в MATLAB и Maple), C/C++.
   • Разработка пользовательских интерфейсов: Инструменты для создания собственных приложений и GUI.
4. Наличие специализированных библиотек: Глубина и широта охвата конкретных предметных областей.
   • Машинное обучение (ML) и глубокое обучение (DL): Специализированные тулбоксы (например, Deep Learning Toolbox в MATLAB), поддержка фреймворков (TensorFlow, PyTorch).
   • Обработка сигналов и изображений: Инструменты для анализа и обработки мультимедийных данных.
   • Финансовая математика, биоинформатика, механика: Наличие готовых функций и моделей для этих и других прикладных областей.
5. Области применения и нишевые преимущества: Для каких задач система подходит лучше всего.
   • Инженерные расчеты, научные исследования, образование: Какие системы доминируют в каждой из этих сфер.
   • Уникальные особенности: Например, интеллектуальная поддержка единиц измерения в Mathcad, философия «все есть символьное выражение» в Mathematica.

Методология оценки: От критериев к выбору

При выборе СКМ на основе этих критериев важно не просто сравнивать абсолютные значения, а соотносить их со специфическими требованиями пользователя. Например, для инженера, которому необходимо документировать расчеты и работать с единицами измерения, Mathcad может оказаться предпочтительнее, даже если его символьные возможности уступают Maple или Mathematica. Для исследователя в области ИИ MATLAB с его Deep Learning Toolbox и интеграцией с Python будет более ценным. Какие же тенденции определяют будущее этих систем, и как они влияют на наш выбор?

В конечном итоге, выбор СКМ — это всегда компромисс, основанный на балансе между функционалом, стоимостью, удобством использования, производительностью и спецификой решаемых задач. Тщательный анализ по предложенным критериям позволяет сделать этот выбор максимально обоснованным и эффективным.

Современные тенденции и перспективы развития СКМ: Взгляд в будущее

Мир систем компьютерной математики не стоит на месте, постоянно адаптируясь к новым технологическим вызовам и потребностям пользователей. Последние годы ознаменовались появлением ряда мощных тенденций, которые формируют будущее СКМ, делая их еще более универсальными, доступными и интеллектуальными.

Облачные решения: Математика без границ

Одной из наиболее заметных тенденций является активное развитие облачных решений для СКМ. Эта парадигма позволяет пользователям выполнять вычисления удаленно, без необходимости установки тяжелого программного обеспечения на локальный компьютер, а также обеспечивает совместный доступ к проектам и данным. Преимущества очевидны: снижение требований к аппаратным ресурсам пользователя, упрощение развертывания и управления лицензиями, а также возможность работы из любого места с доступом в интернет. А что если доступ к сложным вычислениям станет столь же прост, как просмотр веб-страницы?

Примеры облачных решений:

• MATLAB Online: Расширяет привычные возможности MATLAB и Simulink до облачной среды. Это позволяет студентам и исследователям запускать скрипты, работать с моделями и анализировать данные прямо в веб-браузере, что особенно удобно для образовательных учреждений и удаленной работы.
• Wolfram Cloud: Предоставляет доступ к Wolfram|One, Wolfram Mathematica и Wolfram|Alpha через веб-браузер без установки. Это не просто облачная версия программы, а целая экосистема, позволяющая создавать интерактивные документы, развертывать вычисления как API и делиться ими с другими пользователями.

Однако облачные решения не лишены ограничений, таких как зависимость от стабильности интернет-соединения и вопросы конфиденциальности данных. Тем не менее, их развитие продолжается, предлагая все более мощные и безопасные платформы.

Интеграция с искусственным интеллектом и машинным обучением: СКМ как ИИ-лаборатория

Интеграция с искусственным интеллектом (ИИ) и машинным обучением (МО) — это, пожалуй, самая динамично развивающаяся тенденция в мире СКМ. Эта интеграция позволяет автоматизировать сложные задачи, повысить точность анализа и открывает новые горизонты д��я исследований.

Примеры и направления:

• MATLAB Copilot: Новый продукт от MathWorks, интегрирующий генеративные ИИ-модели в рабочие процессы MATLAB. Он может помогать в написании кода, отладке, поиске функций, значительно ускоряя разработку.
• ИИ-инструмент Maple: Технологическая предварительная версия нового инструмента на основе ИИ, который генерирует документы Maple по текстовому запросу. Это может кардинально изменить процесс создания научных статей, учебных материалов и отчетов.
• Специализированные библиотеки: Deep Learning Toolbox™ в MATLAB предоставляет обширный набор алгоритмов, предобученных моделей и инструментов для разработки глубоких нейронных сетей. Он поддерживает обмен моделями с популярными фреймворками, такими как TensorFlow™ и PyTorch, через формат ONNX™, а также импорт моделей из TensorFlow-Keras и Caffe. Это делает MATLAB полноценной средой для исследований и разработки в области глубокого обучения.

Эта тенденция превращает СКМ из чисто вычислительных инструментов в мощные ИИ-лаборатории, способные не только решать задачи, но и помогать в их постановке и интерпретации результатов.

Открытые и свободно распространяемые альтернативы: Демократизация математики

Растет популярность открытых и свободно распространяемых альтернатив проприетарным СКМ (например, SageMath, Maxima, R, Scilab). Эти системы, поддерживаемые активными сообществами разработчиков, предлагают широкий спектр функциональных возможностей, зачастую сопоставимых с коммерческими аналогами, при этом оставаясь бесплатными. Это способствует демократизации доступа к мощным математическим инструментам и стимулирует инновации за счет открытого исходного кода.

Улучшение графических возможностей: Визуализация как ключ к пониманию

Продолжается активное улучшение графических возможностей и инструментов визуализации. Современные СКМ стремятся предложить пользователям не просто графики, а интерактивные, наглядные представления данных и результатов вычислений, которые помогают глубже понять сложные явления.

Примеры:

• MATLAB: Позволяет создавать графики с несколькими осями, использовать настраиваемые палитры, а также управлять 3D-сценами с освещением и прозрачностью, что критически важно для визуализации сложных многомерных данных.
• Wolfram Mathematica: Известна своей мощной и интерактивной 3D-графикой, позволяющей исследовать функции и данные с различных ракурсов.

Интеграция с другими языками программирования и аппаратным обеспечением: Расширение горизонтов

Современные СКМ стремятся к бесшовной интеграции с другими популярными языками программирования и аппаратным обеспечением, расширяя свои экосистемы и возможности применения.

• Интеграция с Python: MATLAB Deep Learning Toolbox™ уже предлагает тесную интеграцию с Python-фреймворками. Maple также поддерживает запуск интерпретатора Python непосредственно внутри себя. Это позволяет пользователям комбинировать сильные стороны СКМ с обширной библиотечной базой Python.
• Аппаратное обеспечение: Поддержка работы с такими платформами, как Arduino и Raspberry Pi, позволяет использовать СКМ для управления реальными физическими системами, сбора данных и быстрого прототипирования. Например, Wolfram Mathematica поддерживает работу на Raspberry Pi.

Интерактивные инструменты для образования: Новая эра обучения

Развитие интерактивных инструментов для обучения и образования является еще одной важной тенденцией. СКМ предлагают пошаговые решения, интерактивные примеры и автоматическую проверку ответов, что делает процесс освоения математики и инженерных дисциплин более увлекательным и эффективным.

Эти тенденции свидетельствуют о том, что СКМ не просто следуют за технологическим прогрессом, но и активно формируют его, становясь все более мощными, интеллектуальными и интегрированными инструментами для решения задач в самых разных областях науки, техники и образования.

Сценарии использования, профессиональные области, проблемы и пути их преодоления

Каждая система компьютерной математики, обладая уникальным набором функциональных возможностей и архитектурных особенностей, находит свое оптимальное применение в определенных сценариях и профессиональных областях. Однако, несмотря на все их преимущества, СКМ не лишены проблем и ограничений, которые необходимо учитывать при их выборе и использовании.

Типичные сценарии использования для каждой СКМ

MATLAB:
MATLAB — это универсальный инструмент, широко используемый миллионами инженеров и ученых.

• Цифровая обработка сигналов и связь: От анализа аудио до проектирования систем беспроводной связи.
• Обработка изображений и видео: Разработка алгоритмов для компьютерного зрения, анализа медицинских изображений, видеоаналитики.
• Проектирование систем управления и контроля: От робототехники до автоматизации промышленных процессов.
• Автоматизация тестирования и измерений: Сбор и анализ данных с измерительных приборов.
• Финансовый инжиниринг: Моделирование рынков, оценка рисков, разработка торговых стратегий.
• Вычислительная биология: Анализ геномных данных, моделирование биологических систем.
• Моделирование физических явлений и инженерных систем: С использованием Simulink для имитации динамических систем.
• Образование: Широко применяется для преподавания инженерных и научных дисциплин, позволяя студентам разрабатывать алгоритмы, анализировать данные и создавать модели.
• Автоматизация повседневных задач: Скрипты (m-файлы) и Live Editor используются инженерами и учеными для автоматизации рутинных расчетов и обработки данных из экспериментов.

Mathcad:
PTC Mathcad является де-факто стандартом для инженерных расчетов, где важна не только правильность, но и прозрачность документирования.

• Инженерные расчеты: Расчеты прочности, теплопередачи, гидравлики, электрических цепей.
• Документирование проектов: Создание самодокументируемых расчетов, которые могут быть легко проверены и переданы другим специалистам.
• Учебный процесс: Идеален для преподавания теоретической механики, механики материалов, теории механизмов и машин, а также других дисциплин, связанных со сложными техническими расчетами, благодаря интуитивному вводу формул и интеллектуальной поддержке единиц измерения.

Maple:
Maple отличается мощными символьными возможностями и широким охватом математических дисциплин.

• Решение широкого спектра математических задач: От базового анализа до продвинутой алгебры, дифференциальных уравнений, дискретной математики.
• Специализированные образовательные инструменты: Используется для преподавания ключевых математических дисциплин, предоставляя интерактивные демонстрации и пошаговые решения.
• Научные исследования: Особенно полезен для задач, требующих точных аналитических решений или работы с комплексными символьными выражениями, например, в теоретической физике или чистой математике.
• Инженерные приложения: Для задач, требующих символьных преобразований, например, инверсия преобразований Лапласа.

Mathematica:
Wolfram Mathematica — универсальная платформа, ценящаяся за свой язык Wolfram и глубокую интеграцию знаний.

• Научные исследования: В таких областях, как математика, экономика, физика, компьютерные науки, где требуется как символьная, так и численная обработка данных.
• Обработка экспериментальных данных: Анализ, моделирование и визуализация сложных наборов данных.
• Символьное решение дифференциальных уравнений: Незаменимый инструмент для теоретических физиков и математиков.
• Образование: Применяется в вузах как базовый пакет при изучении высшей математики, благодаря своей универсальности и способности решать широкий круг задач.

Проблемы и ограничения СКМ

Несмотря на свою мощь, системы компьютерной математики имеют ряд ограничений, о которых следует помнить:

1. Медлительность символьных систем при больших численных расчетах: Хотя большинство современных СКМ объединяют символьные и численные движки, чисто символьные операции могут быть значительно медленнее, чем оптимизированные численные алгоритмы, при работе с большими массивами чисел. Это связано с тем, что символьные системы оперируют выражениями, а не конкретными значениями, что требует более сложных внутренних представлений и алгоритмов.
2. Приближенность численных решений: Решения, получаемые численными методами, всегда являются приближенными. Они не дают точного аналитического выражения, а лишь числовое значение с определенной погрешностью. Для многих инженерных задач такая точность достаточна, но в чистой математике или в задачах, где важна абсолютная точность, это может быть проблемой.
3. Вычислительные ресурсы и время для сложных численных задач: Решение некоторых задач численными методами (например, моделирование методом конечных элементов для сложных геометрий, многомерная оптимизация или обучение глубоких нейронных сетей) может потребовать значительных вычислительных ресурсов (оперативной памяти, процессорного времени) и времени. Выбор оптимальных алгоритмов критически важен для баланса между трудоемкостью и точностью.
4. Проблема неустойчивых задач: Некоторые математические задачи по своей природе являются «неустойчивыми», что означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных могут приводить к большим погрешностям в конечном решении. СКМ не могут полностью исключить эту фундаментальную математическую проблему, хотя могут предоставлять инструменты для анализа чувствительности и оценки ошибок.

Методы и подходы для преодоления ограничений

К счастью, многие из этих ограничений можно минимизировать или преодолеть с помощью грамотных подходов:

1. Комбинирование символьных и численных подходов: Современные СКМ позволяют использовать гибридный подход. Например, сначала получить аналитическое решение с помощью символьного движка, а затем подставить численные значения или выполнить численное интегрирование для оценки.
2. Выбор оптимальных алгоритмов: Изучение и применение наиболее подходящих численных алгоритмов для конкретной задачи. Встроенные библиотеки СКМ часто предлагают различные алгоритмы, и понимание их характеристик (скорость сходимости, устойчивость, требования к памяти) позволяет выбрать наилучший.
3. Использование параллельных вычислений и аппаратного ускорения: Активное применение Parallel Computing Toolbox в MATLAB или GPU-вычислений для ускорения ресурсоемких численных задач. Облачные решения также предоставляют доступ к мощным вычислительным ресурсам.
4. Грамотный учет погрешностей: При работе с численными методами необходимо всегда оценивать погрешность. СКМ предоставляют инструменты для анализа чувствительности, распространения ошибок, а также для работы с интервальной арифметикой, что позволяет получать не точечные значения, а диапазоны возможных решений.
5. Оптимизация кода и данных: Для повышения производительности важно писать эффективный код, избегать избыточных вычислений, оптимально структурировать данные.

Понимание сильных сторон и ограничений каждой СКМ, а также владение методами их преодоления, является ключом к эффективному и успешному использованию этих мощных инструментов в академической и практической деятельности.

Заключение

Наш углубленный сравнительный анализ современных систем компьютерной математики (СКМ) на 2025 год позволил выявить их ключевые преимущества, ниши применения и общие тенденции развития. Мы увидели, как MATLAB, Mathcad, Maple и Mathematica, изначально развиваясь порой в разных направлениях, сегодня конвергируют, предлагая гибридные возможности и активно интегрируя передовые технологии.

MATLAB зарекомендовал себя как непревзойденная экосистема для численных вычислений, моделирования и инженерии, с мощными инструментами для обработки сигналов, изображений и глубокого обучения, а также инновациями, такими как MATLAB Copilot. Его матрично-ориентированный язык делает его идеальным для инженеров и ученых.

PTC Mathcad остается золотым стандартом для инженерных расчетов, где важна не только точность, но и интуитивная ясность, а также безупречное документирование с интеллектуальной поддержкой единиц измерения. Его фокус на естественном математическом вводе делает его уникальным.

Maple продолжает блистать как мощнейший символьный процессор, способный решать широкий спектр сложнейших математических задач в аналитической форме. Его новые ИИ-инструменты для генерации документов и улучшенный интерфейс подтверждают стремление к инновациям.

Wolfram Mathematica выделяется как универсальная вычислительная платформа, основанная на уникальном языке Wolfram, способная интегрировать все виды вычислений, данных и визуализаций в единую символическую среду, что делает ее незаменимой для научных исследований и высшего образования.

Помимо этих коммерческих лидеров, мы рассмотрели и активно развивающиеся свободно распространяемые альтернативы, такие как SageMath, Maxima, R и Scilab, которые демократизируют доступ к мощным математическим инструментам и предлагают гибкие решения для различных задач.

Ключевые тенденции, такие как развитие облачных решений (MATLAB Online, Wolfram Cloud), глубокая интеграция с искусственным интеллектом и машинным обучением (MATLAB Copilot, Deep Learning Toolbox, ИИ-инструмент Maple), а также улучшение графических возможностей и интеграция с другими языками (Python) и аппаратным обеспечением, явно указывают на будущее СКМ как на еще более интеллектуальные, доступные и взаимосвязанные системы.

Важность осознанного выбора СКМ невозможно переоценить. Для студента, инженера или исследователя критически важно понимать, какая система наилучшим образом соответствует его конкретным задачам, требуемой точности, доступным ресурсам и индивидуальным предпочтениям. Если цель — численное моделирование и разработка алгоритмов, MATLAB будет в приоритете; для документированных инженерных расчетов — Mathcad; для глубоких символьных преобразований — Maple; для универсальных научных исследований и интегрированного подхода — Mathematica.

В заключение, СКМ продолжают эволюционировать, оставаясь краеугольным камнем в вычислительной математике, информатике и инженерии. Их дальнейшее развитие, несомненно, будет определяться углублением интеграции с ИИ, расширением облачных возможностей и созданием еще более интуитивных и мощных инструментов. Для студентов и исследователей освоение и эффективное использование этих систем является не просто навыком, а стратегическим преимуществом, открывающим новые горизонты для академической и практической деятельности, позволяя решать задачи, которые еще недавно казались неразрешимыми.

Список использованной литературы

1. Аладьев В.З., Бойко В.К., Ровба Е.А. Программирование в пакетах Maple и Mathematica: Сравнительный аспект. Гродно, 2011. – 518 с.
2. Бахтиева Л.У. Научно-технические расчеты в системе MATLAB. Учебное пособие для студентов и аспирантов естественнонаучных факультетов. – Казань: Изд-во КГУ, 2007. – 44 с.
3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Основы работы в математическом пакете MathCAD. Учебное пособие для студентов всех специальностей. – 187 с.
4. Абросимов А.В. Знакомство с математическими пакетами Maple V и Scientific Work Place. Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Применение программных средств в научных исследованиях и преподавании математики и механики». Нижний Новгород, 2007. – 89 с.
5. Гурский Д. А. Вычисления в Mathcad. – СПб.: Питер, 2006. – 544 с.
6. Потемкин В. Г. Вычисления в среде MATLAB. – Диалог-МИФИ, 2004. – 720 с.
7. Муравьев В. А. Практическое введение в пакет Mathematica: учеб. пособие. – Нижний Новгород, 2000. – 123 с.
8. Инженерные расчеты и их документирование в программе PTC Mathcad. CADmaster, 2014. № 4(76-77). URL: https://cadmaster.ru/articles/arch/4_76-77_2014_mathcad.cfm (дата обращения: 11.10.2025).
9. § 28. Виды вычислений в пакете SMath Studio: 28.3. Символьное вычисление математических выражений. URL: https://smath.info/wiki/Default.aspx?id=SMath%20Studio%20%D0%A0%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE/%D0%92%D0%B8%D0%B4%D1%8B%20%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%B2%20%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D0%B5%D1%82%D0%B5%20SMath%20Studio/28.3.%20%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85%20%D0%B2%D1%8B%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9.sm (дата обращения: 11.10.2025).
10. Численные методы. URL: https://new.math.msu.su/department/cm/uchpos/metod1.html (дата обращения: 11.10.2025).
11. Что такое Символьные вычисления? URL: https://www.whatis.ru/simvolnye-vychisleniya.html (дата обращения: 11.10.2025).
12. Новые возможности Maple 2025! YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=yW6b21mNq4I (дата обращения: 11.10.2025).
13. New Features in Maple 2025. Maplesoft. URL: https://www.maplesoft.com/products/maple/new_features/ (дата обращения: 11.10.2025).
14. What’s new in PTC Mathcad Prime 9? YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=680wT4zG4X8 (дата обращения: 11.10.2025).
15. Что нового в PTC Mathcad Prime 9.0.0.0. PTC. URL: https://www.ptc.com/ru/support/mathcad/whats-new/prime-9-0 (дата обращения: 11.10.2025).
16. Презентация на тему: Что такое компьютерная алгебра? URL: https://myslide.ru/presentation/chto-takoe-kompyuternaya-algebra (дата обращения: 11.10.2025).
17. Mathematica Student Edition: помощь с вычислениями по математике, естественным наукам, технике, бизнес-классам. Wolfram. URL: https://www.wolfram.com/mathematica/student/ (дата обращения: 11.10.2025).
18. What’s New in MATLAB 2025a. Office of Innovative Technologies. URL: https://oit.utk.edu/news/whats-new-in-matlab-2025a/ (дата обращения: 11.10.2025).
19. Алгоритмы символьных вычислений. URL: http://www.uni.bsu.by/content/pages/6966/2011/tsyganov_simv_vych.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
20. Matlab: где её применяют. itWeek. URL: https://www.itweek.ru/idea/article/detail.php?ID=230872 (дата обращения: 11.10.2025).
21. MATLAB и современные измерительные приборы. Компоненты и технологии, 2021. № 4. URL: https://www.kit-e.ru/4-2021/matlab-i-sovremennye-izmeritelnye-pribory/ (дата обращения: 11.10.2025).
22. Система компьютерной алгебры. URL: http://www.math.spbu.ru/user/belyaev/CA_2017_2018.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
23. Maplesoft — Maple. БазисСофт. URL: https://basissoft.ru/maplesoft/maple (дата обращения: 11.10.2025).
24. 7 причин почему MATLAB самая простая и продуктивная среда для инженеров и учёных. itWeek. URL: https://www.itweek.ru/idea/article/detail.php?ID=168056 (дата обращения: 11.10.2025).
25. Overview — Maple Help. Maplesoft. URL: https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=NewFeatures/Maple2025 (дата обращения: 11.10.2025).
26. Обзор систем компьютерной математики. НОУ ИНТУИТ. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/23/23/lecture/613 (дата обращения: 11.10.2025).
27. Опыт использования среды разработки MATLAB Simulink для преподавания инженерных дисциплин. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/opyt-ispolzovaniya-sredy-razrabotki-matlab-simulink-dlya-prepodavaniya-inzhenernyh-distsiplin/viewer (дата обращения: 11.10.2025).
28. Символьные вычисления в MATLAB. Документация. URL: https://www.mathworks.com/help/symbolic/symbolic-computation.html (дата обращения: 11.10.2025).
29. Introducing Maple 2025 for Education and Research. YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=5rL9j9HkU1w (дата обращения: 11.10.2025).
30. Курс по MATLAB и Simulink для инженеров и студентов вузов. Инженерка.тех. URL: https://xn--80aebf4anlbbbfj.xn--90ais/matlab-simulink-course (дата обращения: 11.10.2025).
31. Абитуриент. Wolfram Mathematica. YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=hGkR14_f1_U (дата обращения: 11.10.2025).
32. MATLAB 2025: обзор, отзывы, сравнение с аналогами. PickTech. URL: https://picktech.ru/product/matlab/ (дата обращения: 11.10.2025).
33. Символьные вычисления. Studfile. URL: https://studfile.net/preview/4166297/page:14/ (дата обращения: 11.10.2025).
34. What’s new in MATLAB? MathWorks. URL: https://www.mathworks.com/products/new_products/latest_features.html (дата обращения: 11.10.2025).
35. Использование программы Wolfram Mathematica при изучении курса высшей математики. Фестиваль науки. URL: https://leader-id.ru/events/563631 (дата обращения: 11.10.2025).
36. Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 768 с.
37. Лернер Э.Ю., Кашина О.А. Пакет Mathematica: первые уроки. Казань, 2001. – 26 с.
38. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad И. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с.