Задача о раскрое материала: от математических основ до прикладной оптимизации в промышленности, торговле и общественном питании

В мире, где ресурсы становятся все более ценными, а конкуренция обостряется, вопрос их рационального использования выходит на первый план. Ежегодно промышленные предприятия, торговые сети и заведения общественного питания сталкиваются с колоссальными потерями материалов и сырья, что приводит к удорожанию продукции, снижению рентабельности и негативному влиянию на окружающую среду. В этом контексте задача о раскрое материала становится не просто математическим упражнением, а ключевым инструментом для достижения устойчивого развития и повышения эффективности любого производственного или обслуживающего процесса. Ее актуальность подчеркивается не только стремлением к экономии, но и глобальными инициативами, такими как Цели устойчивого развития ООН, направленные на сокращение отходов.

Настоящий реферат призван всесторонне деконструировать эту фундаментальную проблему. Мы начнем с теоретических основ, погрузимся в математические формулировки, рассмотрим классические и современные алгоритмические подходы, а затем перейдем к практическим примерам применения в традиционных отраслях промышленности. Особое внимание будет уделено новаторскому исследованию адаптации принципов оптимизации раскроя в сферах торговли и общественного питания, где, казалось бы, прямая аналогия отсутствует, но потребность в рациональном управлении ресурсами не менее остра. Завершит работу обзор специализированного программного обеспечения и анализ экономического эффекта, который могут принести оптимизационные решения, а также сложности их реализации. Цель — не просто описать, а показать глубокую взаимосвязь между абстрактной математикой и осязаемыми экономическими и экологическими выгодами в реальном мире.

Теоретические основы задачи о раскрое материала

Определение и сущность задачи о раскрое

На первый взгляд, идея раскроя может показаться тривиальной: взять большой кусок материала и разрезать его на части нужного размера. Однако за этой кажущейся простотой скрывается одна из самых сложных и многогранных проблем прикладной математики — Задача о раскрое материала (Cutting Stock Problem). По своей сути, это классическая оптимизационная задача, относящаяся к классу NP-полных задач комбинаторной оптимизации. Ее фундаментальная цель — найти наиболее рациональный способ использования исходного материала (будь то рулон, лист, пруток или другой стандартный полуфабрикат) для получения требуемого комплекта заготовок или деталей. При этом ключевым критерием оптимизации чаще всего выступает минимизация отходов, то есть той части материала, которая остается неиспользованной после раскроя, или максимизация выхода полезной продукции.

Суть задачи заключается в поиске оптимальных «карт раскроя» – шаблонов, определяющих, как именно следует разрезать исходный материал, чтобы удовлетворить заданный спрос на различные типы заготовок. Эта проблема является краеугольным камнем эффективного производства во многих отраслях, поскольку даже небольшое снижение отходов может привести к существенной экономии ресурсов и снижению себестоимости продукции, а игнорирование таких возможностей ведет к прямым убыткам и снижению конкурентоспособности.

Исторический контекст и вклад Л.В. Канторовича

История задачи о раскрое неразрывно связана с именем выдающегося советского математика и экономиста, лауреата Нобелевской премии, Леонида Витальевича Канторовича. Его вклад в развитие теории оптимального раскроя и, более широко, линейного программирования, трудно переоценить. Именно Канторович, в 1938 году, консультируя фанерный трест по проблеме наиболее эффективного использования лущильных станков, впервые четко сформулировал задачу, которая легла в основу теории линейного программирования. Эта задача заключалась в максимизации линейной формы многих переменных при наличии линейных ограничений – фундаментальная концепция, ставшая основой для последующих разработок в области оптимизации.

В 1951 году, совместно с В.А. Залгаллером, Канторович опубликовал знаковую книгу «Расчет рационального раскроя промышленных материалов». Этот труд обобщил обширный опыт применения методов оптимальных расчетов для задач промышленного раскроя, накопленный еще в докомпьютерную эпоху. Работа Канторовича и Залгаллера не только заложила теоретический фундамент, но и показала практическую применимость математических методов для решения реальных производственных задач, подчеркнув, что даже без мощных вычислительных машин принципы оптимизации могут приносить ощутимую экономическую выгоду. Таким образом, Канторович не просто описал проблему, но и предложил новаторские подходы к ее решению, определив вектор развития целой научной дисциплины.

Классификация задач раскроя по размерности и критериям оптимизации

Задачи раскроя, несмотря на единую концептуальную основу, отличаются по своей сложности и специфике в зависимости от размерности обрабатываемого материала. Традиционно выделяют три основные категории:

• Одномерный раскрой (1D): Этот тип задач связан с резкой линейных материалов, имеющих значительную длину и малую ширину/толщину. Примеры включают:
  • Прутки и трубы: Нарезка металлических прутков, пластиковых труб на отрезки требуемой длины.
  • Кабели и провода: Размотка и нарезка кабелей для электромонтажных работ.
  • Рулонные материалы: Раскрой бумаги, ткани, полимерных пленок или фольги из больших рулонов на более узкие или короткие полосы.
  • Стальной прокат: Резка арматуры и сортового проката.

  В основе 1D раскроя лежит поиск оптимальных шаблонов резки для минимизации остатков от стандартных длин исходных материалов.

• Двумерный раскрой (2D): Эти задачи касаются раскроя плоских, листовых материалов. Они значительно сложнее одномерных из-за необходимости учитывать не только длину, но и ширину заготовок, а также их взаимное расположение на листе. Типичные сферы применения:
  • Мебельное производство: Раскрой плитных материалов, таких как ДСП, МДФ, фанера, для изготовления деталей мебели.
  • Швейное производство: Раскрой тканей для пошива одежды.
  • Стекольное производство: Вырезка стекол различной формы и размера из больших листов.
  • Металлопрокат: Раскрой плоских металлических листов.

  Оптимизация здесь подразумевает поиск такого размещения деталей на листе, чтобы минимизировать количество обрезков.

• Трехмерный раскрой (3D): Это наиболее сложные задачи, возникающие при размещении объемных объектов в ограниченном пространстве контейнеров или упаковок. Хотя они не всегда напрямую связаны с «резкой» в традиционном смысле, их математическая постановка и принципы оптимизации тесно переплетаются с задачами раскроя. Примеры:
  • Логистика и транспортировка: Оптимальное размещение грузов различной формы и размера в кузове грузовика, железнодорожном вагоне или морском контейнере для максимизации использования объема.
  • Упаковка: Размещение продукции в коробках или на паллетах.

  Здесь целью является максимальное заполнение объема или минимизация количества используемых контейнеров.

Помимо размерности, задачи раскроя могут быть классифицированы по критериям оптимизации. Хотя минимизация отходов является наиболее очевидным и часто используемым критерием, существуют и другие, не менее важные:

• Максимизация общего числа произведенного товара: Актуально, когда спрос превышает предложение, и цель состоит в получении как можно большего количества готовой продукции из доступного материала.
• Минимизация числа разрезаемых кусков исходного материала: Позволяет сократить время на подготовительные операции и уменьшить износ оборудования.
• Минимизация числа смен ножей (для одномерного раскроя): Важный технологический критерий, особенно для автоматизированных линий, где каждая смена инструмента ведет к простоям и дополнительным затратам. Этот критерий является частным случаем обобщённой задачи коммивояжёра, поскольку требует оптимизации последовательности операций.
• Минимизация времени производства: Учитывает не только отходы, но и скорость обработки, что может быть критично в условиях жестких сроков.
• Минимизация затрат на логистику и хранение остатков: Когда оставшиеся обрезки имеют потенциальную ценность и могут быть использованы в дальнейшем, их хранение и перемещение также генерируют издержки.

Выбор критерия оптимизации напрямую зависит от специфики производства, стоимости материала, технологических возможностей и экономических целей предприятия.

Математические формулировки и моделирование задачи о раскрое

Общая математическая постановка одномерной задачи раскроя

В основе задачи о раскрое лежит строгая математическая формализация, которая позволяет перевести реальные производственные проблемы в язык, понятный компьютерам и оптимизационным алгоритмам. Чаще всего задача о раскрое сводится к задаче целочисленного линейного программирования, что подчеркивает ее комбинаторную природу и требование к решениям быть дискретными (например, нельзя разрезать материал 0,5 раза).

Рассмотрим стандартную формулировку одномерной задачи раскроя (cutting stock problem) для минимизации количества используемого исходного материала. Представим, что у нас есть m различных заказов, и для каждого заказа j требуется q_j кусков. Задача заключается в том, чтобы найти набор «карт раскроя» (шаблонов, описывающих, как разрезать исходный материал), которые удовлетворят все заказы с минимальным использованием исходных рулонов или прутков.

Математическая формулировка:

Пусть:

• L — длина стандартного исходного материала (например, рулона, прутка).
• l_i — длина требуемой заготовки i, для i = 1, …, m.
• d_i — требуемое количество заготовок i (спрос), для i = 1, …, m.
• a_ij — количество заготовок типа i, получаемых по j-й карте раскроя (шаблону). Каждая карта j должна быть физически реализуемой, то есть Σ^m_i=1 a_ij · l_i ≤ L.
• x_j — количество раз, которое используется j-я карта раскроя, для j = 1, …, J (где J — общее количество всех теоретически возможных карт раскроя).

Целевая функция (минимизация общего числа используемых исходных материалов):
Минимизировать Σ^J_j=1 x_j

Ограничения:

1. Удовлетворение спроса на каждый тип заготовки: Общее количество заготовок каждого типа, полученных со всех используемых карт раскроя, должно быть не меньше требуемого спроса:
   Σ^J_j=1 a_ijx_j ≥ d_i, для i = 1, …, m
2. Целочисленность и неотрицательность переменных: Количество использования каждой карты раскроя должно быть целым и неотрицательным числом, поскольку нельзя использовать карту «половину» раза:
   x_j ≥ 0 и x_j — целое число, для j = 1, …, J

Эта модель позволяет найти оптимальное сочетание карт раскроя. Важно отметить, что количество возможных карт раскроя J может быть огромным, что делает прямой перебор всех вариантов неэффективным для крупномасштабных задач. Это обстоятельство привело к развитию специализированных алгоритмов, таких как метод генерации столбцов Гилмора и Гомори, о котором речь пойдет ниже.

Помимо минимизации количества исходных материалов, целевая функция может быть сформулирована иначе, например, как:

• Минимизация суммарных отходов: Min Σ^J_j=1 (L — Σ^m_i=1 a_ijl_i) x_j
• Максимизация общего числа произведенного товара: Если спрос на продукцию не ограничен, и целью является максимальный выпуск.

Выбор целевой функции определяется конкретными экономическими задачами предприятия.

Особенности математического моделирования для двумерного и трехмерного раскроя

Когда речь заходит о двумерном (плитные материалы) или трехмерном (объемные объекты) раскрое, математическое моделирование становится значительно более сложным. Здесь уже недостаточно просто определить длины заготовок; необходимо учесть их форму, ориентацию и взаимное расположение на исходном листе или в объеме.

Математическая постановка задачи для плитных материалов заключается в размещении плоских геометрических объектов (деталей) на листах заданного размера таким образом, чтобы минимизировать отходы материала. Ключевые особенности моделирования включают:

1. Геометрические ограничения:
   • Принадлежность к области размещения: Каждая заготовка должна полностью располагаться в пределах исходного листа.
   • Взаимное непересечение: Заготовки не должны накладываться друг на друга.
   • Ориентация: Некоторые детали могут быть размещены только в определенной ориентации (например, из-за направления волокон в дереве или рисунка на ткани), в то время как другие могут быть повернуты на 90, 180 или 270 градусов.
   • Координаты размещения: Необходимо определить точные координаты (x, y) для каждой детали на листе.
2. Технологические ограничения:
   • Максимальная/минимальная ширина отрезаемой полосы: Ограничения, накладываемые оборудованием (например, пилой).
   • Необходимость предварительной обрезки края листа: Многие материалы требуют удаления кромки для получения ровных и качественных краев.
   • Типы резов: Гильотинный раскрой (прямые резы от края до края) или фигурный раскрой (резание произвольных контуров, например, с помощью лазера или фрезы).
   • Число резов: Минимизация количества резов для сокращения времени обработки.

Моделирование для двумерного раскроя часто использует двоичные переменные для определения наличия или отсутствия детали в определенной позиции, а также для учета ее ориентации. Целевая функция может быть направлена на минимизацию площади отходов или минимизацию количества используемых листов.

Трехмерные задачи раскроя (упаковки) расширяют эти концепции на три измерения, добавляя координату z и объемные геометрические ограничения. Здесь необходимо учесть:

• Габариты объектов и контейнеров: Размеры каждого предмета и доступного пространства.
• Ориентация: Возможность поворота объектов по трем осям.
• Устойчивость: В некоторых случаях необходимо учитывать центр тяжести и устойчивость укладки.

Математическое моделирование этих задач требует применения более сложных методов, часто включающих комбинацию линейного программирования, эвристических подходов и геометрических алгоритмов для проверки допустимости размещения.

В целом, чем выше размерность задачи и чем больше ограничений, тем сложнее ее математическая формулировка и тем более требовательными становятся алгоритмы для нахождения оптимального решения.

Методы и алгоритмы решения задач о раскрое

Решение задач о раскрое, особенно в их многомерных вариациях, представляет собой серьезную вычислительную проблему. Из-за своей NP-полноты (для многих форм задачи) найти оптимальное решение за разумное время становится невозможно по мере увеличения масштаба задачи. Это привело к развитию целого спектра методов — от строгих оптимизационных до приближенных эвристических.

Классические оптимизационные методы

Исторически первыми и наиболее фундаментальными подходами к решению задач раскроя стали методы, основанные на математическом программировании.

1. Линейное программирование (ЛП) и симплекс-метод:
   Как было показано выше, задача о раскрое может быть сформулирована как задача целочисленного линейного программирования. Если временно снять требование целочисленности переменных x_j (то есть разрешить дробное использование карт раскроя), то задача превращается в классическую задачу линейного программирования, для решения которой широко используется симплекс-метод.
   • Принцип: Симплекс-метод ищет оптимальное решение, перемещаясь по вершинам многогранника допустимых решений. Он является одним из наиболее мощных и универсальных алгоритмов для ЛП.
   • Ограничения: Полученное решение может быть дробным, что неприемлемо в реальном производстве (нельзя использовать «половину» карты раскроя). Для получения целочисленного решения применяют методы целочисленного линейного программирования (например, метод ветвей и границ, или метод отсечений Гомори).
2. Динамическое программирование (ДП):
   Метод динамического программирования является мощн��м инструментом для решения задач, которые могут быть разбиты на перекрывающиеся подзадачи и обладают оптимальной подструктурой. Задача о раскрое, в частности, ее одномерная форма, тесно связана с задачей о ранце (Knapsack Problem), для которой ДП является одним из хорошо известных методов решения.
   • Принцип ДП для одномерного раскроя: Для заданного куска исходного материала и набора требуемых заготовок ДП строит оптимальное решение, рекурсивно находя наилучший способ заполнения текущей длины материала.
   • Рекуррентные соотношения: Метод динамического программирования для одномерного раскроя может быть представлен как многошаговый процесс последовательного выбора отдельных заготовок. Пусть f(l) — это минимальное количество отходов, которое можно получить, разрезав кусок длиной l. Тогда:
     f(l) = min_i (f(l — l_i) + отходы от резки l_i),
     где l_i — длина одной из требуемых заготовок. Базовый случай f(0) = 0.
   • Применимость: Эффективен для одномерных задач с относительно небольшим количеством типов заготовок и умеренной длиной исходного материала. Для многомерных задач или очень больших чисел заготовок вычислительная сложность ДП может стать чрезмерной.

Метод генерации столбцов Гилмора и Гомори

Как уже упоминалось, прямое перечисление всех возможных карт раскроя J для одномерной задачи может привести к экспоненциальному росту числа переменных, делая задачу неразрешимой. Чтобы преодолеть эту проблему, в 1960-х годах П. Гилмор и Р. Гомори предложили элегантный и очень эффективный метод, известный как метод генерации столбцов.

• Принцип работы: Вместо того чтобы генерировать все возможные карты раскроя заранее, метод Гилмора и Гомори работает итеративно. Он начинает с небольшого набора «базовых» карт раскроя. На каждой итерации решается задача линейного программирования с текущим набором карт. Если полученное решение не является оптимальным, алгоритм ищет новую, «выгодную» карту раскроя, которая может улучшить целевую функцию. Эта «выгодная» карта формируется путем решения вспомогательной подзадачи (так называемой «задачи о ранце»), которая ищет шаблон с наибольшим потенциалом для сокращения отходов.
• Задачи о ранце: Подзадача, которая генерирует новый столбец (карту раскроя), представляет собой вариацию задачи о ранце: найти такую комбинацию заготовок, которая максимизирует «прибыль» (определяемую двойственными переменными основной задачи) при условии, что их общая длина не превышает L.
• Преимущества: Метод генерации столбцов позволяет получить (дробно) оптимальное решение без предварительного перечисления всех возможных карт, что делает его чрезвычайно эффективным для крупномасштабных задач одномерного раскроя. После получения дробного решения, для получения целочисленного, применяются методы целочисленного программирования, например, метод ветвей и границ.

Эвристические и метаэвристические алгоритмы

Несмотря на эффективность оптимизационных методов, для задач высокой вычислительной сложности (особенно для 2D и 3D раскроя, а также для 1D с очень большим числом типов заготовок и исходных материалов) точное решение часто оказывается неприемлемым по времени. В таких случаях на помощь приходят эвристические алгоритмы.

• Эвристические алгоритмы: Это методы, которые не гарантируют нахождение абсолютно оптимального решения, но предоставляют достаточно хорошее решение за разумное время. Они основаны на эмпирических правилах или интуитивных подходах, которые хорошо работают на практике. Примеры простых эвристик:
  • First Fit (Первое подходящее): Разместить деталь в первом доступном месте.
  • Best Fit (Лучшее подходящее): Разместить деталь в месте, которое оставляет наименьший остаток.
  • Next Fit (Следующее подходящее): Разместить деталь рядом с предыдущей.
  • Жадные алгоритмы: В каждом шаге делается локально оптимальный выбор.
• Метаэвристические алгоритмы: Это стратегии более высокого уровня, которые управляют процессом поиска решения. Они объединяют базовые эвристические методы и часто вдохновлены природными процессами или физическими явлениями. Их цель — эффективно исследовать пространство поиска, избегая застревания в локальных оптимумах и находя решения, близкие к глобальному оптимуму. Примеры:
  • Имитация отжига (Simulated Annealing): Аналогичен процессу охлаждения металлов. Алгоритм принимает худшие решения с некоторой вероятностью, что позволяет ему выбираться из локальных оптимумов. Вероятность принятия худших решений постепенно снижается.
  • Табу-поиск (Tabu Search): Механизм памяти, который запрещает (делает «табу») возвращение к недавно посещенным решениям или их окрестностям на определенное число итераций, тем самым способствуя исследованию новых областей пространства поиска.
  • Генетические алгоритмы (Genetic Algorithms): Вдохновлены принципами естественного отбора. Создается популяция случайных решений, которые затем «скрещиваются» (оператор кроссовера) и «мутируют» (оператор мутации) для создания новых, потенциально лучших решений. Лучшие решения выживают и передают свои «гены» следующему поколению.
  • Алгоритмы оптимизации муравьиной колонии (Ant Colony Optimization, ACO): Основаны на поведении муравьев, ищущих кратчайший путь к пище. Виртуальные муравьи оставляют феромоновые следы, которые влияют на выбор пути других муравьев, постепенно приводя к коллективному нахождению оптимального маршрута (в нашем случае — оптимального раскроя).

Гиперэвристические алгоритмы

Развитие эвристических и метаэвристических подходов привело к появлению гиперэвристических алгоритмов. Это относительно новое направление в оптимизации, которое поднимает уровень абстракции еще выше.

• Концепция: Гиперэвристика — это управляющая система, которая не ищет решения напрямую, а выбирает и комбинирует уже существующие (низкоуровневые) эвристики или метаэвристики для решения конкретной задачи.
• «Эвристики для выбора эвристик»: Идея заключается в том, чтобы найти наиболее эффективный метод или последовательность методов для конкретного экземпляра задачи. Например, для одного типа раскроя лучше подойдет генетический алгоритм, для другого — имитация отжига, а для третьего — комбинация жадных эвристик. Гиперэвристика учится выбирать лучшие из них.
• Преимущества: Позволяют создавать более универсальные и адаптивные системы оптимизации, которые могут эффективно работать с широким спектром задач без необходимости ручной настройки конкретного алгоритма под каждый новый сценарий. Это особенно ценно для задач, где условия постоянно меняются.

Таким образом, выбор метода для решения задачи о раскрое зависит от ее размерности, сложности, требований к точности решения и доступных вычислительных ресурсов. Часто на практике применяются гибридные подходы, сочетающие элементы различных методов для достижения наилучшего компромисса между точностью и временем выполнения.

Применение задачи о раскрое в отраслях промышленности

Задача о раскрое, являясь краеугольным камнем производственной оптимизации, встречается во множестве промышленных секторов, где экономное использование сырья напрямую влияет на себестоимость продукции и конкурентоспособность предприятия. От лесопилок до высокотехнологичных производств — везде, где материал необходимо разделить на части, актуализируются принципы оптимального раскроя.

Одномерный раскрой: примеры из деревообработки, металлопроката, кабельной промышленности

Одномерный раскрой, характеризующийся обработкой линейных материалов, является одним из наиболее распространенных типов задач в тяжелой и легкой промышленности.

• Деревообработка: На лесопилках и мебельных фабриках из длинных бревен и брусьев необходимо напилить доски и заготовки определенных размеров. Задача 1D раскроя здесь крайне важна для минимизации отходов древесины, которая является ценным и часто дорогим ресурсом. Например, из стандартного шестиметрового бруса нужно получить комплекты деталей для столов, стульев, шкафов. Оптимизационное ПО позволяет генерировать карты раскроя, которые учитывают не только длины, но и дефекты древесины (сучки, трещины), чтобы исключить их из полезных заготовок.
• Металлопрокат: Резка стальных прутков, труб, арматуры, профилей для строительства, машиностроения и других отраслей. В металлопрокатной промышленности оптимизация раскроя является критически важной для дорогостоящего сортового проката, позволяя значительно сократить издержки и повысить производительность. Предприятия стремятся получить максимальное количество необходимых деталей из стандартных хлыстов или рулонов, минимизируя обрезки. Учитываются также ограничения по допустимой длине остатков, которые могут быть отправлены на переплавку или использованы для мелких деталей.
• Кабельная промышленность: Размотка и нарезка электрических кабелей, оптических волокон, проводов различного сечения. Заказчики могут требовать отрезки специфической длины, и задача состоит в том, чтобы из стандартных бухт или рулонов получить их с наименьшими потерями. Это особенно важно для дорогих и высокотехнологичных кабелей.
• Производство полимерных пленок и бумаги: В этих отраслях рулоны огромной ширины и длины разрезаются на более узкие рулоны или листы заданных размеров. Минимизация отходов здесь критична, так как это влияет на стоимость конечной продукции, будь то упаковочные материалы, газетная бумага или специальное покрытие.

Двумерный раскрой: мебельное, швейное и стекольное производства

Двумерный раскрой, связанный с обработкой листовых материалов, представляет собой более сложную задачу, где необходимо оптимизировать размещение фигур на плоскости.

• Мебельное производство: Раскрой плитных материалов (ДСП, МДФ, фанера) является одной из самых ярких иллюстраций 2D раскроя. Детали для шкафов, столов, кухонных гарнитуров имеют различные прямоугольные формы. Цель — разместить их на стандартных листах так, чтобы получить максимальное количество деталей с минимальными отходами. Современные программы учитывают также направление волокон (текстуры), если это важно для эстетики изделия, а также ограничения на использование мелких обрезков.
• Швейное производство: Раскрой ткани для пошива одежды. Здесь фигуры (выкройки) имеют сложные, непрямоугольные очертания. Оптимизация раскроя ткани (составление «раскладок») критична, так как ткань является одним из самых дорогих компонентов в стоимости готового изделия. Автоматизированные системы помогают размещать выкройки с учетом направления долевой нити, рисунка ткани и минимизации межлекальных выпадов (обрезков между выкройками).
• Стекольное производство: Вырезка стекол для окон, дверей, мебели или автомобилей. Стекло — хрупкий и дорогостоящий материал. Оптимальный раскрой позволяет минимизировать отходы и риск брака. Часто в стекольной промышленности применяются гильотинные резы (прямые, от края до края), что накладывает дополнительные ограничения на алгоритмы оптимизации.
• Металлообработка: Раскрой листового металла для изготовления корпусов, деталей машин, строительных конструкций. Особенно важен для дорогостоящих сплавов. На машиностроительных предприятиях, где раскрой листового металла является основным технологическим процессом, требуется принимать управленческие решения, направленные на увеличение коэффициента использования листового металла. Это способствует существенному снижению издержек.

Трехмерные задачи раскроя и упаковки

Хотя термин «раскрой» в 3D контексте не всегда ассоциируется с резкой, принципы оптимизации использования объема остаются теми же. Трехмерные задачи возникают при:

• Упаковке и логистике: Размещение объектов различной формы и размера (коробок, паллет, контейнеров) в ограниченном объеме транспортного средства или складского помещения. Цель — максимизировать загрузку или минимизировать количество рейсов/контейнеров. Здесь учитываются не только габариты, но и вес, хрупкость, порядок загрузки/выгрузки.
• Складское хранение: Оптимальное размещение товаров на полках и стеллажах для максимального использования складского пространства.

Технологические и геометрические ограничения в промышленных задачах

Практическая реализация задач о раскрое в промышленности часто осложняется необходимостью учета множества дополнительных факторов, которые выходят за рамки чистой математической оптимизации.

• Особенности оборудования: Различные станки имеют свои ограничения:
  • Число ножей в мотальных машинах: Ограничивает количество одновременно нарезаемых полос.
  • Минимальный/максимальный размер реза: Некоторые станки не могут резать слишком короткие или слишком узкие заготовки.
  • Типы резов: Гильотинный (только прямые резы от края до края) или фигурный (возможность резки по произвольному контуру).
  • Скорость резки, время смены инструмента: Влияет на общую производительность.
• Технологические требования:
  • Направление текстуры/волокон/рисунка: В деревообработке и швейном производстве критично для качества и эстетики.
  • Необходимость обрезки краев: Для получения ровных кромок.
  • Допустимые дефекты материала: Их исключение из полезных заготовок.
• Организационные факторы:
  • Количество и общая длина выполняемых резов: Влияет на износ инструмента и время работы.
  • Количество поворотов пакета листов/материала: Каждый поворот — это дополнительная операция и потенциальные задержки.
  • Требования заказчиков: Специфические пожелания к качеству кромки, упаковке, маркировке.
  • Использование остатков: Возможность дальнейшего использования обрезков для других заказов.

  Эффективность методов автоматического проектирования раскроя существенно зависит от этих условий задачи (ассортимента заготовок, их количественных характеристик, размеров материала). Игнорирование этих ограничений может привести к тому, что математически оптимальное решение будет нереализуемым или неэффективным на практике.

Адаптация принципов оптимизации раскроя в торговле и общественном питании

На первый взгляд, задача о раскрое материала кажется прерогативой производственных цехов, где рулоны и листы превращаются в детали. Однако если взглянуть глубже, то фундаментальные принципы, лежащие в ее основе – рациональное использование ресурсов, минимизация отходов и максимизация полезного выхода – находят свое прямое применение даже в таких, казалось бы, далеких от промышленности сферах, как торговля и общественное питание. Здесь «материалом» выступают продукты, сырье, упаковка, а «раскроем» – процессы их закупки, разделки, хранения и использования.

Концептуальное применение: отходы сырья и оптимизация процессов

В торговле и общественном питании прямая математическая задача о раскрое материала, как, например, резка листа металла, не формулируется в том же виде. Однако здесь остро стоит проблема оптимизации производственных ресурсов, которая направлена на извлечение максимальной прибыли путем планомерного и рационального управления затратами. Именно здесь принципы, заложенные в задаче о раскрое, трансформируются в более широкую концепцию эффективного управления сырьем и операционными процессами.

Основные области концептуального применения включают:

• Оптимизация закупок сырья: Приобретение продуктов в таких объемах и форматах, которые минимизируют отходы при последующей обработке. Например, покупка мяса в определенных отрубах, которые легче и выгоднее разделывать, или овощей стандартных размеров, что упрощает нарезку.
• Рациональная разделка и первичная обработка: На кухнях ресторанов или в цехах супермаркетов повара и мясники ежедневно сталкиваются с «раскроем» продуктов. Как разделать тушу мяса или рыбу, чтобы получить максимальное количество порционных кусков и минимизировать неликвидные отходы? Это прямая аналогия 1D или 2D раскроя, только с биологическим материалом.
• Планирование меню: Разработка меню таким образом, чтобы использовать одни и те же основные ингредиенты для разных блюд, сокращая объем закупок и минимизируя остатки.
• Управление запасами: Эффективное хранение продуктов, чтобы избежать порчи и истечения срока годности, что также является формой «отходов».

Экономическое и экологическое значение сокращения пищевых отходов

Актуальность применения принципов оптимизации в общественном питании и торговле становится особенно очевидной, когда мы обращаемся к статистике пищевых отходов. Это не просто экономическая проблема, но и серьезный экологический вызов.

В 2022 году в мире было выброшено около 1,05 миллиарда тонн продуктов питания. Из это��о колоссального объема 28% пришлось на предприятия общественного питания и рестораны. Это эквивалентно примерно 132 кг пищевых отходов на душу населения в год.

Ситуация в России не менее тревожна: ежегодно образуется около 18 млн тонн пищевых отходов, что составляет в среднем 88 кг на каждого жителя. По оценкам, доля пищевых отходов предприятий общественного питания на полигонах иногда достигает 20–25% от всей массы отходов. Эти цифры шокируют и подчеркивают острую необходимость в изменениях, ведь каждый выброшенный килограмм — это не только упущенная прибыль, но и невосполнимый ресурс, использованный на производство этого продукта.

Осознавая остроту проблемы, Организация Объединенных Наций включила сокращение пищевых отходов в свои Цели устойчивого развития (ЦУР). Задача 12.3 ЦУР ООН предусматривает сокращение вдвое объема пищевых отходов на душу населения в мире на розничном и потребительском уровнях, а также сокращение потерь продовольствия в цепочках поставок к 2030 году. Это делает внедрение оптимизационных подходов не только экономически выгодным, но и социально ответственным шагом для любого бизнеса в сфере HoReCa и ритейла.

Сокращение пищевых отходов напрямую ведет к экономии ресурсов (воды, энергии, земли, затраченных на производство продуктов), снижению выбросов парниковых газов от разложения органики на свалках и уменьшению нагрузки на экологию.

Методы оптимизации расхода продуктов и закупочной деятельности

Для эффективной борьбы с отходами и повышения рентабельности предприятия общественного питания и торговли могут использовать ряд методов, основанных на принципах оптимизации:

1. Оптимизация меню:
   • «Кросс-использование» ингредиентов: Разработка блюд таким образом, чтобы одни и те же базовые ингредиенты использовались в нескольких позициях меню. Это уменьшает разнообразие закупок и вероятность порчи специфических продуктов.
   • Порционирование: Точное определение размеров порций, чтобы минимизировать возвраты и недоеденные блюда.
   • Сезонное меню: Использование сезонных продуктов, которые обычно дешевле и свежее, что снижает затраты и риски порчи.
2. Планирование бюджета и управление запасами:
   • Принцип FIFO (First In, First Out): Строгое соблюдение правила «первым пришел – первым ушел» при хранении продуктов. Это гарантирует использование старых запасов до истечения срока годности, минимизируя потери.
   • Точное прогнозирование спроса: Использование аналитических инструментов для предсказания объемов продаж и, соответственно, необходимых закупок, чтобы избежать излишков или недостатка товаров.
   • Регулярная инвентаризация: Позволяет своевременно выявлять излишки и неликвиды, принимать меры по их реализации.
3. Обучение персонала:
   • Правильное хранение продуктов: Обучение сотрудников оптимальным условиям и срокам хранения для каждого типа продукта.
   • Эффективная разделка и нарезка: Тренинги по минимизации отходов при первичной обработке сырья (например, как разделать овощи или мясо с наименьшими потерями).
   • Контроль порций: Обучение точному соблюдению рецептуры и порционных стандартов.
4. Оптимизация закупочной деятельности:
   • Выбор поставщиков: Работа с надежными поставщиками, предлагающими качественные продукты по конкурентным ценам и оптимальными условиями доставки.
   • Пересмотр условий закупок: Регулярный анализ договоров с поставщиками для поиска более выгодных цен и условий.
   • Планирование объемов закупок: Тщательное определение необходимого количества продуктов, чтобы избежать как дефицита, так и излишков.
   • Снижение излишков: Избегание закупок «про запас», если нет четкого прогноза их использования, что способствует снижению затрат на хранение и рисков порчи.
5. Автоматизация и цифровизация закупочных процессов:
   • Системы управления складом (WMS): Автоматизированный учет движения товаров, контроль сроков годности.
   • CRM/ERP системы: Интегрированные решения для управления всеми аспектами закупок, от заказа до оплаты.
   • Электронные торговые площадки: Повышают прозрачность, скорость и точность закупочных процессов, способствуя снижению затрат.

Экономический эффект от внедрения этих методов очевиден. Оптимизация закупок, включающая пересмотр условий, планирование объемов и снижение излишков, способствует снижению затрат на закупку и хранение товаров. Сокращение пищевых отходов напрямую уменьшает расходы на закупку сырья и утилизацию мусора. Эти меры в совокупности могут значительно повысить рентабельность предприятий торговли и общественного питания, сделав их бизнес более устойчивым и экологически ответственным.

Программные комплексы и специализированные инструменты для оптимизации раскроя

В условиях современного производства и логистики ручной расчет оптимальных карт раскроя практически невозможен. Высокая сложность задачи, огромное количество переменных и строгие требования к эффективности обусловливают необходимость использования специализированного программного обеспечения. На рынке представлено большое количество компьютерных программ для оптимизации раскроя материалов, как общего характера, так и сугубо специальных, разработанных под конкретные отрасли.

Обзор отечественных и зарубежных решений

Современные программные комплексы предлагают широкий спектр функциональных возможностей, которые значительно упрощают и автоматизируют процесс раскроя, обеспечивая высокую точность и экономическую выгоду.

Ключевые функциональные возможности современных программ для раскроя:

1. Быстрый ввод информации о заказах и материалах: Пользователь может легко внести данные о требуемых деталях (размеры, количество, ориентация), а также о доступных исходных материалах (размеры, тип, стоимость).
2. Автоматическое и ручное формирование карт раскроя:
   • Автоматический режим: Алгоритмы программы генерируют оптимальные карты раскроя с минимальными отходами.
   • Ручной режим: Пользователь может корректировать карты, перемещать детали, учитывая специфические технологические нюансы, которые трудно формализовать.
3. Учет мерных остатков и их повторное использование: Программы отслеживают обрезки, которые могут быть использованы для будущих заказов, тем самым минимизируя потери и рационализируя использование материала.
4. Печать документации: Генерация всех необходимых отчетов: карты раскроя, спецификации деталей, отчеты по отходам, ведомости материалов.
5. Поддержка различных типов раскроя:
   • Линейный (1D): Для прутков, труб, кабелей.
   • Гильотинный (2D): Прямые резы от края до края листа, характерные для стекольного и мебельного производства.
   • Фигурный (2D): Резка по произвольному контуру, часто используемая в швейном производстве, для листового металла или в производстве рекламных конструкций.
6. Экспорт карт раскроя на станки с ЧПУ (числовым программным управлением): Одна из важнейших функций, обеспечивающая полную автоматизацию процесса. Программа генерирует управляющие программы, которые напрямую загружаются в раскройное оборудование (лазерные станки, фрезеры, гильотинные ножницы), исключая человеческий фактор и повышая точность.
7. Параллельные вычисления: Для решения особо сложных и крупномасштабных задач некоторые системы используют параллельные вычисления, в том числе с использованием технологии CUDA (для GPU-ускорения) или центров обработки данных, значительно сокращая время расчетов.

Примеры отечественных программных комплексов для оптимизации раскроя:

• «Астра Раскрой»: Широко используемый комплекс, поддерживающий различные типы раскроя (линейный, гильотинный, фигурный). Отличается удобным интерфейсом и возможностью экспорта на станки с ЧПУ.
• «Раскрой»: Еще одно популярное решение, часто применяемое в мебельной промышленности, обеспечивающее эффективное формирование карт раскроя плитных материалов.
• «Базис-Раскрой»: Часть интегрированного комплекса «Базис», ориентированного на мебельное производство. Предлагает глубокую интеграцию с другими модулями для проектирования и производства мебели.
• «SDCC Lite»: Программа, способная работать с различными типами материалов и оптимизировать раскрой как одномерных, так и двумерных элементов.
• «Быстрый линейный раскрой»: Специализированное решение для одномерных заготовок, фокусирующееся на скорости и эффективности расчетов.
• «Cutting»: Программа для раскроя прямоугольных листов, предлагает различные алгоритмы оптимизации.

Примеры зарубежных и более универсальных решений:

• T-FLEX Раскрой: Российская разработка, входящая в состав CAD/CAM/CAE/PLM-системы T-FLEX. Позволяет автоматизировать раскрой листовых материалов, поддерживает различные типы раскроя и экспорт на ЧПУ.
• C-MES: Бизнес-приложение, предназначенное для выполнения вычислительных задач раскроя (1D, 2D, 3D). Отличается использованием параллельных вычислений, что делает его мощным инструментом для высокопроизводительных задач.
• OptiCut, CutList Plus, Boole & Babbage: Примеры зарубежных программ, предлагающих аналогичные функции для оптимизации раскроя в различных отраслях.

Применение таких систем позволяет не только рассчитать схемы раскроя деталей с минимальными отходами, но и значительно сократить время на проектирование раскладок, повысить точность резки и эффективно подготовить управляющие программы для станков с ЧПУ. В конечном итоге, это приводит к существенной экономии материальных ресурсов и повышению общей производительности предприятия.

Экономический эффект, преимущества и сложности практической реализации

Внедрение оптимизационных решений в сфере раскроя материалов — это не просто дань моде или стремление к технологическому совершенству. Это прямой путь к повышению экономической эффективности, устойчивости и конкурентоспособности любого предприятия. Однако, как и любая сложная система, она сопряжена с определенными вызовами и ограничениями.

Количественная оценка экономического эффекта

Оптимизация раскроя материалов является одним из важнейших факторов повышения эффективности промышленного производства и экономии материальных ресурсов. Экономический эффект от ее внедрения можно оценить вполне конкретными количественными показателями:

• Сокращение отходов материала: Это наиболее очевидный и значимый показатель. Внедрение оптимизированных решений по раскрою позволяет сократить отходы материала в среднем на 10–15%. В некоторых случаях, особенно при переходе от ручных методов к автоматизированным, этот показатель может достигать 20% и более, вплоть до 25%. Например, сокращение отходов ткани на швейном производстве или листового металла на машиностроительном предприятии на 10% для дорогостоящих материалов оборачивается миллионами рублей экономии ежегодно.
• Повышение коэффициента использования материала (КИМ): Прямой следствие сокращения отходов. КИМ может повышаться на 5–10%. Чем выше КИМ, тем меньше материала требуется для производства заданного объема продукции.
• Снижение отходов производства: В общем смысле этот показатель может составлять 3–7%, включая не только прямые обрезки, но и брак, связанный с неоптимальным расположением деталей.
• Снижение себестоимости продукции: Экономия материалов прямо пропорционально ведет к снижению материальных затрат, которые часто составляют значительную долю в себестоимости. Уменьшение себестоимости, в свою очередь, укрепляет финансовую устойчивость предприятия и повышает его конкурентоспособность на рынке.
• Сокращение затрат на утилизацию отходов: Меньше отходов — меньше расходов на их сбор, транспортировку и переработку/захоронение, что также вносит вклад в общую экономию.

Экономический эффект от оптимизации может быть рассчитан как соотношение экономического результата (например, экономии материальных ресурсов) и затрат, породивших этот результат (например, инвестиций в программное обеспечение и обучение).

Основные преимущества внедрения оптимизационных решений

Помимо прямого экономического эффекта, внедрение систем оптимизации раскроя приносит ряд других значимых преимуществ:

1. Повышение производительности: Автоматизация процесса раскроя сокращает время, затрачиваемое на планирование, и ускоряет процесс подготовки к резке. Меньше простоев оборудования, быстрее выполнение заказов.
2. Снижение человеческого фактора и ошибок: Автоматизированные системы исключают ошибки, связанные с неточностью ручных расчетов или невнимательностью персонала, повышая качество раскроя.
3. Гибкость производства: Способность быстро перестраиваться под новые заказы, изменяющиеся требования к продукции или наличие различных исходных материалов.
4. Улучшение контроля и учета: Программное обеспечение предоставляет точные данные об использованных материалах, отходах, остатках, что улучшает управленческий учет и планирование.
5. Экологическая ответственность: Сокращение отходов соответствует современным стандартам устойчивого развития и улучшает имидж компании.
6. Укрепление конкурентоспособности: Снижение себестоимости и повышение качества позволяют предприятию предлагать более выгодные условия на рынке.

Вычислительные и технологические сложности реализации

Несмотря на все преимущества, практическая реализация задач о раскрое сопряжена со значительными сложностями, которые необходимо учитывать:

1. Вычислительная сложность: Главная проблема заключается в том, что задача о раскрое (особенно 2D и 3D) относится к классу NP-трудных задач. Это означает, что для точных алгоритмов время решения растет экспоненциально с увеличением размера задачи.
   • Требования к вычислительным мощностям: Нахождение абсолютно оптимального решения для крупномасштабных задач требует значительных вычислительных ресурсов. Даже при использовании мощных компьютеров время решения может быть неприемлемым в условиях реального производства (например, несколько часов или дней для одного раскроя).
   • Применение эвристических алгоритмов: Из-за вышеуказанных причин на практике чаще применяются эвристические и метаэвристические алгоритмы, которые предоставляют достаточно хорошее, но не всегда гарантированно оптимальное решение за приемлемое время. Компромисс между точностью и скоростью становится ключевым.
2. Технологические и организационные факторы:
   • Характеристики раскройного оборудования: Необходимость учета специфики станков: минимальная ширина реза, возможность фигурной резки, количество ножей и т.д.
   • Количество и общая длина выполняемых резов: Чем больше резов, тем больше времени и износа инструмента.
   • Количество поворотов пакета листов: Каждый поворот — это дополнительная операция, которая может замедлить процесс.
   • Качество и дефекты материала: Программа должна уметь исключать дефектные участки из полезных заготовок.
   • Особенности материала: Например, направление волокон в древесине, рисунок на ткани, хрупкость стекла.
   • Сложность форм заготовок: Для фигурного раскроя требуются более сложные алгоритмы и мощное программное обеспечение.
3. Адаптация и интеграция: Внедрение новых систем требует адаптации к существующим производственным процессам, интеграции с другими информационными системами предприятия (MES, ERP), а также обучения персонала.
4. Эффективность зависит от условий: Эффективность методов автоматического проектирования раскроя существенно зависит от конкретных условий задачи: ассортимента заготовок, их количественных характеристик, размеров исходного материала и других специфических параметров.

Таким образом, несмотря на огромный потенциал, успешная реализация задач оптимизации раскроя требует не только мощных математических инструментов и программного обеспечения, но и глубокого понимания производственных процессов, технологических ограничений и готовности к инвестициям в оборудование и обучение.

Заключение

Задача о раскрое материала — это не просто академическая головоломка, а фундаментальная проблема прикладной оптимизации, имеющая глубокие корни в работах пионеров линейного программирования, таких как Л.В. Канторович. Ее многогранность проявляется в классификации по размерности – от одномерного раскроя линейных материалов до сложнейших трехмерных задач упаковки – и разнообразии критериев оптимизации, выходящих за рамки простой минимизации отходов.

На протяжении десятилетий методы ее решения эволюционировали от строгих математических аппаратов, таких как линейное и динамическое программирование, до современных эвристических, метаэвристических и гиперэвристических алгоритмов, способных справляться с вычислительной сложностью NP-трудных задач. Эти алгоритмы, реализованные в специализированных программных комплексах, позволяют автоматизировать и значительно повысить эффективность раскроя в традиционных отраслях промышленности – деревообработке, металлопрокате, швейном и стекольном производствах.

Однако истинная глубина и актуальность задачи о раскрое раскрывается в ее концептуальной адаптации к сферам, далеким от классического производства. В торговле и общественном питании принципы оптимизации трансформируются в стратегическое управление закупками, рациональную разделку сырья, продуманное планирование меню и эффективное управление запасами. В условиях, когда мировые и российские показатели пищевых отходов достигают угрожающих масштабов, а Цели устойчивого развития ООН призывают к их сокращению, эти принципы становятся не просто экономически выгодными, но и социально ответственными императивами.

Внедрение оптимизированных решений приносит предприятиям ощутимый экономический эффект: сокращение отходов на 10–25%, повышение коэффициента использования материала, снижение себестоимости продукции и затрат на утилизацию. При этом, несмотря на впечатляющие преимущества, реализация таких систем сопряжена со значительными вычислительными и технологическими сложностями, требующими учета специфики оборудования, материалов и производственных процессов.

В эпоху цифровизации и стремления к устойчивому развитию, задача о раскрое материала остается одной из ключевых областей для дальнейших исследований и практического применения. Развитие искусственного интеллекта, машинного обучения и облачных вычислений открывает новые горизонты для создания еще более интеллектуальных и адаптивных систем оптимизации, способных решать самые сложные задачи с беспрецедентной эффективностью. Понимание и мастерское владение методами решения этой задачи позволит студентам и специалистам не только эффективно управлять ресурсами, но и вносить вклад в формирование более рациональной и устойчивой экономики будущего.

Список использованной литературы

1. Федосеев, В.В., Гармаш, А.Н. Математические методы в управлении: учебное пособие. Москва: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2013.
2. Гармаш, А.Н., Орлова, И.В., Концевая, Н.В., Горбатенко, Е.Н., Большаков, В.А. Экономико-математические методы в примерах и задачах: учебное пособие / Под ред. А.Н. Гармаша. Москва: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2014.
3. Кремер, Н.Ш., Путко, Б.А., Тришин, И.М., Фридман, М.Н. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд., перераб. и доп. Москва: ИД «Юрайт», 2013.
4. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие для вузов. Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
5. Гельруд, Я.Д. Линейное программирование: Учебно-методический комплекс. Челябинск: ИОДО ЮУрГУ, 2005.
6. Канторович, Л.В., Залгаллер, В.А. Рациональный раскрой промышленных материалов. Новосибирск: Наука, 1971.
7. Column Generation // Cutting Stock Problems in Column Generation / Hatem Ben Amor, J.M. Valério de Carvalho, Guy Desaulniers, Jacques Desrosiers and Marius M. Solomon. Springer, 2005. Т. XVI.
8. Задача о раскрое материалов. URL: http://math.semestr.ru/lp/rask.php (дата обращения: 01.11.2025).
9. T-FLEX Раскрой | Автоматизация раскроя листовых материалов — Топ Системы. URL: https://www.tflex.ru/products/t-flex-raskroy/ (дата обращения: 01.11.2025).
10. Об автоматическом выборе метода оптимизации прямоугольного раскроя. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ob-avtomaticheskom-vybore-metoda-optimizatsii-pryamougolnogo-raskroya (дата обращения: 01.11.2025).
11. Метаэвристические алгоритмы для задач комбинаторной оптимизации (обзор) Текст научной статьи по специальности «Математика — КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metaevristicheskie-algoritmy-dlya-zadach-kombinatornoy-optimizatsii-obzor (дата обращения: 01.11.2025).
12. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА РАСКРОЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО КРИТЕРИЮ МИ — New-Disser.ru. URL: https://www.new-disser.ru/_avtoreferats/01004381504.pdf (дата обращения: 01.11.2025).
13. Какой экономический эффект можно достичь при оптимизации раскроя ткани на производстве? URL: https://yandex.ru/q/question/kakoi_ekonomicheskii_effekt_mozhno_dostich_1f16d10c/ (дата обращения: 01.11.2025).
14. КУРСОВАЯ РАБОТА по: «Организация производства» на тему: Организация и эффективн | Study Guides, Projects, Research Production and Operations Management | Docsity. URL: https://www.docsity.com/ru/organizatsiya-proizvodstva-kursavaya-rabota/4514210/ (дата обращения: 01.11.2025).
15. Как рассчитать экономическую эффективность внедрения ЕСМ-систем. URL: https://www.ecm-journal.ru/articles/kak-rasschitat-ekonomicheskuyu-effektivnost-vnedreniya-ecm-sistem.aspx (дата обращения: 01.11.2025).
16. РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес — КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/rassmotrenie-ponyatiya-ekonomicheskoy-effektivnosti-v-sovremennyh-usloviyah (дата обращения: 01.11.2025).
17. B2B-Center / Оптимизация закупок и закупочной деятельности. URL: https://www.b2b-center.ru/analytics/articles/optimizaciya-zakupok-i-zakupochnoy-deyatelnosti.html (дата обращения: 01.11.2025).
18. Оптимизация закупок: пошаговое руководство, методы, примеры и KPI — Forecast NOW! URL: https://forecastnow.ru/blog/optimizatsiya-zakupok-poshagovoe-rukovodstvo-metody-primery-i-kpi (дата обращения: 01.11.2025).
19. Оптимизация закупок: как повысить эффективность отдела снабжения. URL: https://www.com-drive.ru/blog/optimizatsiya-zakupok (дата обращения: 01.11.2025).
20. 5 приемов, которые помогут оптимизировать закупки в вашей организации — Росэлторг. URL: https://www.roseltorg.ru/article/5-priemov-kotorye-pomogut-optimizirovat-zakupki-v-vashey-organizatsii (дата обращения: 01.11.2025).
21. Оптимизация производственных ресурсов на предприятиях общественного питания | Статья в журнале «Молодой ученый». URL: https://moluch.ru/archive/223/52432/ (дата обращения: 01.11.2025).
22. Какие существуют методы оптимизации расхода продуктов на предприятиях общественного питания? — Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/kakie_sushchestvuiut_metody_optimizatsii_99b008d5/ (дата обращения: 01.11.2025).
23. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ОПЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ЗАВЕДЕНИЯХ ОБЩЕСТВЕННОГО ПИТАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес — КиберЛенинка. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metody-optimizatsii-operatsionnyh-protsessov-v-zavedeniyah-obschestvennogo-pitaniya (дата обращения: 01.11.2025).
24. Как описать потоки сырья и готовой продукции при разработке ХАССП. URL: https://foodsafety.ru/blog/kak-opisat-potoki-syrya-i-gotovoy-produkcii-pri-razrabotke-haspp (дата обращения: 01.11.2025).
25. Функции заведующего пищевым производством для оптимизации ресурсов и затрат. URL: https://www.restoranoved.ru/blog/funkcii-zaveduyushchego-pishchevym-proizvodstvom-dlya-optimizacii-resursov-i-zatrat/ (дата обращения: 01.11.2025).
26. Проектирование предприятий общественного питания: МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению курсового проекта — Новосибирский Государственный Аграрный Университет. URL: https://elibrary.ngau.ru/ru/articles/e-books/proektirovanie-predpriyatiy-obshchestvennogo-pitaniya-metodicheskie-ukazaniya-po-vypolneniyu-kursovogo-proekta (дата обращения: 01.11.2025).
27. Программы для оптимизации раскроя материалов (catalog of programs by Abushenko, mentions Kantorovich and Zalgaller). URL: https://studfile.net/preview/16281895/page:2/ (дата обращения: 01.11.2025).