Как работать с матрицами в Excel – пошаговое руководство по всем операциям

Что нужно знать о матрицах в Excel до начала вычислений

Многие воспринимают Excel как программу для простых таблиц и бухгалтерии, однако ее возможности выходят далеко за эти рамки. Для инженеров, экономистов и аналитиков Excel является полноценной вычислительной средой, способной справляться со сложными математическими задачами, включая операции с матрицами. В контексте Excel, матрица — это не что иное, как обычный двумерный диапазон ячеек, заполненный числами.

Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо понять центральное понятие, лежащее в основе большинства матричных операций — формулы массива. Это не просто функции, а особый способ их ввода, который говорит программе обрабатывать не одну ячейку, а целый набор данных (массив). Для ввода такой формулы используется комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter. Запомните это сочетание: оно является фундаментальным принципом для выполнения почти всех действий, которые мы рассмотрим далее.

Базовые операции как основа для сложного анализа

Любой сложный анализ начинается с простых шагов. В работе с матрицами это сложение, вычитание и умножение на константу (число). Эти операции выполняются поэлементно и являются интуитивно понятными, но требуют строгого соблюдения правил ввода.

• Сложение и вычитание: Эти операции возможны только для матриц одинакового размера. Чтобы сложить (или вычесть) две матрицы, нужно выделить диапазон ячеек для результата, который по размеру совпадает с исходными матрицами, ввести формулу (например, =A1:B2+D1:E2) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
• Умножение на число: Для умножения матрицы на константу каждый ее элемент умножается на это число. Алгоритм тот же: выделите диапазон для итоговой матрицы, введите формулу (например, =A1:B2*5) и подтвердите ввод как формулу массива через Ctrl+Shift+Enter.

Освоение этих базовых действий — необходимая подготовка перед переходом к самой востребованной, но и более сложной операции — умножению одной матрицы на другую.

Разбираем умножение матриц через функцию МУМНОЖ

Для перемножения матриц в Excel предназначен специальный инструмент — функция МУМНОЖ (в английской версии — MMULT). Ее синтаксис прост: =МУМНОЖ(массив1; массив2), где аргументами являются ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц. Однако успешное применение этой функции напрямую зависит от соблюдения одного критически важного математического правила.

Ключевое правило умножения: Число столбцов первой матрицы должно быть строго равно числу строк второй матрицы.

Если это условие не выполняется, Excel не сможет произвести вычисление и вернет ошибку #ЗНАЧ!. Это не сбой программы, а логичное следствие математического определения операции умножения матриц.

Пошаговый процесс выглядит так:

1. Определите размер будущей матрицы: она будет иметь столько же строк, сколько первая матрица, и столько же столбцов, сколько вторая. Выделите на листе соответствующий диапазон ячеек.
2. Не снимая выделения, начните вводить формулу: =МУМНОЖ(.
3. Укажите диапазон первой матрицы, поставьте точку с запятой, затем укажите диапазон второй и закройте скобку.
4. Для подтверждения операции нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Для продвинутых пользователей стоит упомянуть, что существует и альтернативный способ перемножения. Он заключается в использовании комбинации функций СУММПРОИЗВ и ТРАНСП, но функция МУМНОЖ остается стандартным и наиболее прямым методом.

Как найти обратную матрицу и вычислить ее определитель

Умножение — это мощно, но для решения целых классов задач, таких как системы линейных уравнений, нам не обойтись без двух связанных понятий: определителя и обратной матрицы. В Excel для этого есть две специализированные функции.

Сначала разберемся с определителем (детерминантом). Это числовая характеристика, которая есть только у квадратной матрицы (число строк равно числу столбцов). В Excel для его вычисления используется простая функция МОПРЕД (MDETERM). У нее всего один аргумент — ссылка на диапазон ячеек с матрицей, и вводится она как обычная формула (через Enter).

Теперь перейдем к обратной матрице. По своей сути, это такая матрица (обозначается как A⁻¹), которая при умножении на исходную матрицу A дает в результате единичную матрицу. Для ее нахождения служит функция МОБР (MINVERSE). Здесь есть два ключевых ограничения:

• Как и определитель, обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы.
• Матрица должна быть невырожденной, то есть ее определитель не должен быть равен нулю. Если определитель равен нулю, функция МОБР вернет ошибку #ЧИСЛО!.

Процесс вычисления обратной матрицы аналогичен другим матричным операциям: выделите пустой квадратный диапазон нужного размера, введите формулу =МОБР(диапазон_исходной_матрицы) и обязательно примените ее как формулу массива, нажав Ctrl+Shift+Enter.

Транспонирование матриц при помощи функции ТРАНСП

Мы рассмотрели основные вычислительные операции, и в завершение разберем важный вспомогательный инструмент — транспонирование. Транспонировать матрицу — значит «перевернуть» ее, поменяв местами строки и столбцы. Если исходная матрица имела размер 3×2 (3 строки, 2 столбца), то транспонированная будет иметь размер 2×3.

В Excel для этой цели служит простая и понятная функция ТРАНСП (TRANSPOSE). Ее синтаксис элементарен: =ТРАНСП(массив). Как и большинство матричных функций, она вводится через Ctrl+Shift+Enter в предварительно выделенный диапазон ячеек правильного размера.

Несмотря на свою простоту, эта операция является фундаментальной и часто используется в связке с другими функциями для сложных вычислений, что мы уже видели на примере альтернативного способа умножения матриц.

Применяем полученные знания для решения реальной задачи

Теперь, когда в нашем арсенале есть все необходимые инструменты, давайте объединим их для решения классической практической задачи — решения системы линейных уравнений (СЛАУ) матричным методом. Любую СЛАУ можно представить в виде матричного уравнения Ax=B, где A — это матрица коэффициентов при неизвестных, x — столбец неизвестных, а B — столбец свободных членов. Отсюда вектор решений x находится как произведение обратной матрицы A⁻¹ на вектор B.

Алгоритм решения в Excel выглядит следующим образом:

1. Подготовка: Введите на лист матрицу коэффициентов A и матрицу-столбец свободных членов B.
2. Нахождение обратной матрицы: В отдельном диапазоне вычислите обратную матрицу A⁻¹ с помощью функции МОБР, применив ее как формулу массива (Ctrl+Shift+Enter).
3. Получение решения: Используйте функцию МУМНОЖ, чтобы умножить найденную обратную матрицу A⁻¹ на столбец B. Результатом этого умножения и будет столбец x с корнями системы уравнений.

Таким образом, овладев всего несколькими функциями — МОБР и МУМНОЖ — можно эффективно решать достаточно сложные инженерные и экономические задачи, не прибегая к покупке специализированного математического программного обеспечения.

Список источников информации

1. Багриновский К.А., Хрусталев Е.Ю. Новые информационные технологии. – М.: “ЭКО”, 2006.
2. Белинов С.В., Зайцев А.А. Современные информационные технологии. – М.: Инфра-М, 2006.
3. Иванченко Н.М. Компьютерные методы обработки информации: УМК. – СПб.: Питер, 2007.
4. Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере / Под редакцией И.В. Макаровой. –М.: Финансы и статистика, 2004.
5. Каpатыгин С.Н. Информационные технологии в коммерческой деятельности. — М.: ABF, 2004.
6. Майоров С.И. Информационные технологии. – М.: Информатика, 2003.
7. Макарова Н.В., Матвеева Л.А., Бройдо В.Л. Информатика: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2004.
8. Шафрин Ю. А. Основы компьютерной технологии. — М.: АБФ, 2005.
9. Векторная графика: http://imped.vgts.ru/polygraph/vektor.html
10. О векторной и растровой графике: http://flashmaker.8m.com/help/html/02basics2.html