Виртуальные математические лаборатории как инструмент достижения планируемых образовательных результатов: системный анализ и перспективы развития

В условиях стремительной цифровизации образования, когда технологии проникают во все сферы человеческой деятельности, вопрос эффективности обучения и соответствия его современным требованиям становится краеугольным. Виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) выступают как один из наиболее перспективных инструментов, способных трансформировать традиционные подходы к преподаванию математики, значительно повышая качество и глубину усвоения материала. Они предлагают интерактивную среду для экспериментов и моделирования, которая до недавнего времени была доступна лишь в реальных научно-исследовательских центрах. Актуальность их применения продиктована не только технологическим прогрессом, но и необходимостью достижения планируемых результатов обучения, сформулированных в Федеральных государственных образовательных стандартах (ФГОС), которые акцентируют внимание на формировании предметных, метапредметных и личностных компетенций, поскольку именно эти компетенции становятся залогом успешной адаптации выпускников к быстро меняющемуся миру.

Целью данного исследования является детальное изучение и систематизация возможностей виртуальных математических лабораторий как инструмента для достижения планируемых результатов обучения в соответствии с современными образовательными стандартами. Для достижения этой цели в работе будут поставлены и решены следующие задачи:

• Определить сущность и дать классификацию современных виртуальных математических лабораторий, а также провести обзор их ключевых функций и дидактических возможностей на различных уровнях образования.
• Проанализировать, каким образом применение виртуальных математических лабораторий способствует формированию предметных, метапредметных и личностных результатов обучения в соответствии с требованиями ФГОС.
• Выявить наиболее эффективные методические подходы и педагогические технологии для интеграции виртуальных математических лабораторий в учебный процесс.
• Представить эмпирические данные, исследования и успешные кейсы, подтверждающие эффективность использования ВМЛ.
• Обозначить вызовы и ограничения, с которыми сталкиваются педагоги и обучающиеся при использовании виртуальных лабораторий, а также предложить стратегии их преодоления и перспективы развития.

Ключевыми терминами в данном контексте являются:

• Виртуальная математическая лаборатория (ВМЛ) – это программно-аппаратный комплекс, который предоставляет интерактивную среду для проведения виртуальных опытов, экспериментов, исследований и моделирования математических объектов и процессов без необходимости физического контакта с реальным оборудованием.
• Планируемые результаты обучения – это конкретные, измеримые, достижимые, релевантные и ограниченные по времени ожидаемые достижения обучающихся по завершении определенного этапа обучения, сформулированные в образовательных программах.
• Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) – это совокупность требований, обязательных при реализации основных образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего, среднего профессионального и высшего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию.

Данная работа структурирована таким образом, чтобы последовательно раскрыть все аспекты заявленной темы, начиная с теоретических основ и заканчивая практическими рекомендациями и перспективами развития, что позволит представить исчерпывающий и научно обоснованный анализ роли виртуальных математических лабораторий в современном образовании.

Теоретические основы и сущность виртуальных математических лабораторий

Виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) — это не просто дань моде, а закономерный этап эволюции образовательных технологий, призванный преодолеть ограничения традиционного обучения. Их появление и активное внедрение обусловлены не только техническим прогрессом, но и глубокими теоретическими предпосылками, коренящимися в ведущих педагогических концепциях, таких как деятельностный подход и культурно-историческая теория Л.С. Выготского. ВМЛ призваны не просто демонстрировать готовые решения, а вовлекать обучающихся в активный исследовательский процесс, делая математику «осязаемой» и понятной, тем самым закладывая фундамент для формирования истинного понимания, а не поверхностного запоминания.

Понятие и классификация виртуальных математических лабораторий

Виртуальная математическая лаборатория — это высокотехнологичный программно-аппаратный комплекс, который позволяет проводить эксперименты, исследования и моделирование математических объектов и процессов в цифровой среде. В отличие от традиционных лабораторий, ВМЛ не требуют физического оборудования, что делает их доступными, безопасными и экономически эффективными. Основные функции ВМЛ включают интерактивную визуализацию сложных математических явлений и закономерностей, проведение виртуальных опытов и экспериментов, а также математическое моделирование реальных и абстрактных процессов.

Ключевые функции ВМЛ:

• Наглядная интерактивная визуализация: Позволяет преобразовать абстрактные математические концепции в динамичные, легко воспринимаемые образы. Например, изменение параметров функции и мгновенное отображение этого на графике.
• Проведение виртуальных опытов и экспериментов: Обучающиеся могут самостоятельно изменять входные данные, наблюдать за результатами, выдвигать гипотезы и проверять их, что невозможно или крайне затратно в реальных условиях.
• Математическое моделирование: Создание цифровых аналогов реальных объектов и процессов, позволяющее исследовать их поведение, прогнозировать результаты и оптимизировать параметры.
• Формирование исследовательских компетенций: ВМЛ становятся мощным инструментом для развития критического мышления, умения анализировать данные, формулировать и проверять гипотезы. Возможность быстро изменять условия эксперимента и наблюдать за изменениями результатов способствует глубокому пониманию причинно-следственных связей.

Классификация виртуальных математических лабораторий:

ВМЛ можно классифицировать по нескольким критериям:

1. По типу функционала:
   • Геометрические конструкторы: Специализируются на построении и исследовании геометрических фигур на плоскости и в пространстве (например, GeoGebra, «Живая математика»).
   • Алгебраические и вычислительные системы: Ориентированы на решение уравнений, систем, вычисление интегралов, производных, работу с матрицами (например, MATLAB, MathCAD, символьные вычисления GeoGebra).
   • Статистические и вероятностные симуляторы: Позволяют проводить эксперименты по теории вероятностей, статистическую обработку данных (например, модули GeoGebra, лаборатория «Теория вероятностей» МЭШ).
   • Комплексные платформы: Объединяют в себе несколько функциональных направлений, предоставляя широкий спектр возможностей для различных разделов математики (например, GeoGebra, MATLAB).
2. По областям применения:
   • Школьное образование: Адаптированные для изучения основ математики, геометрии, алгебры (GeoGebra, «Живая математика», МЭШ).
   • Высшее образование: Используются для изучения высшей математики, математического моделирования, инженерных и научных расчетов (MATLAB, MathCAD, продвинутые функции GeoGebra).
   • Исследовательская деятельность: Применяются для проведения научных исследований, создания моделей и анализа данных.

Виртуальные лаборатории оптимальны для формирования компетенций, смоделированных на объектах реального мира в электронной образовательной среде. Программная оболочка обычно воспроизводит полный сценарий занятия: от теоретических основ и инструкции до этапа выполнения работы, формирования отчета и защиты. Это способствует не только развитию предметных знаний, но и формированию профессиональных навыков, которые необходимы для успешной практической деятельности, например, в инженерном деле, где ошибки в реальной среде могут быть крайне дорогостоящими.

Обзор и функционал ведущих виртуальных математических лабораторий

Современный образовательный ландшафт предлагает множество виртуальных математических лабораторий, каждая из которых обладает уникальным функционалом и специализацией. Рассмотрим наиболее популярные и востребованные из них, чтобы понять их роль в достижении планируемых образовательных результатов.

1. GeoGebra: Универсальный инструмент для геометрии, алгебры и не только

GeoGebra — это бесплатная и кроссплатформенная (Windows, Linux, MacOS) математическая программа, которая уникальным образом объединяет в одном пакете геометрию, алгебру, электронные таблицы, графики, статистику и исчисление. Её удобный многоязычный интерфейс и динамическая природа делают её незаменимой как для школьного, так и для вузовского образования.

• Ключевой функционал:
  • Интерактивные конструкции: Возможность создавать точки, линии, векторы, математические функции и динамически изменять их параметры.
  • Визуализация: Построение графиков линейных, квадратных, тригонометрических, логарифмических функций, исследование их свойств и поведение при изменении коэффициентов.
  • Геометрия: Построение фигур, объемных тел и их сечений, что особенно ценно при изучении стереометрии, например, прямоугольного параллелепипеда в 5-11 классах.
  • Алгебра и исчисление: Решение систем уравнений, символьные вычисления (CAS), изучение производной.
  • Статистика и вероятность: Вычисление статистических характеристик, проведение вероятностных экспериментов.
  • Электронные таблицы: Интеграция с таблицами для обработки данных.
• Применение: GeoGebra активно используется в российских школах с 5 по 11 классы для изучения математики и информатики. В вузах она находит применение для обучения геометрии будущих учителей математики, а также для иллюстрации графического метода решения задач линейного программирования. Её интерактивность позволяет организовать исследовательскую деятельность учащихся, побуждая их к самостоятельному открытию свойств геометрических фигур, зависимостей графиков функций от коэффициентов и методов построения сложных функций.

2. MATLAB: Мощный комплекс для высшей математики и инженерных расчетов

MATLAB — это не просто программа, а высокоуровневый технический вычислительный язык и интерактивная среда, разработанная специально для решения задач по высшей математике, разработки алгоритмов, визуализации и анализа числовых расчетов. Он является стандартом де-факто во многих инженерных и научных областях.

• Ключевой функционал:
  • Численные алгоритмы: Реализация классических алгоритмов для решения уравнений, задач линейной алгебры, вычисления определенных интегралов, аппроксимации, решения дифференциальных уравнений и их систем.
  • Визуализация: Развитые возможности для построения двумерных и трехмерных графиков, позволяющие наглядно представлять сложные данные.
  • Символьные вычисления: Возможность выполнения операций с символьными выражениями, что расширяет аналитические возможности.
  • Работа с матрицами и комплексными числами: Оптимизированный математический аппарат для эффективных вычислений в этих областях.
• Применение: MATLAB является ключевым инструментом для инженеров и ученых. В России он применяется для моделирования нейропрогнозирующего управления дождевальными машинами в сельском хозяйстве с использованием искусственных нейронных сетей, а также в разработке алгоритмов для поворотных устройств радиолокационных станций. Это демонстрирует его мультидисциплинарные возможности в системах управления, электронике, динамике и механике, что делает его ценным инструментом для подготовки высококвалифицированных специалистов.

3. «Живая математика»: Динамичная среда для конструирования и исследования

Виртуальная математическая лаборатория «Живая математика» представляет собой интерактивную компьютерную среду, ориентированную на конструирование математических объектов — от геометрических фигур до уравнений, систем уравнений, графиков и диаграмм.

• Ключевой функционал:
  • Динамическое моделирование: Возможность изменять параметры построенных моделей как на плоскости, так и в трехмерном пространстве (декартова и полярная системы координат), наблюдая за изменениями в реальном времени.
  • Построение графиков: Мощный аппарат для построения графиков функций, незаменимый для решения алгебраических и тригонометрических задач.
  • Статистическая обработка данных: Инструменты для анализа и визуализации статистических данных.
  • Развитие геометрического мышления: Динамическая природа программы способствует развитию пространственного и логического мышления.
• Применение: «Живая математика» незаменима при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам, поскольку позволяет решать практически любую задачу из школьного курса. В её состав входят компьютерные альбомы с примерами и задачами по планиметрии и стереометрии. Стоит отметить, что существуют и книги под названием «Живая математика» (например, Якова Перельмана), которые содержат занимательные задачи и головоломки, развивающие логическое мышление и смекалку, что лишь подчеркивает глубокую связь между интерактивными средами и классической занимательной математикой.

4. Виртуальные лаборатории МЭШ («Московская электронная школа»): Инструмент для школьников

Библиотека «Московской электронной школы» (МЭШ) активно пополняется новыми виртуальными лабораториями, предназначенными специально для школьников. Среди них выделяются «Теория вероятностей», «Графики функций. Часть 2», «Математическое моделирование» и «Математический конструктор».

• Ключевой функционал:
  • Расширение знаний и подготовка к экзаменам: Помогают школьникам углубить понимание материала, эффективно подготовиться к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам.
  • Самостоятельное моделирование и исследование: Предоставляют инструменты для изучения свойств объектов и явлений путем самостоятельного конструирования и проведения экспериментов как в школе, так и дома.
  • Специфические лаборатории:
    • «Теория вероятностей»: Позволяет проводить опыты с кубиками, испытания Бернулли, изучать закон больших чисел и метод Монте-Карло.
    • «Математическое моделирование»: Дает возможность исследовать кинематику автомобильного колеса, силовые поля и планетные системы.
    • «Математический конструктор»: Позволяет создавать интерактивные динамические чертежи, которые сохраняют исходные данные, алгоритм создания и зависимости между объектами. Это обеспечивает создание «живого» чертежа, с которым могут работать как младшие школьники, творчески манипулируя объектами, так и старшеклассники, конструируя и решая сложные задачи.
• Применение: Лаборатории МЭШ содержат как готовые интерактивные исследования, так и шаблоны для самостоятельных построений. Для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ в МЭШ доступны тысячи тестов, приложений, видеоуроков и электронных учебных пособий, а также функции самодиагностики. Пользователи активно обращаются к этим ресурсам, что подтверждает их востребованность.

В совокупности, эти виртуальные математические лаборатории представляют собой мощный арсенал для педагогов и обучающихся, позволяя не только повысить наглядность и интерактивность обучения, но и глубоко погрузиться в исследовательскую деятельность, соответствующую современным образовательным вызовам.

Теоретические обоснования применения виртуальных лабораторий в обучении

Применение виртуальных математических лабораторий в образовательном процессе имеет под собой прочные теоретические основания, которые уходят корнями в классическую и современную педагогику и психологию обучения. Эти платформы не просто являются техническим новшеством, но и воплощают в себе ключевые дидактические принципы, способствующие более глубокому и осмысленному усвоению знаний.

1. Деятельностный подход: От пассивного восприятия к активному познанию

Деятельностный подход, являющийся основополагающим при реализации Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), утверждает, что усвоение знаний, умений и навыков происходит наиболее эффективно в процессе активной, самостоятельной и целенаправленной деятельности обучающегося. Виртуальные лаборатории идеально соответствуют этому принципу, поскольку:

• Активизация учебной деятельности: Вместо пассивного прослушивания лекций или заучивания формул, учащиеся становятся активными участниками процесса познания. Они сами проводят виртуальные эксперименты, изменяют параметры, наблюдают за результатами, выдвигают гипотезы и проверяют их. Это позволяет не просто воспроизводить знания, а конструировать их на основе собственного опыта.
• Организация экспериментальной учебной деятельности: ВМЛ предоставляют уникальную возможность для организации экспериментальной работы по математике, которая в традиционном формате часто ограничена. Обучающиеся могут моделировать математические объекты и процессы, наблюдать за их динамическими изменениями, что способствует формированию умений выделять характерные признаки, устанавливать закономерности, делать обобщения и выдвигать гипотезы. Например, при изучении квадратичной функции с помощью «1С: Математический конструктор» учащиеся могут в реальном времени наблюдать, как изменение коэффициентов A, B и C влияет на форму и положение параболы.
• Формирование универсальных учебных действий: В процессе активной работы с виртуальными лабораториями развиваются регулятивные, познавательные и коммуникативные универсальные учебные действия. Учащиеся учатся планировать свою деятельность, контролировать и оценивать результаты, искать и обрабатывать информацию, взаимодействовать с инструментами.

2. Культурно-историческая концепция Л.С. Выготского: Опосредованная деятельность и зона ближайшего развития

Культурно-историческая теория Л.С. Выготского подчеркивает роль социокультурного контекста и орудий (знаков, инструментов) в развитии высших психических функций. В этом свете виртуальные математические лаборатории можно рассматривать как мощные психологические орудия, которые опосредуют процесс познания и способствуют развитию мышления.

• Опосредованная деятельность: ВМЛ выступают в роли таких «опосредующих» средств. Они не дают готового знания, но предоставляют инструменты для его получения. Через взаимодействие с виртуальными объектами и динамическими моделями, обучающийся осваивает более сложные способы мышления и действий. Например, 3D-визуализация в GeoGebra или «Живой математике» помогает преодолеть абстрактность стереометрии, делая её доступной для понимания через наглядное взаимодействие.
• Расширение «зоны ближайшего развития»: Использование виртуальных лабораторий позволяет учащимся решать задачи, которые без поддержки со стороны цифровых инструментов были бы для них слишком сложны. ВМЛ выступают в роли «более компетентного партнера», который предоставляет scaffolding (поддержку), позволяя ученику осваивать новые понятия и методы на более высоком уровне. Это особенно заметно при работе с инструментами, которые автоматизируют рутинные построения (например, инструмент «Пересечение» в GeoGebra), позволяя сосредоточиться на концептуальном понимании.
• Интериоризация внешних действий: Выготский утверждал, что высшие психические функции изначально формируются как внешние, интерпсихические, а затем интериоризируются, превращаясь во внутренние, интрапсихические. Работа с виртуальными лабораториями — это своего рода внешняя, предметная деятельность, в ходе которой учащиеся манипулируют объектами, строят модели, проводят эксперименты. Постепенно эти внешние действия преобразуются во внутренние умственные операции, развивая абстрактное и логическое мышление.
• Формирование понятий: Благодаря возможности динамически изменять параметры и наблюдать за изменениями, ВМЛ способствуют не просто заучиванию определений, а глубокому пониманию математических понятий и теорем. Они становятся «видимыми» и «осязаемыми», позволяя учащимся улавливать их смысл и получать объемное представление об объекте, что является основой для формирования функциональной грамотности.

Таким образом, виртуальные математические лаборатории не просто облегчают обучение, но и создают принципиально новые возможности для развития познавательных способностей обучающихся, активизируя их деятельность и способствуя формированию высших психических функций в соответствии с ведущими педагогическими и психологическими теориями.

Дидактические возможности виртуальных математических лабораторий и их соответствие ФГОС

Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) ставят перед образованием амбициозные задачи по формированию не только предметных знаний, но и метапредметных умений, а также личностных качеств обучающихся. Виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) выступают как мощный катализатор для достижения всех этих типов результатов, предлагая уникальные дидактические возможности, которые значительно превосходят традиционные методы обучения.

Формирование предметных результатов обучения

Предметные результаты обучения в математике включают глубокое понимание основных понятий, умение применять математические методы для решения задач, владение специфическими математическими языками и моделями. ВМЛ существенно расширяют возможности для достижения этих целей:

• Углубление предметных знаний и оптимизация обучения: Виртуальные лаборатории позволяют получить более глубокие предметные знания по математике за счет наглядной визуализации и интерактивного моделирования. Сложные теоретические концепции, такие как поведение функций при различных параметрах или свойства геометрических фигур в пространстве, становятся понятнее и доступнее. Это значительно повышает вовлеченность студентов, делая процесс обучения более интересным и удерживая внимание на задачах. Гибкость обучения, позволяющая студентам работать в удобное время, также способствует индивидуальному подходу к освоению материала.
• Формирование умений выделять закономерности, делать обобщения и выдвигать гипотезы: Моделирование математических объектов и наблюдение за процессом их динамических изменений в ВМЛ (например, в GeoGebra или «Живой математике») активно способствует развитию этих умений. Учащиеся не просто запоминают правила, а самостоятельно открывают их, проводя виртуальные эксперименты. Например, динамическое изменение коэффициентов квадратичной функции \($y = ax^2 + bx + c$\) позволяет мгновенно увидеть, как меняется график параболы, что ведет к пониманию свойств функции и формированию гипотез о её поведении.
• Развитие пространственных представлений и преодоление трудностей в геометрии: Компьютерное моделирование, особенно в преподавании геометрии, значительно повышает познавательный интерес школьников и стимулирует развитие пространственных представлений о геометрических объектах. Стереометрия, часто вызывающая наибольшие затруднения из-за своей абстрактности, становится более доступной благодаря 3D-визуализации в GeoGebra или лабораториях МЭШ, позволяя исследовать объемные фигуры, их сечения и свойства. Это делает процесс обучения не только наглядным, но и творческим, развивая абстрактное и логическое мышление.
• Активизация мышления и улучшение запоминания: Цифровые образовательные ресурсы, в том числе GeoGebra и «1С: Математический конструктор», активизируют мышление учащихся и повышают их интерес к изучению геометрии и других разделов математики. Они облегчают запоминание новых понятий, делая абстрактные теории и микроскопические процессы наглядными и осязаемыми, что подтверждается на примере изучения квадратичной функции.

Развитие метапредметных результатов обучения

Метапредметные результаты включают универсальные учебные действия (УУД), направленные на формирование познавательных, регулятивных и коммуникативных компетенций. ВМЛ являются идеальной средой для их развития:

• Формирование универсальных учебных действий: Виртуальные лаборатории позволяют учащимся не просто заучивать теоремы и формулы, а понимать их смысл, получать объемное представление об объекте и осваивать принципы научного познания. Это способствует формированию функциональной грамотности, то есть способности использовать математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве и решения практических задач.
• Развитие критического мышления и навыков решения проблем: ВМЛ требуют от учащихся анализа данных, выдвижения гипотез и их экспериментальной проверки. Возможность быстро менять параметры эксперимента и наблюдать за результатами помогает лучше понимать причинно-следственные связи и закономерности изучаемых явлений. Это напрямую развивает критическое мышление и навыки решения проблем.
• Формирование исследовательских компетенций: Студенты учатся анализировать данные, выдвигать гипотезы и проверять их экспериментальным путем. Возможность быстро менять параметры эксперимента и наблюдать за результатами способствует лучшему пониманию причинно-следственных связей и закономерностей изучаемых явлений, что является основой исследовательской деятельности.
• Соответствие системно-деятельностному подходу ФГОС: Использование информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) на уроках математики, включая ВМЛ, позволяет создавать условия для организации активной учебной деятельности учащихся. Это полностью соответствует системно-деятельностному подходу, который является основополагающим при реализации ФГОС, поскольку акцентирует внимание на организации экспериментальной учебной деятельности, проведении виртуальных опытов, проверке гипотез и анализе данных.

Достижение личностных результатов обучения

Личностные результаты касаются ценностно-смысловых установок, самоопределения, формирования мотивации и готовности к саморазвитию. ВМЛ вносят значительный вклад и в эту область:

• Повышение познавательного интереса и мотивации: Интерактивность, наглядность и возможность самостоятельного экспериментирования в виртуальных лабораториях значительно повышают интерес к изучению математики. Возможность увидеть «вживую» абстрактные математические концепции делает процесс обучения увлекательным и мотивирующим.
• Развитие творческих способностей и самостоятельности: ВМЛ предоставляют учащимся свободу для творчества и самостоятельного исследования. Например, «Математический конструктор» МЭШ позволяет младшим школьникам творчески манипулировать объектами, а старшеклассникам — конструировать и решать задачи в полнофункциональной среде. Это стимулирует развитие творческого подхода к решению проблем.
• Формирование самокритичности и ответственности: При самостоятельной работе в ВМЛ учащиеся вынуждены оценивать свои гипотезы, анализировать ошибки и корректировать свои действия. Это способствует развитию самокритичности, ответственности за результаты своей работы и формированию самостоятельности в обучении.
• Формирование функциональной грамотности: Через практическое применение математических знаний в смоделированных ситуациях, ВМЛ способствуют формированию функциональной грамотности, подготавливая учащихся к использованию математики в реальной жизни и профессиональной деятельности.

Таким образом, виртуальные математические лаборатории не только способствуют углубленному освоению предметного материала, но и эффективно развивают ключевые метапредметные компетенции и формируют значимые личностные качества, полностью соответствуя требованиям ФГОС и готовя обучающихся к вызовам современного мира.

Методические аспекты интеграции виртуальных математических лабораторий в учебный процесс

Эффективность применения виртуальных математических лабораторий (ВМЛ) в образовательном процессе во многом зависит от грамотно выстроенных методических подходов и педагогических технологий. ВМЛ — это не просто инструмент, а целая экосистема для обучения, которая требует от педагогов нового видения учебного процесса. Их интеграция должна быть продумана на всех этапах урока и во внеурочной деятельности, чтобы максимально раскрыть дидактический потенциал.

Применение на различных этапах урока

Виртуальные лаборатории целесообразно использовать на всех этапах урока, обеспечивая разнообразие форм и методов обучения.

1. На этапе изучения нового материала:

• Демонстрация сложных явлений и компьютерное моделирование: ВМЛ позволяют наглядно продемонстрировать абстрактные математические понятия, которые трудно объяснить словами или с помощью статичных изображений. Например, GeoGebra позволяет с минимумом затрат выполнять основные геометрические построения (середина отрезка, перпендикуляр, биссектриса угла с использованием одной опции), строить многоугольники и преобразовывать фигуры. Педагог может пошагово строить динамические интерактивные чертежи в реальном времени, демонстрируя поворот фигуры, переход между 2D и 3D представлением, изменение положения точек. Это делает математические понятия «видимыми» и «осязаемыми».
• Визуализация функций: При изучении квадратичной функции, «1С: Математический конструктор» позволяет учащимся наблюдать изменение поведения графика параболы при изменении коэффициентов A, B и C, что повышает интерес и улучшает понимание сложных математических концепций. Аналогично, GeoGebra используется для наглядного представления задач линейного программирования, позволяя строить область допустимых решений и наблюдать движение прямой целевой функции.

2. На этапах закрепления и повторения:

• «Живые» плакаты и интерактивные справочники: Заранее созданные динамические модели могут служить «живыми» плакатами, которые демонстрируют математические явления и свойства. Учащиеся могут самостоятельно изучать их, манипулировать параметрами для лучшего закрепления материала.
• Виртуальные тренажеры: ВМЛ могут использоваться для создания интерактивных заданий, где учащиеся отрабатывают навыки построения, вычислений или анализа данных, получая мгновенную обратную связь.

3. На этапе организации самостоятельной работы:

• Исследовательские чертежи: ВМЛ идеально подходят для организации самостоятельной исследовательской работы. Учащиеся могут создавать собственные интерактивные чертежи, изменяя параметры и наблюдая за результатами для самостоятельного открытия свойств, например, закономерностей изменения графика функции или свойств геометрических фигур.
• Решение задач повышенной сложности: ВМЛ, такие как «Живая математика», незаменимы при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам, позволяя решать практически любую задачу из школьного курса, в том числе, требующие динамического моделирования.

Организация исследовательской и проектной деятельности

Виртуальные математические лаборатории открывают широкие возможности для организации исследовательской и проектной деятельности, что является ключевым элементом современного образования.

• Исследовательская деятельность: Использование GeoGebra помогает организовать исследовательскую деятельность учащихся, позволяя им самостоятельно открывать свойства геометрических фигур (например, сумма углов треугольника, длина окружности, площадь круга, теорема Пифагора) и делать выводы о расположении графиков функций в зависимости от коэффициентов. Учащиеся становятся первооткрывателями, а не просто потребителями готовых знаний.
• Проектная деятельность: «Математический конструктор» МЭШ позволяет ученикам младших классов творчески манипулировать объектами, а старшеклассникам — конструировать и решать задачи в полнофункциональной среде. Это может быть создание собственного интерактивного чертежа, иллюстрирующего определенную теорему, или разработка модели, решающей конкретную прикладную задачу. Такая деятельность развивает не только математические, но и цифровые компетенции, а также навыки командной работы.

Методические рекомендации и инструментальные средства

Для успешной интеграции ВМЛ необходимо учитывать ряд методических рекомендаций:

1. Учет индивидуальных особенностей: Для учащихся со слабо развитым пространственным мышлением, например, при построении точки пересечения прямых, удобен инструмент «Пересечение» в GeoGebra, который позволяет ставить точку только в точке пересечения прямых, минимизируя ошибки.
2. Использование подсказок и обратной связи: Системы вроде «Живой математики» предлагают методы, основанные на теории логического вывода, которые позволяют формулировать необходимые подсказки о направлении поиска решения, не давая окончательного ответа. Это поддерживает самостоятельность, но направляет процесс обучения.
3. Методические материалы и обучение педагогов: Существуют учебные пособия (например, по методике обучения математике с компьютерной анимацией в среде GeoGebra для вузов), которые помогают педагогам освоить работу с ВМЛ. Однако потребность в более комплексных ресурсах и обучении педагогов остается высокой. Платформы, такие как МЭШ, предоставляют подробные методические материалы к своим виртуальным лабораториям, описывающие их структуру, порядок работы и варианты использования, что существенно облегчает их внедрение.
4. Интеграция с традиционными методами: Важно помнить, что ВМЛ дополняют, а не полностью заменяют традиционные методы обучения. Их следует комбинировать с классными дискуссиями, решением задач на бумаге и, при возможности, с реальными лабораторными работами для формирования целостного опыта.

Грамотная методическая интеграция виртуальных математических лабораторий позволяет не только повысить качество и эффективность обучения, но и сделать математику более привлекательной, доступной и осмысленной для каждого обучающегося.

Эффективность применения и опыт использования виртуальных математических лабораторий

Вопрос об эффективности любого инновационного образовательного инструмента всегда требует эмпирического подтверждения. Виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) не исключение. Множество исследований и практический опыт российских и зарубежных педагогов убедительно показывают, что их применение приводит к значительному повышению результативности обучения, улучшению усвоения материала и формированию ключевых компетенций, соответствующих современным образовательным стандартам.

Анализ результативности обучения

Применение виртуальных математических лабораторий демонстрирует ощутимое повышение результативности обучения, особенно в сложных разделах математики.

• Повышение результативности в геометрии и стереометрии: Апробация результатов исследований показала, что использование GeoGebra в обучении геометрии ведет к повышению результативности. Программа особенно эффективна в задачах стереометрии, где 3D-визуализация и интерактивное исследование объектов и их свойств помогают школьникам преодолевать трудности, связанные с абстрактным характером начальных сведений. Компьютерное моделирование в целом повышает эффективность усвоения многих геометрических знаний, способствуя более глубокому пониманию и лучшему запоминанию.
• Вовлеченность и качество усвоения: Виртуальные лаборатории существенно повышают вовлеченность студентов в учебный процесс, что приводит к большему интересу к изучаемому материалу. Наглядная визуализация сложных теоретических концепций, например, квадратичной функции с помощью «1С: Математический конструктор», не только улучшает понимание, но и дольше удерживает внимание на выполняемых задачах. Это способствует формированию практических умений и навыков, так как студенты могут самостоятельно формировать их в удобное время.

Эмпирические исследования и статистические данные

Многочисленные эмпирические исследования подтверждают позитивное влияние ВМЛ на образовательный процесс.

• Влияние на познавательный интерес и понимание: Исследования подтверждают эффективность GeoGebra в повышении интереса и улучшении понимания сложных математических концепций. Например, возможность динамического изменения параметров функции и мгновенное отображение этого на графике позволяет учащимся не просто заучивать, а осмысливать материал.
• Автоматизированный контроль и диагностика: Виртуальные лаборатории МЭШ включают функции автоматической проверки заданий и цифровых домашних работ. Это обеспечивает учителям постоянный контроль и диагностику освоения материала, позволяя оперативно отслеживать прогресс учащихся и выявлять проблемные области. Активное использование учителями ВМЛ в МЭШ, измеряемое запуском лаборатории длительностью более 3 минут на уроке, является показателем их эффективности.
• Формирование исследовательских компетенций: Использование GeoGebra помогает организовать исследовательскую деятельность учащихся, позволяя им открывать свойства геометрических фигур (например, сумма углов треугольника, длина окружности, площадь круга, теорема Пифагора) и делать выводы о расположении графиков функций. Это способствует развитию критического мышления и навыков решения проблем, поскольку студенты учатся анализировать данные, выдвигать гипотезы и проверять их экспериментальным путем.

Примеры практического применения и кейс-стади

Практический опыт внедрения ВМЛ в образовательный процесс подтверждает их ценность.

• Российский опыт:
  • МЭШ (Московская электронная школа): Виртуальные лаборатории МЭШ («Теория вероятностей», «Графики функций», «Математическое моделирование», «Математический конструктор») активно используются школьниками для расширения знаний, подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Статистические данные показывают, что пользователи библиотеки МЭШ более полумиллиона раз обращались к интерактивным приложениям и тестам для подготовки к экзаменам. «Математический конструктор» доказал свою эффективность, позволяя ученикам младших классов творчески манипулировать объектами, а старшеклассникам — конструировать и решать задачи.
  • GeoGebra в школах и вузах: Широко применяется в российских школах с 5 по 11 классы для изучения объемных фигур, геометрии и информатики. В вузах используется для обучения геометрии будущих учителей математики и иллюстрации графического метода решения задач линейного программирования.
  • MATLAB в инженерном образовании: В технических вузах MATLAB является ключевым инструментом для выполнения инженерных расчетов, моделирования нейропрогнозирующего управления, разработки алгоритмов для радиолокационных станций. Это показывает его мультидисциплинарные возможности и эффективность в подготовке высококвалифицированных специалистов.
• Общие преимущества:
  • Индивидуальный подход и развитие творческих способностей: Внедрение цифровых технологий позволяет перейти к обучению с учетом индивидуальных особенностей каждого ученика. Виртуальные лаборатории обеспечивают индивидуальный подход, предлагая контент, адаптированный к разным уровням подготовки учащихся, и способствуют развитию творческих способностей через возможность самостоятельного конструирования и решения задач.
  • Доступность и гибкость: Виртуальные лаборатории предоставляют студентам комплекс задач различных предметных областей, виртуальные инструменты и средства для решения проблем, позволяя им самостоятельно формировать практические умения и навыки в удобное время и в безопасной среде, где ошибки служат ценным учебным опытом.

В целом, опыт использования виртуальных математических лабораторий демонстрирует их высокую эффективность в современном образовании, подтверждая их потенциал как мощного инструмента для достижения планируемых образовательных результатов на всех уровнях обучения.

Вызовы, ограничения и перспективы развития виртуальных математических лабораторий

Несмотря на очевидные преимущества и доказанную эффективность, виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) сталкиваются с рядом вызовов и ограничений, преодоление которых является ключом к их дальнейшему широкомасштабному внедрению. Вместе с тем, их потенциал в персонализации и адаптации образования открывает захватывающие перспективы развития, способные кардинально изменить ландшафт математического обучения.

Существующие вызовы и ограничения

Внедрение ВМЛ в образовательную практику не лишено трудностей, которые требуют системного подхода к их решению:

1. Отсутствие непосредственного контакта с реальными объектами: Одним из главных недостатков ВМЛ является отсутствие тактильного и непосредственного контакта с объектом исследования, реальными приборами и аппаратурой. Это может препятствовать формированию полноценного практического опыта, особенно в прикладных дисциплинах. Поэтому оптимальным решением является сочетание виртуальных лабораторий с реальными лабораторными работами, где это возможно, чтобы обеспечить комплексное развитие навыков.
2. Экономические и организационные барьеры:
   • Дороговизна разработки: Создание высококачественных, интерактивных и функционально насыщенных виртуальных лабораторий — процесс дорогостоящий и трудоемкий. Это приводит к их малому количеству и разрозненности систем.
   • Разрозненность и интеграция с СУО: Существующие ВМЛ часто разрабатываются изолированно под специфические требования отдельных учреждений. Это приводит к дублированию усилий и значительным затратам времени и ресурсов на поддержку каждой отдельной системы. Кроме того, учебные данные из ВМЛ не всегда автоматически передаются в системы управления обучением (СУО — LMS), что затрудняет сбор статистики и персонализацию.
   • Экономические преимущества: Тем не менее, стоит отметить, что широкое распространение и универсальность виртуальных лабораторий в долгосрочной перспективе компенсируют затраты на разработку. Они снижают расходы на приобретение и обслуживание дорогостоящего физического оборудования, которое к тому же может устаревать или давать неточные результаты, а также сокращают затраты на расходные материалы.
3. Недостаточная подготовка педагогов и нехватка методических материалов: Одним из ключевых факторов, препятствующих широкому использованию ВМЛ, является недостаточная подготовка педагогов в области компьютерных технологий и нехватка комплексных методических материалов по применению программных средств. Хотя существуют отдельные учебные пособия (например, по GeoGebra для вузов), потребность в более системном обучении педагогов и разработке унифицированных методических рекомендаций остается высокой. Платформы вроде МЭШ частично решают эту проблему, предоставляя методические материалы к своим лабораториям, но это скорее исключение, чем правило.

Перспективы развития и роль в персонализации образования

Несмотря на существующие ограничения, перспективы развития виртуальных математических лабораторий выглядят весьма многообещающими, особенно в контексте персонализации и адаптации образования.

1. Персонализация и адаптация математического образования: Виртуальные лаборатории обладают огромным потенциалом для персонализации обучения.
   • Индивидуальный темп и фокус: Они позволяют учащимся работать в индивидуальном темпе, фокусируясь на областях, требующих дополнительной практики, что особенно важно для студентов с разными уровнями подготовки.
   • Адаптивные образовательные траектории: Системы могут предлагать новые задания или повторять ранее неверно решенные в зависимости от успеваемости ученика. Примером такого подхода является проект «СберКласс», направленный на развитие личностного потенциала учащегося через персонализированное образование. Цифровые инструменты в виртуальных лабораториях, как в МЭШ, с алгоритмами тестирования, способствуют индивидуализации темпа обучения и самокоррекции.
2. Роль в инженерном образовании и подготовке высококвалифицированных кадров:
   • Разработка мультимедийных учебно-научных лабораторий: Это перспективное направление в обучении современным высоким технологиям, подготовке высококвалифицированных научных кадров и отраслевых специалистов. Виртуальные лаборатории критически важны для формирования специализированных навыков в таких областях, как нейропрогнозирующее управление (например, в сельском хозяйстве) и сложные системы управления для радиолокационных станций.
   • Интеграция с новыми технологиями: ВМЛ становятся основой для подготовки специалистов в таких областях, как разработка IoT (Интернета вещей) продуктов, где активно сотрудничают вузы и бизнес. В инженерном образовании они считаются высокоэффективным методом обучения, поскольку обеспечивают низкий уровень абстракции учебного материала и максимально имитируют реальные условия.
3. Развитие индивидуального подхода и проектной деятельности:
   • Цифровые инструменты и проектная деятельность: Интеграция цифровых инструментов в ВМЛ позволяет организовать не только индивидуальный подход, но и активную проектную деятельность обучающихся. Учащиеся могут создавать собственные интерактивные динамические чертежи и решать сложные задачи в полнофункциональных средах, таких как «Математический конструктор». Это способствует развитию творческих способностей и навыков работы над реальными проектами.

Таким образом, будущее виртуальных математических лабораторий связано с их эволюцией в сторону еще большей адаптивности, интерактивности и интеграции с другими образовательными и производственными платформами. Преодоление текущих ограничений и активное использование их потенциала позволит создать принципиально новую, более эффективную и персонализированную систему математического образования.

Заключение

В эпоху стремительной цифровизации и трансформации образовательного ландшафта, виртуальные математические лаборатории (ВМЛ) зарекомендовали себя как мощный и многофункциональный инструмент, способный кардинально изменить подходы к преподаванию и изучению математики. Проведенный системный анализ показал, что ВМЛ — это не просто технологическое новшество, а глубоко обоснованное дидактическое средство, чья эффективность подтверждается как теоретическими положениями, так и обширным практическим опытом.

Мы детально рассмотрели сущность ВМЛ как программно-аппаратных комплексов, позволяющих проводить виртуальные эксперименты и моделирование, а также дали их классификацию по функционалу и областям применения. Обзор ведущих платформ, таких как GeoGebra, MATLAB, «Живая математика» и виртуальные лаборатории МЭШ, выявил их уникальные возможности – от интерактивной визуализации геометрических фигур и функций до сложных инженерных расчетов и статистического моделирования. Теоретическое обоснование применения ВМЛ, основанное на деятельностном подходе и культурно-исторической концепции Л.С. Выготского, подчеркнуло их роль в активизации учебной деятельности, формировании высших психических функций и опосредованном познании.

Ключевым выводом является доказательство того, что ВМЛ являются эффективным инструментом для достижения всех типов планируемых результатов обучения в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами. Они не только расширяют возможности получения глубоких предметных знаний по математике, способствуя развитию пространственных представлений, умений выделять закономерности и выдвигать гипотезы, но и активно формируют метапредметные результаты – критическое мышление, навыки решения проблем и исследовательские компетенции. Более того, ВМЛ значительно повышают познавательный интерес, мотивацию, развивают творческие способности и самостоятельность, что напрямую влияет на достижение личностных результатов.

Методические аспекты интеграции ВМЛ в учебный процесс были представлены с учетом различных этапов урока и возможностей для организации исследовательской и проектной деятельности. Примеры использования GeoGebra для динамических чертежей и «Математического конструктора» для создания собственных моделей показали практическую ценность этих инструментов. Эмпирические данные и успешные кейсы из российского и зарубежного опыта убедительно подтвердили повышение результативности обучения, особенно в стереометрии, и значительное улучшение усвоения материала благодаря ВМЛ.

Вместе с тем, исследование выявило ряд существующих вызовов и ограничений, таких как отсутствие непосредственного контакта с реальными объектами, дороговизна разработки, разрозненность систем и недостаточная подготовка педагогов. Преодоление этих барьеров требует скоординированных усилий со стороны образовательных учреждений, разработчиков программного обеспечения и органов управления образованием.

Перспективы развития виртуальных математических лабораторий неразрывно связаны с их потенциалом в персонализации и адаптации математического образования. Возможность обеспечения индивидуального темпа обучения, адаптивных образовательных траекторий и интеграции с передовыми технологиями (например, в инженерном образовании и IoT) открывает новые горизонты для подготовки высококвалифицированных специалистов и формирования полноценной функциональной грамотности у обучающихся.

Таким образом, виртуальные математические лаборатории представляют собой не просто вспомогательное средство, а фундаментальный элемент современной образовательной системы, способный качественно повысить эффективность обучения и обеспечить достижение планируемых результатов в соответствии с требованиями ФГОС. Дальнейшие исследования в этой области должны быть направлены на разработку унифицированных методических рекомендаций, создание интегрированных платформ и совершенствование программ подготовки педагогов, чтобы максимально реализовать весь дидактический потенциал ВМЛ.

Список использованной литературы

1. Малыгин Е.Н., Краснянский М.Н., Карпушкин С.В. и др. Новые информационные технологии в открытом инженерном образовании: Учебное пособие. М.: Машиностроение-1, 2003.
2. Пейч Л.И., Точилин Д.А., Поллак Б.П. LabVIEW для новичков и специалистов. М.: Горячая линия-Телеком, 2004.
3. LabVIEW 7 Express. Вводный курс. М.: ПриборКомплект, 2003.
4. Федеральный центр информационных образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. URL: http://fcior.edu.ru (дата обращения: 27.10.2025).
5. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. URL: http://school-collection.edu.ru (дата обращения: 27.10.2025).
6. Ермакова Т. А., Гусева Е. Н. Использование компьютерного моделирования в преподавании геометрии // Наука.ру. 2016. № 6. URL: https://web.snauka.ru/issues/2016/06/68886 (дата обращения: 27.10.2025).
7. Ганеева А. Р., Овчинникова А. С., Аркатова А. А. Применение динамической программы «Geogebra» на уроках математики // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-dinamicheskoy-programmy-geogebra-na-urokah-matematiki (дата обращения: 27.10.2025).
8. Бойко Л. В., Лобанова Е. М., Терехова М. Д. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММЫ GEOGEBRA НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-programmy-geogebra-na-urokah-matematiki (дата обращения: 27.10.2025).
9. Никулина Т. В., Стариченко Е. Б. Виртуальные образовательные лаборатории: принципы и возможности // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/virtualnye-obrazovatelnye-laboratorii-printsipy-i-vozmozhnosti (дата обращения: 27.10.2025).
10. Попов С. В. ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА «ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА» КАК СРЕДА РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОМПЕТЕНЦИЙ // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/informatsionnaya-sistema-zhivaya-matematika-kak-sreda-razvitiya-matematicheskih-kompetentsiy (дата обращения: 27.10.2025).
11. Шпилев Е. М. Применение программного комплекса matlab для решения математических задач // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-programmnogo-kompleksa-matlab-dlya-resheniya-matematicheskih-zadach (дата обращения: 27.10.2025).
12. Мамбетова Н. С., Анисимова Т. И. Использование цифровых ресурсов на уроках геометрии // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-tsifrovyh-resursov-na-urokah-geometrii (дата обращения: 27.10.2025).
13. Сидорова Е. Н. Виртуальная лаборатория как метод обучения математике // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/virtualnaya-laboratoriya-kak-metod-obucheniya-matematike (дата обращения: 27.10.2025).
14. Уразаева Л. Ю., Манюкова Н. В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ GEOGEBRA ПРИ ОБУЧЕНИИ КОМПЬЮТЕРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-geogebra-pri-obuchenii-kompyuternomu-modelirovaniyu (дата обращения: 27.10.2025).
15. Сениченков Ю. Б. ВИРТУАЛЬНЫЕ ЛАБОРАТОРИИ: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ, РАЗРАБОТКА, СТАНДАРТИЗАЦИЯ // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/virtualnye-laboratorii-ispolzovanie-razrabotka-standartizatsiya (дата обращения: 27.10.2025).
16. Анисимова Г. Д., Евсеева С. И., Мышлявцева М. Д. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ MATLAB ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ. ЧАСТЬ I. ОмГТУ, 2017. URL: http://ebooks.omgtu.ru/files/docs/17697/%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20MATLAB%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8.%20%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20I.pdf (дата обращения: 27.10.2025).
17. Лазарева Т. И., Мартынова И. В., Ракова И. К. Решение задач в системе Matlab: практическое пособие. СПб.: БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова, 2018. URL: https://elib.voenmeh.ru/show_item.php?id=3839 (дата обращения: 27.10.2025).
18. Бородин Г. А., Титов В. А., Маслякова И. Н. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ MATLAB ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Фундаментальные исследования. 2016. № 7. URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40920 (дата обращения: 27.10.2025).
19. Суходолова Е. В. ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И РЕСУРСЫ В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СРЕДЫ GEOGEBRA // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/tsifrovye-obrazovatelnye-tehnologii-i-resursy-v-obuchenii-geometrii-na-primere-primeneniya-dinamicheskoy-sredy-geogebra (дата обращения: 27.10.2025).
20. Шабат Г. Б. «Живая математика» и математический эксперимент // Вопросы образования. 2015. № 2. С. 268-285. URL: https://vo.hse.ru/article/view/14879 (дата обращения: 27.10.2025).
21. В «Московской электронной школе» появились новые виртуальные лаборатории по математике и физике // mos.ru. 2022. 20 июля. URL: https://www.mos.ru/news/item/100063073/ (дата обращения: 27.10.2025).
22. Ларин С. В. Методика обучения математике: компьютерная анимация в среде Geogebra: учебное пособие для вузов. М.: Юрайт, 2023. URL: https://urait.ru/bcode/540009 (дата обращения: 27.10.2025).
23. Жданов А. А. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ВИРТУАЛЬНЫХ ЛАБОРАТОРИЙ НА ЭТАПЕ ОТКРЫТИЯ НОВЫХ ЗНАНИЙ У ШКОЛЬНИКОВ В УСЛОВИЯХ ОРГАНИЗАЦИИ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ // CyberLeninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/rekomendatsii-po-ispolzovaniyu-virtualnyh-laboratoriy-na-etape-otkrytiya-novyh-znaniy-u-shkolnikov-v-usloviyah-organizatsii-distantsionnogo-obucheniya-matematike (дата обращения: 27.10.2025).