Фундаментальные законы сохранения взаимодействия: От классической механики до квантовой физики и современных технологий

В бесконечном танце материи и энергии, от мельчайших кварков до колоссальных галактик, существует несколько незыблемых правил, которые управляют этим движением. Эти правила, известные как законы сохранения, являются не просто математическими абстракциями, но фундаментальными принципами, пронизывающими все уровни физической реальности. Они выступают универсальным языком, на котором говорит Вселенная, предсказывая поведение систем, определяя их ограничения и раскрывая глубочайшие симметрии природы.

Для студента, глубоко погружающегося в мир физики, понимание этих законов критически важно не только для освоения классической механики или квантовой теории, но и для формирования целостного научного мировоззрения. Данное исследование призвано обеспечить максимально полное, структурированное и глубокое погружение в мир законов сохранения – от их классических формулировок до проявлений в квантовой механике и их применения в самых передовых технологиях. Мы проследим, как эти принципы развивались сквозь века, какие глубокие связи существуют между ними и симметриями пространства-времени, и как они продолжают формировать наше понимание мироздания, обеспечивая нерушимый фундамент для всех физических явлений.

Исторический контекст: От первых догадок до формирования современных концепций

История законов сохранения столь же древна, как и сама попытка человека осмыслить окружающий мир. Ещё античные философы, такие как Анаксагор, предполагали, что «ничто не возникает из ничего и не исчезает бесследно» – идея, которая предвосхитила закон сохранения материи. Однако подлинное научное осмысление началось значительно позже. В XVII веке Рене Декарт сформулировал закон сохранения «количества движения» (импульса), хотя и не совсем в том виде, в каком мы его знаем сегодня. Его работы стали важной вехой, указывающей на неизменность определенных величин в процессе взаимодействий.

Кульминацией классического этапа стало формирование ньютоновской механики, где законы сохранения импульса и момента импульса были неявно заложены в его законах движения. Однако наиболее чёткое и систематическое изложение этих принципов появилось благодаря работам Христиана Гюйгенса, Михаила Ломоносова и, конечно же, Исаака Ньютона, которые заложили основы для понимания сохранения механической энергии. В XIX веке, с развитием термодинамики, закон сохранения энергии был обобщен до универсального принципа, включающего тепловые, химические и электромагнитные формы. Это был грандиозный шаг, объединивший разрозненные явления под единым знаменем, показав, что энергия может принимать множество обличий, но никогда не исчезает бесследно. В XX веке, с появлением теории относительности и квантовой механики, законы сохранения приобрели новые, ещё более глубокие интерпретации, а теорема Нётер элегантно связала их с фундаментальными симметриями пространства-времени, открыв новую эру в теоретической физике.

Законы сохранения в классической механике

Классическая механика, фундамент физического знания, представляет собой идеальную отправную точку для изучения законов сохранения. Именно здесь формируются базовые концепции, которые затем расширяются и углубляются в более сложных физических теориях. Три столпа классических законов сохранения – импульс, момент импульса и энергия – определяют динамику всех механических систем.

Закон сохранения импульса

Импульс, или количество движения, является одной из фундаментальных характеристик движущегося тела. Представьте себе бильярдный стол: когда один шар ударяет другой, их скорости меняются, но есть что-то, что остаётся неизменным. Это и есть импульс.

Определение и математическая формулировка (P = m⋅v, dP/dt = F)

Импульс (P) – это векторная физическая величина, которая является мерой механического движения тела и определяется как произведение массы (m) тела на его скорость (v):

P = m ⋅ v

Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости тела. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг ⋅ м/с).

Связь импульса с силой устанавливает Второй закон Ньютона. В своей первоначальной формулировке он гласит, что скорость изменения импульса тела прямо пропорциональна равнодействующей силе, приложенной к телу, и направлена в ту же сторону, что и сила:

dP/dt = F

Где dP/dt — производная импульса по времени, а F — равнодействующая внешних сил.

Закон сохранения импульса гласит: для замкнутой системы тел векторная сумма импульсов тел остаётся неизменной при любых движениях и взаимодействиях внутри этой системы. Иными словами, если система состоит из N тел, то сумма их импульсов до взаимодействия будет равна сумме их импульсов после взаимодействия:

Σi=1N Pi(до) = Σi=1N Pi(после)

Условия применимости: Замкнутые и квазизамкнутые системы

Ключевым условием для выполнения закона сохранения импульса является замкнутость системы. Замкнутой системой в механике считается такая система тел, на которые не действуют внешние силы, либо действие внешних сил скомпенсировано (их векторная сумма равна нулю), либо внешние силы пренебрежимо малы по сравнению с внутренними силами взаимодействия между телами системы.

Например, при столкновении двух тележек на рельсах, если пренебречь трением и сопротивлением воздуха, система «две тележки» будет считаться замкнутой, и их суммарный импульс сохранится. В случае, когда внешние силы значительны, но действуют очень короткое время (например, при ударе молотка по гвоздю), можно говорить о квазизамкнутых системах, где закон сохранения импульса применяется для малого промежутка времени, когда внутренние силы взаимодействия многократно превосходят внешние. И что из этого следует? Это означает, что даже в условиях неидеальной изоляции, если воздействие внешних сил мимолетно, мы все равно можем с высокой точностью использовать этот закон для анализа динамики.

Связь с однородностью пространства

Глубинная причина существования закона сохранения импульса кроется в одной из фундаментальных симметрий природы – однородности пространства. Это означает, что физические законы остаются неизменными при сдвиге (трансляции) системы в пространстве. Иными словами, эксперимент, проведённый в одной точке пространства, даст те же результаты, если его повторить в другой точке, при условии, что все остальные условия идентичны. Эта однородность, как мы увидим позже в разделе о теореме Нётер, напрямую приводит к сохранению импульса.

Примеры и демонстрации

• Отдача при выстреле: Когда ружье выстреливает пулю, пуля движется вперед с большой скоростью, а ружье откатывается назад. Суммарный импульс системы «ружье + пуля» до выстрела был равен нулю (оба покоились). После выстрела импульс пули равен P_пули, а импульс ружья – P_ружья. По закону сохранения импульса P_пули + P_ружья = 0, то есть P_пули = -P_ружья. Это означает, что импульсы равны по модулю и противоположны по направлению.
• Реактивное движение: Принцип реактивного движения, используемый в ракетах и самолётах, также основан на законе сохранения импульса. Выброс продуктов сгорания газа в одном направлении создаёт импульс, который толкает аппарат в противоположном направлении.
• Столкновение тел: Независимо от того, упругое или неупругое столкновение, суммарный импульс системы сохраняется. Например, при неупругом столкновении двух тележек, которые затем движутся как единое целое, их общий импульс до столкновения равен импульсу слипшихся тележек после.

Закон сохранения момента импульса

Подобно тому, как импульс описывает поступательное движение, момент импульса (или угловой момент) характеризует вращательное движение системы.

Определение и математическая формулировка (L = [r × p], dL/dt = M)

Момент импульса (L) частицы относительно некоторой точки O – это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r, характеризующего положение частицы относительно точки O, на её импульс p:

L = [r × p]

Единицей измерения момента импульса в СИ является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг ⋅ м²/с).

Изменение момента импульса со временем связано с моментом силы. Уравнение моментов гласит, что производная по времени от момента импульса частицы равна моменту силы, приложенной к частице:

dL/dt = M

Где M — момент силы относительно той же точки O, определяемый как векторное произведение радиус-вектора r на силу F:

M = [r × F]

Закон сохранения момента импульса утверждает: момент импульса замкнутой системы сохраняется, если сумма моментов внешних сил, воздействующих на систему, скомпенсирована или отсутствует. Если внешние моменты сил отсутствуют, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным:

Σi=1N Li = const

Условия применимости: Отсутствие внешних моментов сил

Как и в случае с импульсом, ключевым условием для сохранения момента импульса является отсутствие или скомпенсированность внешних моментов сил, действующих на систему. Если на систему действует внешний момент силы, её момент импульса будет меняться. Это аналогично тому, как внешняя сила изменяет линейный импульс.

Связь с изотропностью пространства

Закон сохранения момента импульса является прямым следствием другой фундаментальной симметрии – изотропности пространства. Изотропность означает, что все направления в пространстве равноправны, то есть физические законы не зависят от ориентации системы в пространстве (инвариантны относительно поворотов). Если бы пространство не было изотропным, то поворот системы привёл бы к изменению её поведения, что противоречило бы сохранению момента импульса.

Примеры вращающихся систем

• Фигурист на льду: Классический пример – фигурист, вращающийся на льду. Когда он прижимает руки к телу, его момент инерции уменьшается, и, чтобы сохранить момент импульса, скорость его вращения увеличивается. И наоборот, когда он разводит руки, скорость вращения замедляется.
• Планетарные орбиты: Движение планет вокруг Солнца также подчиняется закону сохранения момента импульса. Гравитационная сила, действующая со стороны Солнца, всегда направлена к нему, то есть через центр вращения. Следовательно, момент этой силы относительно Солнца равен нулю, и момент импульса планеты относительно Солнца сохраняется.
• Падение кошки: Кошка, падая с высоты, всегда приземляется на лапы. В воздухе на неё не действуют внешние моменты сил (если пренебречь сопротивлением воздуха). Тем не менее, она способна изменить свою ориентацию, используя внутренние силы и изменяя конфигурацию своего тела, тем самым перераспределяя моменты инерции своих частей, сохраняя при этом суммарный момент импульса системы «кошка».

Закон сохранения энергии

Энергия – это, пожалуй, самое всеобъемлющее понятие в физике, описывающее способность системы совершать работу.

Энергия как мера движения и взаимодействия

Энергия – это скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Она служит мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль (Дж). Главное свойство энергии – её способность преобразовываться из одной формы в другую, но при этом сохраняться в замкнутой системе.

Виды механической энергии: кинетическая (E_к = mv²/2) и потенциальная (E_п = mgh)

В классической механике выделяют два основных вида энергии:

• Кинетическая энергия (E_к) – это энергия движения. Она зависит от массы тела (m) и его скорости (v):

  Eк = mv2/2

  Чем массивнее и быстрее движется тело, тем больше его кинетическая энергия.

• Потенциальная энергия (E_п) – это энергия взаимодействия тел или частей тела, зависящая от их взаимного расположения. Это «запасённая» энергия, которая может быть преобразована в кинетическую. Например, для тела в поле тяжести (при небольшой высоте над поверхностью Земли):

  Eп = mgh

  Где m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота над некоторой выбранной нулевой отметкой.

Полная механическая энергия системы (E) – это сумма кинетической и потенциальной энергий:

E = Eк + Eп

Закон сохранения механической энергии утверждает: полная механическая энергия замкнутой системы тел остаётся неизменной, если тела взаимодействуют только посредством консервативных сил.

Консервативные и неконсервативные силы: определения и примеры

Понимание закона сохранения механической энергии неразрывно связано с разделением сил на консервативные и неконсервативные:

• Консервативные силы – это силы, работа которых не зависит от формы траектории движения тела, а определяется только его начальным и конечным положением. Важным свойством консервативных сил является то, что работа, совершаемая ими по любой замкнутой траектории, равна нулю. Примеры консервативных сил:
  • Сила тяжести: Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты тела, а не от пути, по которому оно поднималось или опускалось.
  • Сила упругости: Работа силы упругости также зависит только от начального и конечного растяжения/сжатия пружины.
• Неконсервативные силы – это силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела. Работа таких сил по замкнутой траектории не равна нулю. Примеры неконсервативных сил:
  • Сила трения: Чем длиннее путь, пройденный телом, тем больше работа силы трения.
  • Сила сопротивления среды: Аналогично силе трения, её работа зависит от пройденного расстояния и скорости.

При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется; она может уменьшаться (например, из-за трения, которое превращает механическую энергию в тепловую) или увеличиваться (если внешняя неконсервативная сила совершает положительную работу над системой).

Переход энергии в другие формы: тепловые процессы и первый закон термодинамики (Q = ΔU + A)

Закон сохранения механической энергии является частным случаем более общего закона сохранения энергии, который утверждает, что энергия не возникает из ничего и не исчезает бесследно, а лишь переходит из одной формы в другую. Когда механическая энергия не сохраняется (например, из-за трения), она преобразуется в другие формы, чаще всего в тепловую энергию.

Это явление описывается Первым законом термодинамики, который является формулировкой закона сохранения энергии для тепловых процессов. Он устанавливает связь между количеством теплоты (Q), полученной системой, изменением её внутренней энергии (ΔU) и работой (A), совершённой системой над внешними телами:

Q = ΔU + A

• Q – количество теплоты, переданное системе. Если система получает тепло, Q > 0.
• ΔU – изменение внутренней энергии системы. Внутренняя энергия включает кинетическую энергию хаотического движения молекул и потенциальную энергию их взаимодействия.
• A – работа, совершённая системой. Если система совершает работу над внешними телами, A > 0.

Если система теплоизолирована (Q = 0), то работа, совершаемая системой, равна убыли её внутренней энергии (ΔU = -A). Это означает, что внутренняя энергия может быть преобразована в работу, но не может быть создана или уничтожена.

При теплообмене двух или нескольких тел в теплоизолированной системе (без потерь теплоты в окружающую среду) абсолютное количество теплоты, отданное более нагретым телом, равно количеству теплоты, полученному менее нагретым телом:

Qотданное = Qполученное

Этот принцип лежит в основе калориметрии и расчётов тепловых балансов.

Симметрии и законы сохранения: Теорема Нётер

Связь между симметрией и сохранением – одна из самых глубоких и элегантных идей в физике. Она раскрывает, что универсальность законов природы неслучайна, а является прямым следствием фундаментальных свойств самого пространства и времени.

Понятие инвариантности в физике

В основе всех законов сохранения лежит концепция инвариантности. Инвариантность в физике означает независимость физических закономерностей от конкретных ситуаций, в которых они устанавливаются, и от способа описания этих ситуаций. Проще говоря, если некий процесс протекает одинаково независимо от того, где, когда и как мы на него смотрим (при определённых преобразованиях), то мы говорим о его инвариантности.

Инвариантность физической величины, в свою очередь, означает её неизменность при определённых преобразованиях. Например:

• Инвариантность относительно преобразований координат и времени: Законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея, что означает их одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта. В теории относительности эти преобразования заменяются преобразованиями Лоренца.
• Инвариантность относительно пространственных сдвигов: Физические явления не зависят от абсолютного положения системы в пространстве.
• Инвариантность относительно временных сдвигов: Физические явления не зависят от абсолютного момента времени, когда они происходят.
• Инвариантность относительно поворотов: Физические явления не зависят от ориентации системы в пространстве.

Эти «независимости» или симметрии являются не просто математическими свойствами, а глубокими физическими принципами, отражающими однородность и изотропность пространства-времени.

Теорема Эмми Нётер

Именно эти глубинные связи были математически строго формализованы в теореме Нётер, сформулированной немецким математиком Эмми Нётер в 1918 году. Эта теорема стала краеугольным камнем современной теоретической физики, связав вместе, казалось бы, разрозненные понятия симметрии и сохранения.

Формулировка теоремы и ее историческое значение

Теорема Нётер утверждает, что каждому непрерывному преобразованию симметрии физической системы соответствует свой закон сохранения. «Непрерывное преобразование» означает, что преобразование может быть выполнено постепенно, через бесконечно малые шаги (например, бесконечно малый сдвиг или поворот). «Симметрия» здесь означает, что уравнения, описывающие систему, остаются неизменными (инвариантными) относительно такого преобразования.

Историческое значение теоремы Нётер трудно переоценить. До неё законы сохранения воспринимались как отдельные эмпирические факты. Нётер показала их единую, глубокую математическую природу, сделав их не просто наблюдениями, а необходимыми следствиями фундаментальных симметрий. Это изменило подход к поиску новых законов: если обнаружена новая симметрия, можно ожидать существования соответствующего закона сохранения, и наоборот.

Связь непрерывных симметрий и законов сохранения

Теорема Нётер демонстрирует, как три основные симметрии пространства-времени напрямую порождают три классических закона сохранения:

• Однородность времени → Закон сохранения энергии. Если физические законы инвариантны относительно сдвига во времени (то есть не зависят от того, когда мы начинаем отсчёт времени), то энергия системы сохраняется. Это означает, что если система не взаимодействует с внешними полями, меняющими её энергию со временем, то её энергия остаётся постоянной.
• Однородность пространства → Закон сохранения импульса. Если физические законы инвариантны относительно сдвига в пространстве (то есть не зависят от абсолютного положения системы), то импульс системы сохраняется. Это объясняет, почему импульс замкнутой системы остаётся постоянным при любых внутренних взаимодействиях.
• Изотропность пространства → Закон сохранения момента импульса. Если физические законы инвариантны относительно поворотов в пространстве (то есть не зависят от ориентации системы), то момент импульса системы сохраняется. Это лежит в основе сохранения углового момента для вращающихся систем в отсутствие внешних моментов сил.

Сравнительный анализ подходов к выводу законов сохранения

Теорема Нётер особенно ярко проявляет себя при рассмотрении различных формализмов механики.

• Ньютоновская механика: В ньютоновской механике законы сохранения выводятся из законов Ньютона. Например, закон сохранения импульса для системы частиц выводится путём суммирования второго закона Ньютона для каждой частицы и использования третьего закона Ньютона (силы внутреннего взаимодействия компенсируют друг друга). Закон сохранения момента импульса выводится аналогично, исходя из уравнения моментов. Закон сохранения энергии выводится через работу сил. Эти выводы, хотя и корректны, кажутся разрозненными и не демонстрируют глубинную связь.
• Лагранжев формализм: В лагранжевом формализме динамика системы описывается функцией Лагранжа L(q, q̇, t), которая зависит от обобщённых координат q_i, обобщённых скоростей q̇_i и времени t. Уравнения движения – это уравнения Эйлера-Лагранжа:

  d/dt (∂L/∂q̇i) - ∂L/∂qi = 0

  Если функция Лагранжа не зависит явно от какой-либо обобщённой координаты q_k (то есть ∂L/∂q_k = 0), то эта координата называется циклической. Из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что в этом случае соответствующий обобщённый импульс (∂L/∂q̇_k) является сохраняющейся величиной.

  Например, если L не зависит явно от времени t (система однородна во времени), то сохраняется энергия. Если L не зависит от пространственной координаты x (система однородна в пространстве), то сохраняется импульс по оси x. Если L не зависит от угла поворота (система изотропна в пространстве), то сохраняется момент импульса. Этот подход является более элегантным и напрямую подводит к теореме Нётер.

• Гамильтонов формализм: Гамильтонов формализм является дальнейшим развитием лагранжева и используется, в частности, в квантовой механике. Он оперирует функцией Гамильтона H(q, p, t), зависящей от обобщённых координат q_i, обобщённых импульсов p_i и времени t. Уравнения Гамильтона имеют вид:

  q̇i = ∂H/∂pi

  ṗi = -∂H/∂qi

  Если функция Гамильтона не зависит явно от времени t, то полная энергия H сохраняется. Если H не зависит от какой-либо обобщённой координаты q_k, то соответствующий обобщённый импульс p_k сохраняется. Этот подход ещё более мощно демонстрирует связь между симметриями и законами сохранения, особенно при переходе к квантовой механике, где операторы, соответствующие сохраняющимся величинам, коммутируют с оператором Гамильтона.

Теорема Нётер, таким образом, не просто унифицирует различные формализмы, но и предоставляет мощный методологический инструмент для выявления новых законов сохранения в самых разных физических теориях, от классической механики до квантовой теории поля и космологии.

Фундаментальные взаимодействия и ассоциированные законы сохранения

Вселенная – это грандиозный спектакль, где главные роли играют элементарные частицы, а сценарием служат фундаментальные взаимодействия. Именно эти взаимодействия определяют структуру материи, управляют эволюцией звёзд и галактик и формируют привычную нам реальность.

Общие принципы фундаментальных взаимодействий

Фундаментальные взаимодействия – это основные силы, действующие между элементарными частицами, которые определяют структуру материи и процессы во Вселенной. По современным представлениям, существует четыре основных типа таких взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Каждое из них обладает уникальными характеристиками и играет свою роль в формировании мироздания.

В квантовой теории поля взаимодействие описывается не как прямое действие одной частицы на другую, а как обмен специфическими квантами (бозонами) – частицами-переносчиками взаимодействия. Например, электромагнитное взаимодействие осуществляется обменом фотонами, а сильное – глюонами. Этот концептуальный сдвиг позволил создать единую картину взаимодействий на микроуровне.

Взаимодействие	Относительная интенсивность (по отношению к гравитационному)	Радиус действия	Частицы-переносчики	Объекты взаимодействия
Гравитационное	1	Бесконечный	Гравитон (гипотетический)	Масса/энергия
Слабое	1031 (10-7 от сильного)	10-18 м (очень малый)	W±, Z0-бозоны	Лептоны, кварки
Электромагнитное	1038 (10-2 от сильного)	Бесконечный	Фотон (γ-квант)	Заряженные частицы
Сильное	1040 (наибольшая)	10-15 м (очень малый)	Глюоны	Кварки, адроны

Гравитационное взаимодействие

Гравитационное взаимодействие, несмотря на свою колоссальную роль в космосе, является самым слабым из фундаментальных взаимодействий на уровне элементарных частиц. Его относительная интенсивность принимается за единицу для сравнения с другими силами.

• Характеристики: Обладает бесконечным радиусом действия и действует на любую частицу, обладающую массой (или энергией, согласно общей теории относительности). Всегда является силой притяжения.
• Роль в космических масштабах: Оно играет решающую роль в явлениях космических масштабов, определяя структуру галактик, звёзд и планет, их орбиты и динамику крупномасштабных структур Вселенной.
• Гипотетический гравитон: В квантовой теории гравитационное взаимодействие описывается обменом гипотетическими частицами – гравитонами, которые пока экспериментально не обнаружены. С гравитационным взаимодействием, как следствие общей теории относительности Эйнштейна, ассоциируются законы сохранения энергии-импульса и момента импульса в искривлённом пространстве-времени.

Электромагнитное взаимодействие

Электромагнитное взаимодействие – это сила, которую мы ощущаем каждый день, от света до электричества.

• Характеристики: Возникает между частицами, обладающими электрическим зарядом, и имеет бесконечный радиус действия.
• Переносчик: Переносчиком взаимодействия является фотон (γ-квант).
• Теоретическое описание: Описывается законами Кулона (взаимодействие статических зарядов), Ампера (взаимодействие токов) и обобщается электромагнитной теорией Максвелла, которая объединяет электрические и магнитные явления.
• Интенсивность: Относительная интенсивность электромагнитного взаимодействия составляет примерно 10³⁸ по сравнению с гравитационным, что делает его значительно сильнее. Его сила характеризуется константой тонкой структуры α_e = e²/(ħc) ≈ 1/137, где e – элементарный электрический заряд, ħ – приведённая постоянная Планка, c – скорость света.
• Роль в образовании материи: Электромагнитное взаимодействие ответственно за существование атомов, молекул, макрообъектов, химических связей, тепла и света. Оно поддерживает стабильность атомов, удерживая электроны на орбитах вокруг ядра.
• Ассоциированные законы сохранения: В процессах, управляемых электромагнитным взаимодействием, сохраняются энергия, импульс, момент импульса, электрический заряд, а также чётность и зарядовая чётность.

Сильное (ядерное) взаимодействие

Сильное взаимодействие – это настоящая «склеивающая» сила Вселенной, удерживающая вместе ядра атомов.

• Характеристики: Является наиболее интенсивным (сильным) из фундаментальных взаимодействий. Его относительная интенсивность составляет примерно 10⁴⁰ по сравнению с гравитационным, что делает его примерно в 100 раз сильнее электромагнитного взаимодействия. Имеет очень малый радиус действия, порядка 10^-15 м (размер атомного ядра).
• Роль: Оно связывает протоны и нейтроны в атомных ядрах, обеспечивая их стабильность, и существенно превышает электростатическое отталкивание между положительно заряженными протонами.
• Переносчики и объекты взаимодействия: Переносчиками взаимодействия являются глюоны, которые обмениваются «цветовым зарядом» между кварками. Сами протоны и нейтроны состоят из кварков, удерживаемых глюонами.
• Термоядерные реакции: Сильное взаимодействие ответственно за термоядерные реакции в звёздах, где происходит синтез более лёгких элементов в более тяжёлые (например, гелия из водорода), высвобождая огромное количество энергии.
• Ассоциированные законы сохранения: В процессах сильного взаимодействия строго сохраняются энергия, импульс, момент импульса, электрический заряд, барионный заряд, лептонный заряд, а также такие квантовые числа, как странность и изоспин.

Слабое взаимодействие

Слабое взаимодействие, как следует из названия, является одним из самых неуловимых, но критически важных для эволюции Вселенной.

• Характеристики: Значительно меньше электромагнитного и сильного взаимодействий, но сильнее гравитационного. Его относительная интенсивность составляет примерно 10³¹ по сравнению с гравитационным, что делает его примерно в 10⁷ раз слабее сильного и в 10⁵ раз слабее электромагнитного. Имеет очень малый радиус действия, порядка 10^-18 м (в 1000 раз меньше, чем сильное взаимодействие).
• Скорость протекания: Протекает чрезвычайно медленно по сравнению с сильным и электромагнитным взаимодействиями. Характерное время протекания слабых процессов составляет порядка 10^-10 с, тогда как для сильных процессов это время значительно меньше (10^-23 с), а для электромагнитных – порядка 10^-16 с.
• Переносчики: Переносчиками взаимодействия являются массивные калибровочные бозоны – W⁺, W^— и Z⁰-бозоны.
• Роль в распадах: Слабое взаимодействие ответственно за распады частиц (например, бета-распад, при котором нейтрон превращается в протон, электрон и антинейтрино), обеспечивает эволюцию звёзд (например, ядерные реакции в недрах Солнца) и играет ключевую роль в космологических процессах формирования элементов.
• Ассоциированные законы сохранения: В отличие от сильного и электромагнитного взаимодействий, слабое взаимодействие нарушает некоторые законы сохранения, которые строго выполняются в других взаимодействиях. В частности, оно нарушает сохранение пространственной чётности (P-симметрии) и зарядовой чётности (C-симметрии), хотя сохраняет их комбинацию – CP-симметрию, которая, в свою очередь, также нарушается в некоторых процессах, что критически важно для объяснения асимметрии материи и антиматерии во Вселенной. При этом строго сохраняются электрический заряд, барионный заряд, лептонный заряд и энергия-импульс.

Законы сохранения в квантовой механике

Переход от классического мира к квантовому требует переосмысления многих привычных понятий. Однако законы сохранения не теряют своей актуальности, а лишь приобретают новые, более глубокие интерпретации, становясь ещё более фундаментальными.

Импульс и энергия в квантовой механике

В квантовой механике концепции импульса и энергии не исчезают, но трансформируются в операторы, действующие на волновые функции частиц.

• Симметрия системы относительно сдвигов по координатам и времени: Как и в классической механике, законы сохранения импульса и энергии в квантовом мире тесно связаны с симметриями пространства-времени.
  • Закон сохранения импульса является следствием симметрии системы относительно сдвигов по координатам (трансляционной инвариантности). Это означает, что если физическая система перемещается в пространстве, её квантово-механическое поведение не меняется.
  • Закон сохранения энергии является следствием симметрии системы относительно сдвигов во времени (временной однородности). Если физические законы инвариантны относительно сдвигов начала отсчёта времени, то энергия системы сохраняется.
• Коммутация операторов импульса и гамильтониана как условие сохранения: В квантовой механике физическим величинам соответствуют операторы. Величина сохраняется, если соответствующий ей оператор коммутирует с оператором Гамильтона H (который представляет полную энергию системы).
  • Оператор импульса (P): P = -iħ∇, где i – мнимая единица, ħ – приведённая постоянная Планка, ∇ – оператор набла.
  • Оператор Гамильтона (H): H = P²/(2m) + U(r) для нерелятивистской частицы в потенциальном поле.
  • Условие сохранения импульса: [H, P] = HP — PH = 0. Если коммутатор оператора Гамильтона и оператора импульса равен нулю, это означает, что импульс является сохраняющейся величиной. Физически это происходит, когда потенциальная энергия U(r) не зависит от пространственных координат (то есть, поле однородно).
  • Условие сохранения энергии: Сам оператор Гамильтона представляет энергию. Если он не зависит явно от времени, то энергия сохраняется.

Момент импульса и спин

Понятие момента импульса в квантовой механике значительно расширяется, включая не только орбитальный момент, но и присущий частицам внутренний момент – спин.

• Расширение понятия момента импульса на немеханические системы (атомы, ядра): В квантовой механике момент импульса постулируется как сохраняющаяся величина для всех физических процессов, включая те, что происходят внутри атомов и ядер. Орбитальный момент импульса электрона в атоме квантуется (принимает дискретные значения) и является сохраняющейся величиной в центрально-симметричном поле.
• Спин как собственный момент импульса элементарных частиц: Одним из наиболее удивительных открытий квантовой механики стало обнаружение спина – внутреннего, собственного момента импульса элементарных частиц. В отличие от орбитального момента импульса, спин не связан с движением частицы в пространстве и не может быть изменён посредством внешних механических воздействий. Это фундаментальная, неотъемлемая характеристика частицы, подобно массе или заряду. Спин также квантуется и описывается полуцелыми или целыми значениями, умноженными на ħ.
• Классификация адронов (мезоны, барионы) по спину: Спин играет ключевую роль в классификации элементарных частиц.
  • Адроны – это тяжёлые частицы, состоящие из кварков и участвующие в сильном взаимодействии. Они делятся на:
    • Мезоны: Частицы с целым спином (0, 1, 2, …). Они состоят из кварка и антикварка. Примерами мезонов являются пи-мезоны (пионы) и ка-мезоны (каоны).
    • Барионы: Частицы с полуцелым спином (1/2, 3/2, 5/2, …). Они состоят из трёх кварков. Примерами барионов являются протон и нейтрон, а также гипероны.
  • Фермионы (частицы с полуцелым спином, например, электроны, протоны, нейтрино) подчиняются принципу Паули, запрещающему двум идентичным фермионам находиться в одном квантовом состоянии.
  • Бозоны (частицы с целым спином, например, фотоны, глюоны, W- и Z-бозоны) не подчиняются принципу Паули и могут находиться в одном квантовом состоянии.

Дополнительные законы сохранения микромира

В мире элементарных частиц, помимо классических законов сохранения, существуют специфические квантовые законы сохранения, связанные с внутренними свойствами частиц. Эти законы выражаются через сохранение определённых квантовых чисел:

• Барионный заряд (B): Сохраняется во всех фундаментальных взаимодействих. Барионам (протонам, нейтронам) приписывается барионный заряд B = +1, антибарионам B = -1, а мезонам и лептонам B = 0.
• Лептонные заряды (L_e, L_μ, L_τ): Существуют три типа лептонных зарядов (электронный, мюонный, тау-лептонный), каждый из которых сохраняется в процессах. Например, электрон и электронное нейтрино имеют L_e = +1.
• Электрический заряд (Q): Абсолютно строго сохраняется во всех взаимодействиях.
• Странность (S): Квантовое число, связанное со странными кварками. Сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях, но нарушается в слабых взаимодействиях.
• Изоспин (I): Связан с симметрией между протоном и нейтроном в сильном взаимодействии. Сохраняется в сильном взаимодействии, но нарушается в электромагнитном и слабом.
• Чётность (P) и Зарядовая чётность (C): Отражают симметрию относительно зеркального отражения и замены частицы на античастицу. Как упоминалось, нарушаются в слабом взаимодействии.
• CP-симметрия: Комбинация чётности и зарядовой чётности. В большинстве случаев сохраняется, но её небольшое нарушение в слабом взаимодействии является ключевым для объяснения преобладания материи над антиматерией во Вселенной.

Эти дополнительные законы сохранения, или правила отбора, играют критически важную роль в процессах распада и взаимодействия элементарных частиц, позволяя предсказывать, какие реакции возможны, а какие запрещены природой.

Прикладное значение законов сохранения взаимодействия

Законы сохранения – это не просто абстрактные теоретические построения; они являются неотъемлемой частью нашего мира, определяя его функционирование и позволяя нам разрабатывать передовые технологии. От древних механизмов до современных квантовых компьютеров, их влияние прослеживается повсюду.

Навигация и стабилизация

• Гироскопические приборы на основе закона сохранения момента импульса: Одним из самых ярких примеров практического применения закона сохранения момента импульса являются гироскопические навигационные приборы. Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело (ротор), ось которого имеет возможность свободно менять своё направление в пространстве. Благодаря сохранению момента импульса, ось вращающегося гироскопа стремится сохранять свою ориентацию в пространстве, независимо от движения платформы, на которой он установлен. Это свойство используется для:
  • Стабилизации: Космические аппараты, спутники, самолёты и корабли используют гироскопы для поддержания заданной ориентации и предотвращения нежелательных вращений.
  • Навигации: Гирокомпасы указывают на истинный север, не завися от магнитного поля Земли. Инерциальные навигационные системы, комбинирующие гироскопы и акселерометры, позволяют автономно определять положение и скорость объекта без внешних сигналов (например, GPS), что критически важно для подводных лодок и ракет.

Медицинские технологии

Понимание фундаментальных взаимодействий открыло путь к революционным достижениям в медицине, позволяя «видеть» внутри человеческого тела без инвазивных вмешательств.

• Магнитно-резонансная томография (МРТ) на основе электромагнитного взаимодействия: МРТ – это один из самых мощных методов медицинской визуализации. В основе её работы лежит электромагнитное взаимодействие между ядрами водорода (протонами) в тканях организма и внешним магнитным полем. Протоны, обладающие спином и, следовательно, магнитным моментом, выстраиваются в сильном магнитном поле. Короткие радиочастотные импульсы «возбуждают» их, заставляя отклоняться. Когда импульс прекращается, протоны возвращаются в исходное состояние, испуская радиоволны, которые улавливаются приёмником. Различные ткани (вода, жир, кости) возвращаются в исходное состояние с разной скоростью, что позволяет компьютеру построить детальные изображения внутренних органов и тканей. Этот метод абсолютно безопасен, так как не использует ионизирующее излучение.
• Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) и слабое взаимодействие: ПЭТ – это функциональный метод визуализации, используемый для изучения метаболической активности органов и тканей. Он основан на слабом взаимодействии. В организм пациента вводятся радиоактивные изотопы (например, фтор-18), которые участвуют в бета-плюс распаде – одном из проявлений слабого взаимодействия. В процессе распада испускается позитрон (антиэлектрон), который быстро аннигилирует с электроном из окружающей среды, испуская два гамма-кванта, летящих в противоположных направлениях. Детекторы ПЭТ-сканера улавливают эти гамма-кванты, позволяя точно локализовать место распада. Таким образом, ПЭТ позволяет визуализировать области повышенной метаболической активности (например, опухоли) или оценивать кровоток и функции мозга.

Энергетика

Законы сохранения являются краеугольным камнем всей энергетики, от древних паровых машин до современных ядерных реакторов.

• Ядерная энергетика и сильное взаимодействие: Сильное взаимодействие является основой для ядерной энергетики. В ядерных реакторах происходит управляемая цепная реакция деления тяжёлых ядер (например, урана-235 или плутония-239). При делении ядра высвобождается огромное количество энергии, поскольку масса продуктов реакции меньше массы исходного ядра. Эта «недостающая» масса превращается в энергию согласно знаменитой формуле Эйнштейна E = mc². Тепловая энергия, выделяющаяся при делении, используется для производства пара, который вращает турбины и генерирует электричество. Понимание сильного взаимодействия, его радиуса действия и энергетических характеристик критически важно для безопасного и эффективного управления ядерными реакциями.
• Невозможность создания «вечного двигателя» как следствие закона сохранения энергии: Закон сохранения энергии является одним из наиболее фундаментальных принципов, определяющих практическую невозможность создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile).
  • Perpetuum mobile первого рода – это гипотетическая машина, которая производит работу без потребления энергии извне. Это прямо противоречит закону сохранения энергии, который гласит, что энергия не может быть создана из ничего.
  • Perpetuum mobile второго рода – это машина, которая преобразует всю тепловую энергию в механическую работу без каких-либо потерь или передачи тепла холодному резервуару. Это противоречит Второму закону термодинамики, который является следствием закона сохранения энергии в тепловых процессах и постулирует невозможность идеального преобразования теплоты в работу.

  Таким образом, закон сохранения энергии является основополагающим теоретическим барьером для любых попыток создания таких устройств, подтверждая фундаментальность этого принципа.

Развитие новых технологий

Законы сохранения и фундаментальные взаимодействия лежат в основе самых перспективных направлений современной науки и технологий.

• Квантовые компьютеры и фундаментальные взаимодействия: Глубокое понимание квантовой механики и фундаментальных взаимодействий критически важно для разработки квантовых компьютеров. Эти устройства используют принципы суперпозиции и запутанности квантовых состояний (например, спинов электронов или фотонов, которые подчиняются электромагнитному взаимодействию) для выполнения вычислений на молекулярном и атомарном уровнях. Законы сохранения играют ключевую роль в поддержании когерентности квантовых состояний и контроле их эволюции, что является основой квантовых алгоритмов. Например, сохранение спина в определённых условиях позволяет использовать его как единицу информации (кубит).
• Роль законов сохранения в космических исследованиях и эволюции Вселенной: Законы сохранения имеют огромное значение в космических исследованиях.
  • Закон сохранения импульса используется для расчёта траекторий космических аппаратов, маневрирования в космосе и понимания реактивного движения.
  • Закон сохранения момента импульса объясняет вращение планет и звёзд, а также формирование спиральных галактик из вращающихся облаков газа и пыли. Он также критичен для стабилизации спутников.
  • Закон сохранения энергии является основой для понимания энергетических процессов в звёздах (термоядерные реакции, управляемые сильным и слабым взаимодействиями), формирования чёрных дыр и динамики ранней Вселенной.
  • Фундаментальные взаимодействия определяют всю космологическую историю – от первичного нуклеосинтеза (сильное и слабое взаимодействия) до образования звёзд, галактик (гравитационное взаимодействие) и химического состава Вселенной (электромагнитное взаимодействие).

Таким образом, законы сохранения взаимодействия – это не просто академические концепции, а мощный инструментарий, который позволяет нам не только объяснять прошлое и настоящее Вселенной, но и формировать её будущее через развитие инновационных технологий.

Заключение

Путешествие по миру законов сохранения взаимодействия выявило их исключительную универсальность и фундаментальность, связывая воедино, казалось бы, разрозненные явления и разделы физики. От механических движений в классическом мире до тончайших взаимодействий элементарных частиц в квантовой реальности, эти принципы остаются неизменными стражами порядка и предсказуемости. Действительно, разве не удивительно, что столь разные масштабы бытия подчиняются одним и тем же незыблемым правилам?

Мы начали с изучения классических законов сохранения импульса, момента импульса и энергии, каждый из которых является прямым следствием фундаментальных симметрий пространства и времени. Закон сохранения импульса, обусловленный однородностью пространства, объясняет реактивное движение и столкновения. Закон сохранения момента импульса, вытекающий из изотропности пространства, описывает вращение планет и стабилизацию гироскопов. А универсальный закон сохранения энергии, связанный с однородностью времени, стал краеугольным камнем всей энергетики и опровержением идеи вечного двигателя.

Далее мы углубились в элегантную теорему Эмми Нётер, которая математически строго связала непрерывные симметрии физических систем с соответствующими законами сохранения. Это стало одним из величайших интеллектуальных достижений XX века, предоставив мощный методологический инструмент для понимания природы законов сохранения, выходящий за рамки простой эмпирики.

Обзор четырёх фундаментальных взаимодействий – гравитационного, электромагнитного, сильного и слабого – показал, как каждый из них определяет специфические аспекты структуры материи и эволюции Вселенной, а также какие законы сохранения строго выполняются или, наоборот, нарушаются в их рамках. Это понимание стало основой для Стандартной модели физики элементарных частиц.

Наконец, мы увидели, как законы сохранения получают новое осмысление в квантовой механике, где они проявляются через коммутацию операторов и обогащаются такими понятиями, как спин, барионный и лептонный заряды, странность и изоспин, что позволяет классифицировать элементарные частицы и предсказывать их поведение.

Прикладное значение этих законов невозможно переоценить. От навигационных систем, основанных на сохранении момента импульса, до революционных медицинских технологий, таких как МРТ и ПЭТ, использующих электромагнитное и слабое взаимодействия, и до ядерной энергетики, опирающейся на сильное взаимодействие, законы сохранения являются движущей силой научно-технического прогресса. Даже самые амбициозные проекты, такие как квантовые компьютеры, зиждутся на глубоком понимании этих фундаментальных принципов.

В заключение, законы сохранения – это не просто набор правил, а универсальный язык, на котором написана физическая реальность. Их изучение не только углубляет наше понимание Вселенной, но и служит неиссякаемым источником вдохновения для дальнейших научных открытий и технологических инноваций. Они напоминают нам, что в основе кажущегося хаоса мироздания лежит глубокий и гармоничный порядок.

Список использованной литературы

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. Т. 1. М. : Наука, 1988.
2. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗов. Оникс, 2006.
3. Инвариантность // Большая российская энциклопедия. М. : Большая Российская энциклопедия, 2008. Т. 11. С. 175.
4. Закон сохранения механической энергии — определение и формулы // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/zakon-sohraneniya-energii (дата обращения: 04.11.2025).
5. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия. Ускорители элементарных частиц — урок. Физика, 11 класс // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/11-klass/stroenie-veschestva-12003/elementarnye-chastitsy-fundamentalnye-vzaimodeistviia-uskoriteli-elementarnykh-chastits-12005/re-ed59828d-294b-4869-9ff7-fb8a38c4d51b (дата обращения: 04.11.2025).
6. Фундаментальные физические взаимодействия — понятие, типы, характеристики // Накрутка на vc.ru. URL: https://vc.ru/u/1614051-nakrutka-na-vc-ru/1283625-fundamentalnye-fizicheskie-vzaimodeystviya-ponyatie-tipy-harakteristiki (дата обращения: 04.11.2025).
7. 7. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ 7.1. Фундаментальные взаимодействия // bspu.b. URL: http://bspu.b-ok.xyz/book/2932971/d57662 (дата обращения: 04.11.2025).
8. Импульс // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznoe/view_post.php?id=301 (дата обращения: 04.11.2025).
9. Энергия // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/physics/energy.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
10. Инвариантность. Принципы симметрии и законы сохранения // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/4166297/page:14/ (дата обращения: 04.11.2025).
11. Закон сохранения импульса // КИПиС. URL: http://kipis.ru/articles/zakon-sohraneniya-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
12. Закон сохранения момента импульса // Элементы большой науки. URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430396/Zakon_sokhraneniya_momenta_impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
13. Закон сохранения момента импульса // Интернет-лицей ТПУ. URL: http://e-lite.lc.tpu.ru/index.php/physics/mechanics/6-2-zakon-sohraneniya-momenta-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
14. Закон сохранения энергии в тепловых процессах в науке физика // Моё обучение. URL: https://moe-obuchenie.ru/zakon-sohraneniya-energii-v-teplovyh-protsessah/ (дата обращения: 04.11.2025).
15. Закон сохранения и превращения энергии в механических и тепловых процессах // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/zakon-sohraneniya-i-prevrashcheniya-energii-v-mekhanicheskih-i-teplovyh-protsessah (дата обращения: 04.11.2025).
16. Свойства фундаментальных взаимодействий // Ядерная физика в интернете. URL: http://nuclphys.sinp.msu.ru/part/part01_3.htm (дата обращения: 04.11.2025).
17. Импульс тела. Импульс силы. Изменение импульса // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/impuls-tela-impuls-sily-izmenenie-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
18. Кинетическая энергия // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/kineticheskaya-energiya (дата обращения: 04.11.2025).
19. Импульс тела — урок. Физика, 9 класс // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/zakony-sokhraneniia-17688/impuls-tela-i-impuls-sily-17689/re-25ed0362-e645-47ff-b903-85f265b75b9f (дата обращения: 04.11.2025).
20. 6.1. Момент импульса частицы. Момент силы // Физические основы механики — МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра физики. URL: http://www.phys.bmstu.ru/library/book/15/glava_6_dinamika_vrashatelnogo_dvigenia_tverdog/6_1_moment_impulsa_chastitsy_moment_sily.html (дата обращения: 04.11.2025).
21. Какой бывает энергия: её виды и источники // Про Энергетику. URL: https://energy.su/kakoy-byvaet-energiya-eyo-vidy-i-istochniki/ (дата обращения: 04.11.2025).
22. Момент импульса материальной точки и твёрдого тела. Закон сохранения момента импульса // Облако знаний. URL: https://oblakoz.ru/moment-impulsa-materialnoj-tochki-i-tvyordogo-tela-zakon-sohraneniya-momenta-impulsa/ (дата обращения: 04.11.2025).
23. Импульс // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/physics/impuls.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
24. 1.3. Энергия. Виды энергии и их особенности // Энергетика: история, настоящее и будущее. URL: https://energy.su/kniga2/1-3-energiya-vidy-energii-i-ih-osobennosti/ (дата обращения: 04.11.2025).
25. Энергия в Полевой физике // Field Physics. URL: http://www.fieldphysics.ru/energy/ (дата обращения: 04.11.2025).
26. Сформулируйте закон сохранения энергии при тепловых процессах // Школьные Знания.com. URL: https://znanija.com/task/3494792 (дата обращения: 04.11.2025).
27. Физика фундаментальных взаимодействий // StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/308107/ (дата обращения: 04.11.2025).
28. Закон сохранения энергии // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 04.11.2025).
29. 6.2. Закон сохранения момента импульса // Физические основы механики — МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра физики. URL: http://www.phys.bmstu.ru/library/book/15/glava_6_dinamika_vrashatelnogo_dvigenia_tverdog/6_2_zakon_sohranenia_momenta_impulsa.html (дата обращения: 04.11.2025).
30. 4.8. Закон сохранения момента импульса // МИФИ. Физика. Механика. URL: http://physics.ru/courses/mipt/course1/content/chapter4/section/4.8.html (дата обращения: 04.11.2025).
31. Закон сохранения механической энергии // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/zakon-sohraneniya-mehanicheskoy-energii (дата обращения: 04.11.2025).
32. Закон сохранения импульса // Классическая механика. Учебник. URL: http://www.toehelp.ru/theory/physics/part1/lek4.html (дата обращения: 04.11.2025).
33. Закон сохранения импульса // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/zakon-sohraneniya-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
34. 1.4. Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии // ТПУ. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/s/SHTANAROV/ucheba/Tab/Section1_4.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
35. Лекции по физике Орловского государственного технического университета // ostu.ru. URL: http://ostu.ru (дата обращения: 04.11.2025).
36. Свободная энциклопедия // ru.wikipedia.org. URL: http://ru.wikipedia.org (дата обращения: 04.11.2025).