Теплофизика, Гидродинамика и Тепломассообмен: Углубленное академическое исследование и практические расчеты

Инженерная практика, будь то проектирование сложнейших энергетических установок, оптимизация климатических систем зданий или создание передовых производственных линий, неизменно сталкивается с фундаментальными явлениями теплофизики, гидродинамики и тепломассообмена. Эти дисциплины формируют краеугольный камень для понимания того, как энергия и вещество перемещаются и взаимодействуют в различных системах. Без глубокого осмысления этих процессов невозможно не только предсказать поведение инженерных объектов, но и спроектировать их с максимальной эффективностью и безопасностью, что прямо влияет на экономичность и экологичность решений.

Настоящая работа представляет собой углубленное академическое исследование, призванное деконструировать и проанализировать ключевые концепции этих взаимосвязанных областей. Мы не просто коснемся поверхностных определений, а погрузимся в математический аппарат, стоящий за каждым явлением, досконально разберем допущения, лежащие в основе моделей, и проиллюстрируем практическую применимость теоретических выводов через конкретные расчетные задачи. Цель — предоставить студентам и аспирантам технических вузов не просто сборник формул, а полноценное, всестороннее руководство, способное стать надежной опорой в их инженерной подготовке. Мы пройдем путь от гипотезы сплошности и уравнения Бернулли до тонкостей расчета теплообмена излучением и конвекцией, стараясь сделать сложные темы доступными и интуитивно понятными, что позволит применять эти знания в реальных проектах.

Основы гидродинамики: Гипотеза сплошности и уравнение Бернулли

Гидродинамика, как наука о движении жидкостей и газов, начинается с весьма смелого, но крайне эффективного допущения: гипотезы сплошности. Это предположение позволяет перейти от дискретной, молекулярной структуры вещества к непрерывной, легкодеформируемой среде, что значительно упрощает математическое описание процессов. Уравнение Бернулли, в свою очередь, становится одним из первых и наиболее элегантных проявлений закона сохранения энергии в такой идеализированной среде, а затем и в реальных условиях, что делает его незаменимым инструментом для анализа широкого круга инженерных задач.

Гипотеза сплошности: Допущения, применимость и число Кнудсена

Представьте себе течение воды в реке или воздух, обтекающий крыло самолета. На первый взгляд кажется, что мы имеем дело с единой, непрерывной массой. Именно это интуитивное восприятие легло в основу гипотезы сплошности течения жидкости и газа. Вместо того чтобы учитывать движение каждой отдельной молекулы, что было бы непомерно сложно даже для современных суперкомпьютеров, гидродинамика предлагает модель, в которой текучее вещество рассматривается как сплошная (непрерывная) и легкодеформируемая среда.

Ключевые допущения этой гипотезы включают:

• Одинаковые физические характеристики: Предполагается, что свойства среды (плотность, вязкость, температура) одинаковы в любой точке объема, если рассматривать его в макроскопическом масштабе.
• Абсолютная однородность: Среда считается абсолютно однородной, без учета дискретного строения вещества из атомов и молекул. Любой бесконечно малый объем в такой модели обладает теми же свойствами, что и объем конечных размеров, что позволяет применять мощный аппарат дифференциального и интегрального исчисления для описания движения.

Однако, как и любая модель, гипотеза сплошности имеет свои пределы применимости. Эти пределы определяются числом Кнудсена (Kn), безразмерным параметром, который количественно оценивает соотношение микроскопических и макроскопических масштабов. Число Кнудсена определяется как:

Kn = ℓ / L

где ℓ — длина свободного пробега молекул, то есть среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями; L — характерный линейный размер течения, например, диаметр трубы или толщина пограничного слоя.

В зависимости от значения числа Кнудсена выделяют несколько режимов течения:

• Режим континуума (Kn < 0,01): В этом диапазоне гипотеза сплошности справедлива, и мы можем использовать классические уравнения гидродинамики. Это область обычной газодинамики и гидродинамики, где характерные размеры течения значительно превышают длину свободного пробега молекул.
• Течение со скольжением (0,01 < Kn < 0,1): Здесь начинают проявляться молекулярные эффекты, и гипотеза сплошности уже не является абсолютно точной. На границе раздела фаз могут возникать эффекты «скольжения» жидкости вдоль поверхности.
• Переходный режим (0,1 < Kn < 10): Это сложный режим, где ни модель континуума, ни модель свободномолекулярного течения не работают с достаточной точностью. Требуются более сложные подходы, например, основанные на кинетической теории газов.
• Свободномолекулярное течение (Kn > 10): В этом режиме длина свободного пробега молекул значительно превышает характерный размер течения. Молекулы практически не сталкиваются друг с другом, и движение каждой молекулы можно рассматривать как независимое. Гипотеза сплошности здесь абсолютно неприменима.

Понимание числа Кнудсена критически важно для анализа течений в микроканалах, разреженных газах (например, в космических аппаратах) или при очень высоких температурах, где длина свободного пробега молекул увеличивается, что напрямую влияет на точность моделирования и проектирования.

Уравнение Бернулли: Вывод, физический смысл и сравнительный анализ

Уравнение Бернулли — это один из краеугольных камней гидродинамики, который описывает закон сохранения энергии для потока жидкости. В своей простейшей форме оно применимо к идеальной несжимаемой жидкости, но затем может быть модифицировано для учета реальных условий.

Рассмотрим вывод уравнения Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости – среды, у которой отсутствуют вязкость (нет внутренних сил трения) и теплопроводность. Представим стационарный поток такой жидкости вдоль линии тока.

Пусть по линии тока перемещается малый объем жидкости. Применяя к нему закон сохранения энергии, можно сказать, что сумма работы внешних сил и изменения кинетической и потенциальной энергий равна нулю.

1. Потенциальная энергия положения (геометрический напор): Она связана с положением частицы в поле силы тяжести и выражается как z (высота над некоторой базовой плоскостью). В энергетическом выражении на единицу веса это будет просто z.
2. Кинетическая энергия (скоростной напор): Энергия движения жидкости. На единицу веса она выражается как V² / (2g), где V — скорость потока, g — ускорение свободного падения.
3. Потенциальная энергия давления (пьезометрический напор): Это работа сил давления, совершаемая при перемещении единицы веса жидкости. Она выражается как p / (ρg), где p — статическое давление, ρ — плотность жидкости.

Таким образом, для двух произвольных сечений 1 и 2 вдоль одной линии тока для идеальной несжимаемой жидкости уравнение Бернулли имеет вид:

z1 + p1 / (ρg) + V12 / (2g) = z2 + p2 / (ρg) + V22 / (2g) = const

Физический смысл каждого члена:

• z — Геометрический напор: Потенциальная энергия положения, приходящаяся на единицу веса жидкости. Определяется высотой центра тяжести рассматриваемого сечения над условной плоскостью отсчета.
• p / (ρg) — Пьезометрический напор: Потенциальная энергия давления на единицу веса жидкости. Представляет собой высоту столба жидкости, создающего данное избыточное давление.
• V² / (2g) — Скоростной напор: Кинетическая энергия на единицу веса жидкости. Характеризует энергию движения потока.

Сумма этих трех членов, называемая полным напором, остается постоянной вдоль линии тока для идеальной жидкости, что является прямым следствием закона сохранения механической энергии.

Однако на практике мы имеем дело с реальной жидкостью, которая обладает вязкостью и, следовательно, внутренним трением. Это приводит к диссипации механической энергии в теплоту, то есть к потерям напора. Для учета этих потерь уравнение Бернулли модифицируется.

Для потока конечных размеров реальной жидкости между сечениями 1 и 2 уравнение Бернулли приобретает следующий вид:

z1 + p1 / (ρg) + V12 / (2g) = z2 + p2 / (ρg) + V22 / (2g) + h1-2

Здесь h_1-2 — это потери напора на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2. Эти потери возникают из-за:

• Вязкости жидкости: Внутреннее трение между слоями жидкости, движущимися с разными скоростями.
• Трения о стенки потока: Взаимодействие жидкости с твердыми границами канала, трущихся поверхностей.
• Местных сопротивлений: Потери, вызванные изменением направления или площади сечения потока (колена, клапаны, сужения, расширения).

Сравнительный анализ с уравнением для идеальной жидкости:

Параметр	Идеальная жидкость	Реальная жидкость
Вязкость	Отсутствует (μ = 0)	Присутствует (μ > 0)
Теплопроводность	Отсутствует	Присутствует
Потери напора	Отсутствуют (h1-2 = 0)	Присутствуют (h1-2 > 0)
Закон сохранения	Строго сохраняется механическая энергия	Механическая энергия не сохраняется (часть переходит в тепло), сохраняется полная энергия
Применимость	Теоретические модели, высокоскоростные потоки (для качественного анализа)	Практические инженерные расчеты

Потери напора h_1-2 являются критически важным аспектом в реальных инженерных расчетах и могут быть разделены на потери по длине (связанные с трением вдоль стенок) и местные потери (связанные с изменением геометрии потока). Их точное определение требует использования эмпирических коэффициентов и критериальных зависимостей, что составляет отдельную обширную область гидродинамики. Таким образом, уравнение Бернулли, изначально простое и элегантное, становится мощным инструментом для анализа сложных реальных систем при условии корректного учета всех потерь энергии, позволяя инженерам точно предсказывать и оптимизировать поведение потоков в различных условиях.

Основы гидростатики: Уравнения, физический смысл и применение

Прежде чем углубляться в динамику, крайне важно понять статическое состояние жидкостей и газов. Гидростатика — это раздел гидромеханики, изучающий равновесие жидкостей и газов, а также их взаимодействие с погруженными в них телами. Основой для всех расчетов здесь являются уравнения равновесия, которые позволяют определить распределение давления в различных системах.

Уравнения гидростатики и закон Паскаля

Основные принципы гидростатики можно вывести из общих уравнений механики сплошных сред, но в условиях покоя они значительно упрощаются. Рассмотрим элементарный объем жидкости, находящийся в состоянии равновесия. На этот объем действуют силы тяжести и силы давления со стороны окружающей жидкости.

Основные уравнения гидростатики в дифференциальной форме выражают зависимость давления от координат в поле массовых сил. Для жидкости, находящейся в поле силы тяжести, проекции этого уравнения на оси координат x, y, z (где ось z направлена вертикально вверх) имеют вид:

∂p / ∂x = 0
∂p / ∂y = 0
∂p / ∂z = -ρg

Эти уравнения показывают, что в покоящейся жидкости (или газе):

1. Давление на одной горизонтальной плоскости (т.е. при постоянном z) является постоянным.
2. Давление изменяется только по вертикали.

Интегрируя последнее уравнение, мы получаем базовую формулу гидростатики:

p = p0 - ρgz

или, чаще используемую для определения давления на глубине h от свободной поверхности:

p = p0 + ρgh

где p — давление на заданной глубине, p₀ — давление на свободной поверхности (или на уровне отсчета), ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, h — глубина от свободной поверхности до рассматриваемой точки.

Ключевым следствием и фундаментальным принципом гидростатики является Закон Паскаля: *Давление, производимое на покоящуюся жидкость или газ, передается без изменения во все точки жидкости или газа и действует одинаково по всем направлениям.* Это означает, что если мы увеличим давление на поверхность жидкости на некую величину Δp, то это увеличение давления будет наблюдаться во всех точках жидкости на ту же величину Δp, независимо от их глубины или положения. Закон Паскаля объясняет работу гидравлических прессов, домкратов и тормозных систем, демонстрируя универсальность принципа передачи давления.

Важный аспект гидростатического давления заключается в его независимости от формы сосуда. Давление на определенной глубине h будет одинаковым в широком баке, узкой трубе или сосуде сложной формы, при условии, что жидкость одна и та же и находится в покое. Это явление известно как гидростатический парадокс.

Распределение давления в жидкостях и газах

Применение уравнений гидростатики обширно и включает в себя расчеты в самых разнообразных инженерных системах.

1. Распределение давления в статических жидкостях:
Самый распространенный пример — это расчет давления на дне резервуара или на боковые стенки плотины. Если резервуар открыт атмосфере, то p₀ равно атмосферному давлению. Давление на дне бассейна глубиной H будет p = p_атм + ρgH. Знание распределения давления позволяет инженерам проектировать стенки резервуаров, трубопроводов и других гидротехнических сооружений, чтобы они выдерживали действующие нагрузки.

2. Распределение давления в горячем газе по высоте печи:
В отличие от несжимаемых жидкостей, плотность газов существенно зависит от температуры и давления. В высоких печах, дымовых трубах или других аппаратах с горячим газом, плотность газа ρ не является постоянной. Если температуру газа можно считать постоянной в пределах небольшого перепада высот, то для идеального газа плотность ρ = p / (RT), где R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура.
Тогда уравнение гидростатики dp = -ρgdz преобразуется в dp = -(p / (RT))gdz.
Разделяя переменные и интегрируя от p₀ на высоте z₀ до p на высоте z, получаем:

∫p0p dp/p = ∫z0z -(g / (RT))dz
ln(p / p0) = -(g / (RT)) (z - z0)
p = p0 exp[ -(g / (RT)) (z - z0) ]

Эта формула показывает, что давление горячего газа экспоненциально уменьшается с высотой. Это критически важно для расчета тяги дымовых труб, где разность давлений внутри и снаружи трубы определяет эффективность отвода продуктов сгорания, что напрямую влияет на экологическую безопасность и энергоэффективность промышленных установок.

Примеры расчетных задач по определению сил давления:
Помимо точечного давления, часто требуется определить общую силу давления, действующую на поверхность.

• Сила давления на плоскую поверхность: Для вертикальной плоской стенки, погруженной в жидкость, сила давления определяется как F = p_ц.т.A, где p_ц.т. — давление в центре тяжести поверхности, A — площадь поверхности. Точка приложения этой силы (центр давления) находится ниже центра тяжести, что важно при проектировании шлюзов, плотин и люков.
• Сила давления на криволинейную поверхность: Здесь задача усложняется, поскольку давление действует перпендикулярно к каждой точке поверхности. Сила давления на криволинейную поверхность обычно раскладывается на горизонтальные и вертикальные составляющие. Горизонтальная составляющая равна силе давления на проекцию криволинейной поверхности на вертикальную плоскость. Вертикальная составляющая равна весу жидкости, находящейся над криволинейной поверхностью (для вогнутых поверхностей) или весу вытесненной жидкости (для выпуклых поверхностей), что является проявлением закона Архимеда.

Например, расчет силы давления на днище или боковую стенку резервуара сложной формы требует интегрирования давления по всей поверхности, учитывая ее кривизну. Эти расчеты незаменимы при конструировании подводных аппаратов, оболочек реакторов и других сложных инженерных объектов, обеспечивая их надежность и безопасность.

Режимы течения: Критерий Рейнольдса и ламинарное движение

Движение жидкости не всегда является равномерным и предсказуемым. Оно может быть упорядоченным или хаотичным, и переход между этими состояниями имеет огромное значение для всех процессов тепло- и массообмена. Ключевым параметром, позволяющим нам различать эти режимы, является критерий Рейнольдса.

Критерий Рейнольдса: Определение, расчет и влияние на режимы течения

Когда мы наблюдаем за движением жидкости, будь то струя воды из крана или поток вязкой нефти по трубопроводу, становится очевидным, что характер течения может быть совершенно разным. В одном случае это плавные, предсказуемые слои, в другом — вихри и хаотическое перемешивание. Эту фундаментальную разницу в режимах течения количественно описывает критерий Рейнольдса (Re) — безразмерный параметр, предложенный Осборном Рейнольдсом в конце XIX века.

Определение и физический смысл:
Критерий Рейнольдса представляет собой отношение сил инерции к силам вязкости в потоке жидкости или газа.

• Силы инерции стремятся сохранить движение жидкости, вызывая ее перемешивание. Они пропорциональны плотности и квадрату скорости потока.
• Силы вязкости стремятся сопротивляться движению, гася возмущения и способствуя упорядоченному, слоистому течению. Они пропорциональны динамической вязкости и градиенту скорости.

Формула для расчета критерия Рейнольдса:

Re = (ρVL) / μ = (VL) / ν

где:

• ρ (ро) — плотность среды, кг/м³
• V — характерная скорость потока, м/с
• L — характерный линейный размер, м
• μ (мю) — динамическая вязкость среды, Па∙с или кг/(м∙с)
• ν (ню) — кинематическая вязкость среды, м²/с (где ν = μ / ρ)

Выбор характерного размера (L):
Выбор L является критически важным и зависит от геометрической конфигурации течения:

• Для течения в круглых трубах: L обычно принимается равным диаметру трубы (d).
• При обтекании тел: L может быть длиной тела (например, для плоской пластины) или поперечным размером тела (например, диаметр сферы или цилиндра).
• Для каналов некруглой формы: В качестве характерного размера применяется гидравлический диаметр D_г, который определяется как:
  Dг = 4f / P
  где f — площадь поперечного сечения потока, P — смоченный периметр канала (периметр, по которому жидкость контактирует со стенкой). Например, для квадратного канала со стороной a, f = a², P = 4a, поэтому D_г = 4a² / (4a) = a.

Влияние критерия Рейнольдса на режимы течения:
Критерий Рейнольдса является определяющим фактором для идентификации режима течения жидкости:

• При Re < Re_кр (критического значения) наблюдается ламинарный режим течения.
• При Re > Re_кр — турбулентный режим.

Критическое число Рейнольдса (Re_кр) не является универсальной константой и зависит от конкретного вида течения, шероховатости поверхности и степени возмущений во входном потоке:

• Для течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе: Re_кр ≈ 2300. Это классическое значение, хотя при тщательном контроле условий (очень гладкие стенки, отсутствие вибраций) ламинарное течение может сохраняться до Re ~ 40000 и даже выше.
• Для обтекания плоской пластины: Критическое число Рейнольдса для перехода от ламинарного к турбулентному режиму (Re_x,кр) находится в диапазоне от 3 × 10⁵ до 5 × 10⁵ (где x — расстояние от передней кромки), но может достигать 3 × 10⁶ в зависимости от состояния внешнего потока и шероховатости поверхности.
• Для обтекания сферы: Re_кр составляет около 300-400.
• Для обтекания цилиндра: Re_кр лежит в диапазоне от 40 до 200.

Понимание критерия Рейнольдса позволяет инженерам предсказывать поведение потоков, проектировать системы для минимизации потерь энергии (в ламинарном режиме) или, наоборот, для интенсификации тепло- и массообмена (в турбулентном режиме), что является ключом к оптимизации многих промышленных процессов.

Ламинарный режим: Распределение скоростей и пограничный слой

Ламинарный режим движения реальной жидкости — это пример упорядоченного, стабильного течения, где частицы жидкости движутся параллельными слоями, не смешиваясь друг с другом. Это можно сравнить с колодой карт, где каждая карта скользит относительно соседней. Каковы же основные особенности и ключевые моменты этого режима, отличающие его от хаотичного турбулентного течения?

Основные особенности ламинарного режима:

• Упорядоченность и слоистость: Отсутствует поперечное перемешивание частиц жидкости.
• Отсутствие пульсаций: Скорость и давление в каждой точке потока остаются постоянными во времени (в стационарном режиме).
• Распределение скоростей: Скорость движения жидкости изменяется от нуля на твердой стенке (вследствие условия прилипания) до максимального значения в центре потока.

Распределение скоростей в ламинарном течении для круглой трубы (течение Пуазейля):
Один из наиболее изученных и классических случаев ламинарного течения — это течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе, известное как течение Пуазейля. Распределение скоростей в таком потоке имеет характерный параболический профиль.

Скорость жидкости на расстоянии r от оси трубы (радиус трубы R) определяется формулой:

v(r) = (Δp / (4ηL)) × (R2 - r2)

где:

• v(r) — скорость жидкости на расстоянии r от оси
• Δp — разность давлений на концах трубы длиной L
• η (эта) — динамическая вязкость жидкости
• R — радиус трубы
• r — радиальная координата от оси трубы

Из этой формулы видно, что:

• Максимальная скорость наблюдается на оси трубы (r = 0): v_max = (Δp R²) / (4ηL).
• На стенке трубы (r = R) скорость v(R) = 0, что соответствует условию прилипания. Это фундаментальное условие гласит, что на границе твердого тела и вязкой жидкости относительная скорость жидкости равна нулю.

Такое параболическое распределение скоростей является отличительной чертой ламинарного течения и значительно влияет на процессы переноса тепла и массы, определяя, например, эффективность теплообменников и смешивающих устройств.

Структура ламинарного пограничного слоя:
Когда жидкость обтекает твердое тело, например, плоскую пластину, у самой поверхности образуется тонкий слой, где ощущается влияние вязкости и скорость потока резко изменяется от нуля на стенке до скорости невозмущенного внешнего потока. Эта область называется гидродинамическим пограничным слоем.

В ламинарном пограничном слое течение остается упорядоченным. Его толщина δ постепенно увеличивается по мере удаления от передней кромки пластины. Для ламинарного режима на плоской пластине на расстоянии x от передней кромки толщина пограничного слоя может быть рассчитана по формуле:

δ = 5x / √Rex

где:

• x — расстояние от передней кромки пластины
• Re_x — локальное число Рейнольдса, рассчитанное для длины x: Re_x = (Vx) / ν.

Понимание ламинарного пограничного слоя критически важно для анализа сопротивления движению, а также для тепло- и массообмена, поскольку именно в этом слое происходят основные градиенты скорости, температуры и концентрации.

Теплопроводность: Граничные условия для нестационарных задач

Теплопроводность — это один из ключевых механизмов переноса тепловой энергии, особенно важный для твердых тел и статических жидкостей. Однако многие инженерные задачи связаны с изменяющимися во времени температурными полями, то есть с нестационарной теплопроводностью. Для их корректного решения, помимо самого дифференциального уравнения теплопроводности, необходим строгий набор дополнительных условий, которые описывают начальное состояние системы и взаимодействие ее границ с окружающей средой.

Начальные условия: Задание температурного поля

Когда речь заходит о процессах, развивающихся во времени, первым делом необходимо определить отправную точку — состояние системы в начальный момент. Для задач нестационарной теплопроводности эту роль выполняют начальные условия. Они задают распределение температуры по всему объему тела в начальный момент времени (τ = 0).

В общем виде начальное условие записывается как:

T(x, y, z, 0) = T0(x, y, z)

Это означает, что в каждой точке тела с координатами (x, y, z) в момент времени τ = 0 температура известна и равна T₀(x, y, z). В более простых случаях, например, если тело изначально имеет равномерную температуру, начальное условие может быть упрощено до:

T(xi, 0) = const

где x_i — обозначает координаты в одномерной, двухмерной или трехмерной системе.

Начальные условия необходимы для получения однозначного решения дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности. Без них существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих лишь граничным условиям, но не описывающих конкретный физический процесс. Это фундаментальный принцип, обеспечивающий воспроизводимость и предсказуемость результатов моделирования.

Типы граничных условий: Физический смысл и математическая формулировка

В то время как начальные условия определяют «старт» процесса, граничные условия (ГУ) описывают, что происходит на поверхности тела, как оно взаимодействует с внешней средой. Они являются неотъемлемой частью любой задачи теплопроводности. В теплофизике выделяют четыре основных типа граничных условий.

1. Граничные условия первого рода (ГУ Дирихле)

Физический смысл: Этот тип условий предполагает, что температура на границе тела задана и поддерживается постоянной или изменяется по известному закону в каждый момент времени. Это идеализированный случай, когда поверхность тела находится в контакте с очень массивным или хорошо регулируемым источником/приемником тепла, способным поддерживать свою температуру неизменной.

Математическая формулировка:

Tпов = f(x, y, z, τ) или Tпов = const

где T_пов — температура на поверхности, f(x, y, z, τ) — заданная функция температуры по координатам и времени.

• Пример использования: Моделирование нагрева металлической детали, погруженной в ванну с кипящей водой (поддерживается постоянная температура поверхности 100 °C), или охлаждение элемента, находящегося в контакте с холодильной пластиной с заданной температурой.

2. Граничные условия второго рода (ГУ Неймана)

Физический смысл: Эти условия задают значение плотности теплового потока на границе тела в каждый момент времени. Это может быть случай, когда поверхность нагревается электрическим током с известной мощностью или когда тепловой поток постоянен из-за хорошей теплоизоляции.

Математическая формулировка:

qпов = -λ (∂T / ∂n) = f(x, y, z, τ) или qпов = const

где q_пов — плотность теплового потока через поверхность, λ — коэффициент теплопроводности материала, ∂T / ∂n — производная температуры по нормали к поверхности (градиент температуры). Знак минус указывает, что тепловой поток направлен в сторону уменьшения температуры.

• Пример использования: Расчет нагрева стенок индукционной печи, где на поверхность поступает известный тепловой поток; моделирование теплопотерь через хорошо изолированную стенку, где тепловой поток через изоляцию можно считать постоянным и известным. Особый случай — адиабатическая поверхность, где q_пов = 0, что означает отсутствие теплообмена с окружающей средой (идеальная теплоизоляция).

3. Граничные условия третьего рода (ГУ Ньютона)

Физический смысл: Наиболее распространенный и реалистичный тип условий, описывающий конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (жидкостью или газом) согласно закону охлаждения Ньютона. Здесь температура поверхности тела не известна заранее, а определяется в процессе теплообмена.

Математическая формулировка:

qпов = α(Tж - Tпов) = -λ (∂T / ∂n)

где α — коэффициент теплоотдачи конвекцией, T_ж — температура окружающей среды (жидкости/газа), T_пов — температура поверхности тела.

• Пример использования: Моделирование охлаждения воздуха в помещении через наружные стены, где температура воздуха в помещении известна, а температура наружной стены будет определяться теплообменом с этим воздухом; нагрев заготовки в печи, где температура окружающего газа известна.

4. Граничные условия четвертого рода

Физический смысл: Эти условия характеризуют теплообмен между двумя контактирующими телами по закону теплопроводности. Они применяются на границе раздела двух различных материалов, предполагая, что контакт между ними идеален и не имеет термического сопротивления.

Математическая формулировка:
На границе контакта двух тел 1 и 2 выполняются два условия:

1. Равенство температур: Температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы:
   T1,пов = T2,пов
2. Равенство тепловых потоков: Тепловые потоки, проходящие через границу, равны по величине:
   -λ1 (∂T1 / ∂n) = -λ2 (∂T2 / ∂n)
   где λ₁, λ₂ — коэффициенты теплопроводности материалов 1 и 2 соответственно.

• Пример использования: Расчет распределения температуры в многослойных стенках зданий, теплообмен в теплообменных аппаратах, где тепло передается через стенку от одной жидкости к другой, или в элементах электронных устройств, состоящих из различных материалов.

Примеры использования граничных условий в инженерных расчетах:

• Моделирование охлаждения/нагрева элементов конструкций: Например, расчет температурного поля в бетонной конструкции при ее застывании (экзотермическая реакция) с учетом теплообмена с окружающей средой (ГУ 3-го рода) и начальной температуры заливаемого бетона (начальное условие).
• Процессы тепловой обработки материалов: Определение времени, необходимого для нагрева металлической заготовки до определенной температуры в печи (ГУ 3-го рода), или для закалки детали в охлаждающей среде.
• Расчет тепловых режимов электронных компонентов: Анализ распределения температуры в микросхемах и радиаторах с учетом выделяемой тепловой мощности (ГУ 2-го рода) и конвективного охлаждения (ГУ 3-го рода).
• Проектирование систем теплоизоляции: Оптимизация толщины и типа изоляционных материалов для минимизации теплопотерь (ГУ 2-го и 3-го рода).

Корректная постановка начальных и граничных условий является залогом получения точных и физически обоснованных решений в задачах нестационарной теплопроводности, что критически важно для надежного проектирования и эксплуатации различных технических систем. Ошибки на этом этапе могут привести к серьезным просчетам в проекте, поэтому важно уделять этому аспекту особое внимание.

Теплообмен излучением: Основные законы и запольные уравнения

Теплообмен излучением, или радиационный теплообмен, — это уникальный механизм переноса энергии, не требующий наличия промежуточной среды. В отличие от теплопроводности и конвекции, он осуществляется посредством электромагнитных волн, пронизывающих пространство. Этот вид теплообмена доминирует при высоких температурах и в вакууме, играя ключевую роль в работе печей, котлов, космических аппаратов и систем терморегулирования.

Основные понятия и законы теплового излучения

В основе понимания радиационного теплообмена лежат несколько фундаментальных концепций.

Тепловое излучение (радиационный теплообмен) — это процесс переноса теплоты в пространстве, осуществляемый посредством распространения электромагнитных волн, которые возникают за счет внутренней энергии тела. При взаимодействии с веществом энергия электромагнитных волн переходит в тепло.

Абсолютно черное тело (АЧТ) — это идеализированная модель, поверхность которой полностью поглощает всю падающую на нее лучистую энергию, независимо от длины волны и направления. Оно также является идеальным излучателем, то есть при заданной температуре излучает максимально возможную энергию. Степень черноты АЧТ равна 1.

Серое тело — это более реалистичная модель. Серым телом называется поверхность, монохроматические свойства которой (например, излучательная способность) не зависят от длины волны, а ее интегральная излучательная способность (степень черноты) меньше, чем у абсолютно черного тела.

Интегральная степень черноты (ε) реальных тел характеризует их способность излучать тепловую энергию по сравнению с АЧТ при той же температуре. Она варьируется от 0 до 1 и зависит от множества факторов:

• Материал: Различные вещества имеют разные значения ε.
• Состояние поверхности: Шероховатость, полировка, загрязненность, наличие окислов существенно влияют на излучательную способность. Например, полированные металлы обычно имеют низкую ε (0,05-0,2), в то время как окисленные металлы или неметаллические материалы (дерево, бетон, стекло, кирпич, многие органические или окрашенные поверхности) обладают высокой ε (0,8-0,95).
• Температура: Для многих материалов ε также зависит от температуры.
• Длина волны излучения: Для несерых тел степень черноты изменяется с длиной волны.

Закон Стефана-Больцмана:
Этот закон устанавливает зависимость плотности интегрального полусферического излучения абсолютно черного тела от его абсолютной температуры. Энергия, излучаемая АЧТ с единицы площади в единицу времени, пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:

E0 = σT4

где:

• E₀ — плотность интегрального полусферического излучения АЧТ, Вт/м²
• σ — постоянная Стефана-Больцмана, σ = 5,67 ∙ 10⁻⁸ Вт/(м²∙К⁴)
• T — абсолютная температура поверхности, К

Для серых тел плотность собственного излучения определяется их интегральной степенью черноты ε:

E = εE0 = εσT4

Закон Кирхгофа:
Этот фундаментальный закон теплового излучения устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностью тела. Он гласит, что при тепловом равновесии (или в системе, где излучение имеет диффузный характер): *отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел и равно излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.*

Как следствие, для серого тела поглощательная способность (α) численно равна его излучательной способности (ε):

α = ε

Это означает, что хорошие излучатели являются и хорошими поглотителями, и наоборот, что является крайне важным аспектом при выборе материалов для тепловой защиты или создания устройств для поглощения солнечной энергии.

Запольные уравнения (уравнения радиосити) для замкнутых систем

Для расчета сложного теплообмена излучением между несколькими поверхностями, составляющими замкнутую систему, особенно когда среды между ними лучепрозрачны (т.е. не поглощают и не излучают тепло), применяется метод запольных уравнений (или уравнений радиосити, от англ. radiosity). Этот метод позволяет определить чистые тепловые потоки между поверхностями с учетом их собственного излучения, поглощения падающего излучения и отражения.

Понятие радиосити (J_i):
Радиосити J_i — это полная лучистая энергия, покидающая поверхность i в единицу времени с единицы площади. Она складывается из собственного излучения поверхности и отраженного ею падающего излучения.

Вывод системы запольных уравнений:
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из N серых поверхностей. Каждая поверхность i имеет температуру T_i, площадь A_i и интегральную степень черноты ε_i. Среда между поверхностями считается лучепрозрачной (например, воздух или вакуум).

Полная лучистая энергия J_i, покидающая поверхность i, состоит из двух частей:

1. Собственное излучение поверхности i: ε_i E_b,i, где E_b,i = σT_i⁴ — излучательная способность абсолютно черного тела при температуре T_i.
2. Отраженная часть падающего излучения: Если на поверхность i падает лучистый поток G_i (облученность), то часть его, равная ρ_iG_i, отражается. По закону Кирхгофа для серого тела ρ_i = 1 — α_i = 1 — ε_i. Таким образом, отраженная часть составляет (1 — ε_i)G_i.

Суммарная облученность G_i поверхности i является результатом излучения со всех других поверхностей j (включая, возможно, самооблучение i). Доля излучения, покидающего поверхность j (J_j) и достигающая поверхности i, определяется угловым коэффициентом φ_ji. Следовательно, G_i = ∑_j=1^N φ_ji J_j.

Собирая все части, получаем запольное уравнение для каждой поверхности i:

Ji = εi Eb,i + (1 - εi) ∑j=1N φji Jj

Это система из N линейных алгебраических уравнений относительно N неизвестных радиосите J_i. После решения этой системы (например, методом Гаусса или итерационными методами) для всех J_i, можно определить чистый тепловой поток Q_i с каждой поверхности.

Чистый тепловой поток Q_i с поверхности i представляет собой разницу между всей энергией, излучаемой/отражаемой поверхностью (J_iA_i), и энергией, падающей на поверхность (G_iA_i).
Учитывая, что J_i = ε_i E_b,i + (1 — ε_i)G_i, можно выразить G_i = (J_i — ε_i E_b,i) / (1 — ε_i).
Тогда чистый тепловой поток с каждой поверхности i составит:

Qi = Ai (Ji - Gi) = Ai εi (Eb,i - Ji) / (1 - εi)

Угловые коэффициенты излучения (φ_ij)

Угловой коэффициент излучения φ_ij — это безразмерная величина, которая представляет собой долю лучистой энергии, покидающей поверхность i и достигающей поверхности j. Он характеризует взаимное геометрическое расположение поверхностей и зависит только от их формы, размеров и взаимной ориентации.

Основные свойства угловых коэффициентов:

• Свойство взаимности: A_iφ_ij = A_jφ_ji. Это означает, что если поверхность i «видит» поверхность j, то j «видит» i в соответствующей пропорции, учитывающей их площади.
• Свойство замкнутости: Для замкнутой системы сумма всех угловых коэффициентов от одной поверхности i на все поверхности системы (включая, возможно, саму себя) равна единице: ∑_j=1^N φ_ij = 1. Это отражает тот факт, что вся энергия, покидающая поверхность i, должна куда-то попасть в пределах замкнутой системы.
• Самооблучение: Для плоских или выпуклых поверхностей угловой коэффициент самооблучения φ_ii = 0, поскольку поверхность не может излучать на саму себя. Для вогнутых поверхностей φ_ii > 0, так как часть излучения может попасть на другую часть той же вогнутой поверхности.
• Неотрицательность: 0 ≤ φ_ij ≤ 1.

Расчет угловых коэффициентов — сложная геометрическая задача, для решения которой используются различные методы: аналитические (для простых геометрий), графические (метод Гельмута-Максвелла), численные (метод Монте-Карло).

Практическое применение:
Запольные уравнения широко используются в инженерии для:

• Проектирования тепловых печей и камер сгорания: Расчет тепловых потоков на стенки и продукты сгорания.
• Анализа работы солнечных коллекторов: Оценка эффективности поглощения солнечной энергии.
• Моделирования тепловых режимов космических аппаратов: Учет излучения от Земли, Солнца и собственного излучения аппарата.
• Расчета теплообмена в высокотемпературных технологических процессах: Например, в металлургии или производстве стекла.

Таким образом, запольные уравнения, основанные на фундаментальных законах излучения и строгих геометрических характеристиках, предоставляют мощный инструмент для анализа и оптимизации радиационного теплообмена в сложных многоповерхностных системах, что позволяет создавать более эффективные и надежные высокотемпературные устройства.

Конвективный теплообмен: Расчет пограничного слоя и коэффициентов теплоотдачи

Конвективный теплообмен — это один из наиболее распространенных и эффективных механизмов переноса теплоты в жидкостях и газах, основанный на движении или перемешивании этих сред. В отличие от чистой теплопроводности, здесь тепло переносится как за счет молекулярной диффузии, так и за счет макроскопического движения частиц. Ключевую роль в понимании и расчете конвективного теплообмена играют пограничные слои, формирующиеся у поверхности твердых тел.

Гидродинамический и тепловой пограничные слои

Когда поток жидкости или газа обтекает твердую поверхность, возникают сложные явления, которые кардинально меняют картину течения и теплообмена.

Гидродинамический пограничный слой:
В самом начале обтекаемой поверхности (передняя кромка) поток имеет равномерную скорость. Однако из-за условия прилипания (скорость жидкости на стенке равна скорости стенки, обычно нулю) у поверхности формируется тонкий слой, где скорость жидкости резко изменяется от нуля до скорости невозмущенного внешнего потока. Эта область называется гидродинамическим пограничным слоем. В пределах этого слоя действуют значительные касательные напряжения, обусловленные вязкостью. Внешний по отношению к пограничному слою поток часто можно рассматривать как невязкий.

Тепловой пограничный слой:
Если между поверхностью тела и набегающим потоком существует разность температур, то аналогично гидродинамическому пограничному слою образуется тепловой пограничный слой. Это область у поверхности, где температура жидкости изменяется от температуры поверхности до температуры невозмущенного потока. В пределах теплового пограничного слоя существуют значительные температурные градиенты, которые и обусловливают конвективный теплообмен.

Толщина пограничных слоев (гидродинамического δ и теплового δ_T) постепенно увеличивается по мере удаления от передней кромки. Характер изменения скорости и температуры внутри этих слоев зависит от режима течения — ламинарного или турбулентного.

Формулы для расчета толщины гидродинамического пограничного слоя на плоской пластине:

• Для ламинарного режима (при Re_x < 5 × 10⁵):
  δ = 5x / √Rex
  где x — расстояние от передней кромки пластины, а Re_x = (Vx) / ν — локальное число Рейнольдса, определяемое для данной длины x. Это соотношение справедливо, если пограничный слой начинается с передней кромки и развивается без внешних возмущений.
• Для турбулентного режима (обычно при Re_x > 5 × 10⁵, после области ламинарно-турбулентного перехода):
  δ = 0,376x / Rex0.2
  Важно отметить, что переход от ламинарного к турбулентному режиму на плоской пластине происходит в диапазоне Re_x от 3∙10⁵ до 5∙10⁵. Формула для турбулентного слоя применяется, когда турбулентный режим полностью развился. Турбулентный пограничный слой толще, чем ламинарный, и характеризуется интенсивным перемешиванием, что приводит к значительному увеличению теплообмена.

Критериальные уравнения для расчета коэффициентов теплоотдачи

Расчет конвективного теплообмена обычно осуществляется с помощью критериальных уравнений, которые выражают безразмерные комплексы, такие как число Нуссельта (Nu), через другие безразмерные параметры, характеризующие режим течения и физические свойства среды (числа Рейнольдса (Re) и Прандтля (Pr)).

Число Нуссельта (Nu): Это критерий подобия конвективного теплообмена, представляющий собой отношение интенсивности теплообмена конвекцией к теплообмену теплопроводностью в пределах пограничного слоя.

Nu = (αL) / λ

где α — коэффициент теплоотдачи, L — характерный размер, λ — коэффициент теплопроводности среды.

Число Прандтля (Pr): Этот безразмерный параметр характеризует относительную толщину гидродинамического и теплового пограничных слоев. Оно представляет собой отношение кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности:

Pr = ν / a = (μcp) / λ

где a — коэффициент температуропроводности, c_p — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Физический смысл числа Прандтля заключается в том, что оно показывает, какая энергия переносится быстрее: импульс (вязкость) или тепло (теплопроводность).

Критериальные уравнения для среднего числа Нуссельта (¯Nu) при обтекании плоских поверхностей:

• Для ламинарного обтекания плоской поверхности (при Re_l < 5 × 10⁵ и 0,6 < Pr < 15):
  ¯Nul = 0,664 Rel0.5 Pr1/3
  Здесь Re_l — число Рейнольдса, рассчитанное по полной длине пластины L.
  Определение среднего коэффициента теплоотдачи:
  ¯α = (¯Nul λ) / L
  Для воздуха и двухатомных газов число Прандтля (Pr) составляет приблизительно 0,7-0,72 и очень слабо зависит от температуры и давления. Поскольку Pr^1/3 в этом случае близко к единице (0.7^1/3 ≈ 0.88), часто используется упрощенная формула:
  ¯Nul = 0,664 Rel0.5
• Для турбулентного обтекания плоской поверхности (при Re_l > 3 × 10⁶):
  ¯Nul = 0,037 Rel0.8 Pr1/3
  Определение среднего коэффициента теплоотдачи:
  ¯α = (¯Nul λ) / L
  Аналогично, для воздуха и газов при турбулентном режиме используется упрощенная формула:
  ¯Nul = 0,037 Rel0.8
  по той же причине, что и для ламинарного режима (Pr для газов близко к 0,7, и Pr^1/3 близко к единице).

Важно помнить, что в этих уравнениях определяющая скорость и температура берутся по параметрам набегающего потока (например, скорость V и температура T_∞), а определяющий размер — это длина пластины L по направлению потока. Физические свойства среды (λ, ν, Pr) обычно берутся при так называемой определяющей температуре, которая может быть средней температурой пограничного слоя или температурой пленки (среднее арифметическое между температурой стенки и температурой потока).

Примеры расчетных задач:

1. Расчет теплопотерь через плоскую стенку: Если известны параметры воздуха, обтекающего стенку (скорость, температура), и температура поверхности стенки, можно рассчитать Re, Nu и, как следствие, средний коэффициент теплоотдачи ¯α, а затем и общий тепловой поток.
2. Определение эффективности охлаждения: При проектировании радиаторов или электронных компонентов, где требуется отводить определенное количество тепла, эти формулы позволяют определить требуемые размеры поверхности или скорость потока охлаждающей среды.

Комплексное применение этих методов позволяет инженерам точно прогнозировать и управлять процессами конвективного теплообмена, что критически важно для создания эффективных и безопасных теплотехнических систем, а также для разработки инновационных решений в области энергетики и климатического контроля.

Заключение

Проведенное углубленное академическое исследование позволило деконструировать и проанализировать ключевые аспекты теплофизики, гидродинамики и тепломассообмена, охватывая как фундаментальные теоретические основы, так и практические расчетные задачи. Мы начали с самого сердца гидродинамики, рассмотрев гипотезу сплошности и ее пределы применимости, определенные числом Кнудсена, а затем детально вывели и проанализировали уравнение Бернулли для идеальных и реальных жидкостей, подчеркнув роль потерь напора.

Далее мы погрузились в гидростатику, сформулировав ее основные уравнения и продемонстрировав их универсальность для расчета распределения давления как в жидкостях, так и в газах, что имеет неоценимое значение для проектирования инженерных конструкций. Переход к режимам течения был осуществлен через критерий Рейнольдса, чья роль в разграничении ламинарного и турбулентного движений была подробно изучена, а особенности ламинарного режима, включая параболический профиль скоростей и структуру пограничного слоя, были выведены и объяснены.

Раздел, посвященный теплопроводности, акцентировал внимание на критической важности начальных и граничных условий для решения нестационарных задач, предоставив детальный обзор четырех типов граничных условий с их физическим смыслом и практическими примерами. Теплообмен излучением был раскрыт через призму законов Стефана-Больцмана и Кирхгофа, а затем был представлен мощный аппарат запольных уравнений (радиосити) для анализа сложных систем, включая угловые коэффициенты и их свойства. Наконец, мы рассмотрели конвективный теплообмен, исследуя формирование гидродинамического и теплового пограничных слоев и представив критериальные уравнения для расчета коэффициентов теплоотдачи, с акцентом на роли чисел Рейнольдса и Прандтля.

Комплексное понимание теплофизических и гидродинамических процессов является не просто академической задачей, но и жизненной необходимостью для современного инженерного дела. Способность анализировать, моделировать и прогнозировать поведение систем, где происходит перенос энергии и вещества, лежит в основе инноваций в энергетике, машиностроении, химической технологии, строительстве и многих других отраслях. Полученные знания и навыки являются фундаментальной базой для разработки более эффективных теплообменных аппаратов, оптимизации систем охлаждения, повышения безопасности промышленных процессов и создания энергоэффективных технологий.

Перспективы дальнейших исследований в этих областях безграничны, простираясь от нанотехнологий и микрофлюидики до моделирования процессов в астрофизике и климатологии. Постоянное развитие вычислительных методов и экспериментальных техник позволяет углублять наше понимание даже мельчайших аспектов переноса. Таким образом, освоение представленных в данной работе принципов и методов является первым, но решающим шагом на пути к освоению сложного и увлекательного мира теплофизических явлений, открывая двери для будущих инженерных достижений и научных открытий, а также обеспечивая конкурентное преимущество специалистов в современном мире.

Список использованной литературы

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. 2-е изд. Москва, 1964. (Теоретическая физика, т. 5).
2. Рид, Р., Праусниц, Дж., Шервуд, Т. Свойства газов и жидкостей. Пер. с англ. 3-е изд. Ленинград, 1982.
3. Глушко, В. П. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. 3-е изд. Т. 1–4. Москва, 1978–82.
4. Дворсон, А. Н. Термодинамика и молекулярная физика. Москва : СМИО Пресс, 2002. 272 с.
5. Задачник по технической термодинамике и теории тепломассообмена : учеб. пособие для энергомашиностроит. спец. вузов / В. Н. Афанасьев, С. И. Исаев, И. А. Кожинов [и др.] ; под ред. В. И. Крутова и Г. Б. Петражицкого. Москва : Высш. шк., 1986. 383 с.
6. Теория тепломассообмена : учебник для технических университетов и вузов / С. И. Исаев, И. А. Кожинов, В. И. Кофанов [и др.] ; под ред. А. И. Леонтьева. 2-е изд., испр. и доп. Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 683 с.
7. Тепломассообмен в зданиях и инженерном оборудовании : учебное пособие. URL: https://www.nngasu.ru/file.php?f=file_download/dist/%D0%98%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A2%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D0%BC%D0%B5%D0%BD%20%D0%B2%20%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85%20%D0%B8%20%D0%B8%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B8.pdf
8. Ягов, В. В. Тепломассообмен : учебное пособие для вузов. Издательский дом МЭИ, 2014. 542 с.
9. Готовский, М. А., Суслов, В. А. Тепломассообмен в технологических установках ЦБП : учебное пособие. Санкт-Петербург : СПб. ГТУ РП, 2013.
10. Коротких, А. Г. Теплопроводность материалов : учебное пособие. Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2011. 97 с.
11. Брюханов, О. Н., Шевченко, С. Н. Теоретические основы теплотехники. Тепломассообмен : учебное пособие. Москва : АСВ, 2005. URL: https://library.ulstu.ru/fulltext/docs/30200_2005.pdf
12. Ткаченко, Л. А., Репина, А. В. Теория теплообмена : учебное пособие. Казань : Изд-во Казан. ун-та, 2017. 151 с.
13. Бухмиров, В. В. Тепломассообмен : учеб. пособие. Иваново, 2014. 360 с. URL: https://ispu.ru/files/books/buhmirov-teplomassoobmen-ucheb-posobie.pdf
14. Методические указания к лабораторной работе по дисциплинам «Гидравлика», «Механика жидкости и газа» для студентов всех форм обучения машиностроительных специальностей. Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2005.
15. Крайнов, А. Ю. Основы теплопередачи. Теплопередача через слой вещества : учеб. пособие. Томск : STT, 2016. 48 с. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/a/AYUK/academic/Tab2/Kraynov_book.pdf
16. Солодов, А. П., Сиденков, Д. В., Величко, В. И. Тепломассообмен : учебник : В 2 т. Т. 1 / под общ. ред. А. П. Солодова. Москва : Издательство МЭИ, 2021. 484 с.
17. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. Институт холода и биотехнологий, 2017.
18. Бухмиров, В. В. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛООТДАЧИ (основные критериальные формулы) : Методические указания. Иваново : ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2014. 40 с.
19. Механика сплошных сред. Лекция 3. Вводные понятия механики сплошных сред. URL: https://elib.sfedu.ru/bitstream/123456789/22879/1/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%203%20%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B%20%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D1%81%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%88%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4.pdf
20. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ. Учебное электронное текстовое издание. УрФУ, Кафедра гидравлики.
21. Пограничный слой. Большая российская энциклопедия.
22. Рейнольдса число. Большая российская энциклопедия.