Содержание
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ3
1.1. Понятие функционала и оператора3
1.2.Задачи, приводящие к экстремуму функционала4
1.2.1. Задача о брахистохроне4
1.2.2. Задача о наибольшей площади5
1.3.Постановка задачи вариационного исчисления5
1.4. Первая вариация и градиент функционала6
1.5. Необходимое условие минимума функционала8
1.6. Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами8
1.7. Пути решения вариационных задач9
1.8. Вторая вариация функционала. Достаточное условие минимума функционала11
1.9. Изопериметрическая задача14
1.10. Минимизирующая последовательность16
1.11. Функционал от функций, нескольких независимых переменных17
1.12. Функционал от функций, имеющих производные высших порядков18
1.13. Функционалы, зависящие от нескольких функций20
Глава 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ.22
2.1. Простейшая задача с подвижными границами22
2.2. Условие трансверсальности23
2.3. Задача с подвижными границами для функционалов от нескольких функций26
Примеры29
Список используемой литературы31
Выдержка из текста
1.1. Понятие функционала и оператора
В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).
Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),
Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.
Примерами дифференциальных операторов могут служить:
Дадим более строгое определение функционала. Пусть A — множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если
J(αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).
Список использованной литературы
1.Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Наука. 1961.
2.Коршунов Ю.М., «Математические основы кибернетики», Москва, 1987 г.;
3.Таха Х., «Введение в исследование операций», Москва, 1985 г.;
4.Д. Сю., А. Мейер, «Современная теория автоматического управления и её применение», Машиностроение, 1972 г.;