Что важно знать о криптографии перед изучением аффинного шифра
Криптография — это наука о защите информации путем ее преобразования так, чтобы она была понятна только адресату. В ее основе лежат ключевые понятия: шифрование (процесс превращения исходных данных, или открытого текста, в зашифрованное сообщение — шифротекст), дешифрование (обратный процесс восстановления исходных данных) и ключ — секретный параметр, без которого дешифрование невозможно.
Может показаться, что изучение старых и относительно простых алгоритмов, таких как аффинный шифр, не имеет практического смысла в эпоху сложных компьютерных систем. Однако это фундаментальная ошибка. Именно анализ таких базовых шифров позволяет понять эволюцию криптографической мысли и те принципы, на которых строятся даже самые современные и стойкие алгоритмы. Это своего рода «арифметика» перед изучением высшей математики.
Теперь, когда мы понимаем общие принципы, давайте определим точное место нашего главного героя — аффинного шифра — в этой большой истории.
Какое место аффинный шифр занимает в истории криптографии
Аффинный шифр — это классический представитель моноалфавитных подстановочных шифров. Это означает, что каждая буква исходного алфавита строго заменяется на одну и ту же букву в зашифрованном тексте. В этом он похож на знаменитый шифр Цезаря, но является его прямым математическим усложнением.
Если в шифре Цезаря каждая буква просто сдвигается на фиксированное количество позиций (например, ‘A’ всегда становится ‘D’, ‘B’ — ‘E’ и так далее), то аффинный шифр вводит в игру линейное преобразование. Он использует не один, а два параметра в ключе, что делает подстановку более сложной и менее предсказуемой по сравнению с простым сдвигом. Это все еще симметричная криптосистема, где для шифрования и дешифрования используется один и тот же секретный ключ.
Мы видим, что усложнение произошло за счет математики. Давайте погрузимся в самую суть этой математики и разберем формулу, которая лежит в его основе.
Как формула (ax + b) mod m стала основой шифра
В основе аффинного шифра лежит элегантная и простая математическая функция, которая описывает весь процесс преобразования буквы. Формула шифрования выглядит так:
E(x) = (ax + b) mod m
Давайте разберем каждый ее компонент, чтобы понять логику:
- x — это числовой код буквы открытого текста. Например, в английском алфавите, где A=0, B=1, C=2 и так далее, для буквы ‘C’ `x` будет равен 2.
- m — это модуль, который равен размеру используемого алфавита. Для английского алфавита `m` равен 26, для русского (без ‘ё’) — 32. Операция `mod m` (взятие остатка от деления на `m`) гарантирует, что результат вычислений всегда будет числом в пределах нашего алфавита.
- a и b — это два целых числа, которые вместе составляют секретный ключ. Параметр `a` отвечает за «перемешивание» или масштабирование алфавита, а параметр `b` — за его «сдвиг».
Проводя аналогию с шифром Цезаря, можно сказать, что шифр Цезаря — это частный случай аффинного шифра, где коэффициент `a` всегда равен 1. Именно введение множителя `a` делает аффинный шифр более гибким и криптографически интересным.
Формула работает только при правильных `a` и `b`. Теперь необходимо разобраться, какими должны быть эти параметры, чтобы шифр вообще был возможен.
Что представляют собой ключи ‘a’ и ‘b’ и почему от них зависит всё
Ключ в аффинном шифре — это пара чисел (a, b), которые определяют уникальное преобразование для каждой буквы. Однако не любая пара чисел подойдет. Если параметр `b` может быть практически любым целым числом в диапазоне от 0 до m-1, то к параметру `a` предъявляется одно критически важное требование.
Это требование звучит так: число `a` и размер алфавита `m` должны быть взаимно простыми. В математических терминах это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1.
Почему это так важно? Потому что только при выполнении этого условия для числа `a` существует так называемый модульный мультипликативный обратный элемент `a⁻¹`. Это специальное число, которое необходимо для процесса дешифрования, так как оно позволяет «отменить» умножение на `a`. Если НОД(a, m) не равен 1, такого обратного элемента не существует, и расшифровать сообщение станет невозможно.
Для стандартного латинского алфавита, где `m=26`, допустимыми значениями для `a` будут только те числа, которые не имеют общих делителей с 26 (кроме 1). Это числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Мы разобрали теорию и подготовили ключ. Настало время применить знания на практике и зашифровать наше первое сообщение.
Шифруем сообщение на практике, шаг за шагом
Давайте зашифруем слово «HELP» с использованием латинского алфавита (`m=26`) и ключа `(a=5, b=8)`. Мы будем действовать по четкому алгоритму для каждой буквы.
- Перевод буквы в число: Сопоставляем каждой букве ее порядковый номер (индекс), начиная с 0 (A=0, B=1, … , Z=25).
- Применение формулы: Подставляем полученный индекс `x` и параметры ключа в формулу `(5*x + 8) mod 26`.
- Перевод числа обратно в букву: Результат вычислений — это индекс новой, зашифрованной буквы.
Продемонстрируем это на нашем примере:
- Буква ‘H’ (индекс 7):
E(7) = (5 * 7 + 8) mod 26 = (35 + 8) mod 26 = 43 mod 26 = 17.
Индекс 17 соответствует букве ‘R’. - Буква ‘E’ (индекс 4):
E(4) = (5 * 4 + 8) mod 26 = (20 + 8) mod 26 = 28 mod 26 = 2.
Индекс 2 соответствует букве ‘C’. - Буква ‘L’ (индекс 11):
E(11) = (5 * 11 + 8) mod 26 = (55 + 8) mod 26 = 63 mod 26 = 11.
Индекс 11 соответствует букве ‘L’. - Буква ‘P’ (индекс 15):
E(15) = (5 * 15 + 8) mod 26 = (75 + 8) mod 26 = 83 mod 26 = 5.
Индекс 5 соответствует букве ‘F’.
Таким образом, зашифрованное слово «HELP» превращается в «RCLF».
Сообщение зашифровано. Теперь перед нами стоит обратная и более сложная задача — как, зная ключ, вернуть исходный текст?
Как происходит дешифрование и в чем заключается роль обратного элемента
Процесс дешифрования — это математическая операция, обратная шифрованию. Для этого используется соответствующая формула:
D(y) = a⁻¹(y — b) mod m
Здесь `y` — это числовой код зашифрованной буквы, `a` и `b` — наш знакомый ключ, а `a⁻¹` — тот самый модульный мультипликативный обратный элемент. Важно понимать, что `a⁻¹` — это не деление в привычном смысле. Это такое число, которое при умножении на `a` по модулю `m` дает в результате 1. Именно оно позволяет «нейтрализовать» эффект от первоначального умножения на `a`.
Давайте расшифруем наше сообщение «RCLF», используя ключ `(a=5, b=8)`. Сначала нам нужно найти `a⁻¹` для `a=5` по модулю 26. (Как это сделать, мы разберем в следующем разделе, а пока просто примем, что `a⁻¹ = 21`).
Теперь пошагово расшифруем сообщение:
- Буква ‘R’ (индекс 17):
D(17) = 21 * (17 — 8) mod 26 = 21 * 9 mod 26 = 189 mod 26 = 7.
Индекс 7 соответствует букве ‘H’. - Буква ‘C’ (индекс 2):
D(2) = 21 * (2 — 8) mod 26 = 21 * (-6) mod 26 = -126 mod 26 = 4.
Индекс 4 соответствует букве ‘E’. - Буква ‘L’ (индекс 11):
D(11) = 21 * (11 — 8) mod 26 = 21 * 3 mod 26 = 63 mod 26 = 11.
Индекс 11 соответствует букве ‘L’. - Буква ‘F’ (индекс 5):
D(5) = 21 * (5 — 8) mod 26 = 21 * (-3) mod 26 = -63 mod 26 = 15.
Индекс 15 соответствует букве ‘P’.
Исходное сообщение «HELP» успешно восстановлено.
Мы увидели, что весь процесс дешифрования зависит от загадочного `a⁻¹`. Логичный следующий шаг — научиться его находить.
Находим ‘a⁻¹’, или краткий экскурс в модульную арифметику
Нахождение модульного мультипликативного обратного `a⁻¹` — ключевой навык для работы с аффинным шифром. Существует два основных способа это сделать.
Для небольших модулей, как в нашем случае с `m=26`, можно использовать простой перебор. Мы ищем такое число `x` от 1 до 25, что `(a * x) mod 26 = 1`. Например, для `a=5` мы можем проверить несколько вариантов:
(5 * 1) mod 26 = 5
(5 * 3) mod 26 = 15
…
(5 * 21) mod 26 = 105 mod 26 = 1
Таким образом, мы нашли, что для `a=5` обратным элементом является `21`.
Для больших модулей ручной перебор неэффективен. «Золотым стандартом» для нахождения `a⁻¹` является расширенный алгоритм Евклида. Этот алгоритм позволяет быстро и эффективно найти модульное обратное для любых взаимно простых чисел `a` и `m`. Полное описание алгоритма выходит за рамки этой статьи, но важно знать о его существовании как об основном инструменте для решения этой задачи.
Теперь, когда мы досконально разобрались в механике работы шифра, пришло время посмотреть на него глазами противника и понять, почему он считается слабым.
Почему аффинный шифр не используется сегодня, или как его взломать
Несмотря на свою математическую элегантность, аффинный шифр не обеспечивает надежной защиты в современных условиях и считается слабым. Его уязвимости коренятся в самой его природе.
Главная слабость — это то, что он является моноалфавитным шифром подстановки. Каждая буква открытого текста всегда заменяется одной и той же буквой шифротекста (например, в нашем примере ‘H’ всегда становилась ‘R’). Это делает его уязвимым для частотного анализа. В любом достаточно длинном тексте на естественном языке буквы встречаются с определенной, хорошо известной частотой (например, в английском языке чаще всего встречаются ‘E’, ‘T’, ‘A’). Проанализировав частоту букв в шифротексте, криптоаналитик может сопоставить их с частотами языка и быстро восстановить исходные буквы.
Другая серьезная уязвимость — это малое пространство ключей. Для английского алфавита существует всего 12 допустимых значений для `a` и 26 для `b`, что дает лишь 312 возможных ключей. Современный компьютер может перебрать все эти комбинации (атака «грубой силой») за доли секунды.
Наконец, шифр подвержен атаке на основе известного открытого текста. Если злоумышленнику известна хотя бы одна пара соответствия «буква-шифробуква» (например, он предполагает, что шифротекст начинается со слова «ATTACK»), этого достаточно, чтобы составить систему линейных уравнений и математически вычислить ключ `(a, b)`.
Итак, мы изучили рождение шифра, его работу и его «смерть» от рук криптоаналитиков. Пора подвести итоги и оценить его наследие.
Элегантный урок криптографии: наследие аффинного шифра
Аффинный шифр — это прекрасный пример того, как простые концепции из линейной алгебры и модульной арифметики могут быть использованы для создания криптографической системы. Он демонстрирует ключевые принципы шифрования: преобразование на основе ключа, обратимость операции и важность правильного выбора параметров.
Несмотря на то что его уязвимости делают его совершенно непригодным для защиты реальных данных сегодня, он не потерял своей ценности. Аффинный шифр играет важнейшую образовательную роль, служа идеальным «учебным пособием» для тех, кто делает первые шаги в изучении криптографии. Понимание того, как он работает и почему его легко взломать, — это необходимый фундамент для осознания мощи и сложности тех алгоритмов, которые защищают нашу цифровую жизнь каждый день.