Метод Клемана-Дезорма: Всеобъемлющее руководство по определению отношения молярных теплоемкостей газа (Cₚ/Cᵥ)

В глубинах молекулярного мира, где энергия принимает самые разнообразные формы, понимание того, как вещество реагирует на подводимую теплоту, становится краеугольным камнем термодинамики. Теплоемкости газов не просто описывают количество энергии, необходимое для повышения температуры, но и раскрывают фундаментальные свойства молекулярной структуры и динамики. Актуальность изучения теплоемкостей газов простирается от фундаментальных исследований в физике и химии до инженерных расчетов в теплотехнике и двигателестроении. Среди классических экспериментальных подходов к определению одного из важнейших термодинамических параметров — показателя адиабаты (отношения молярных теплоемкостей Cₚ/Cᵥ) — особое место занимает метод Клемана-Дезорма. Разработанный ещё в начале XIX века, этот метод и по сей день является основой для лабораторных работ в технических и физических вузах, предлагая студентам не только познакомиться с физическими принципами, но и освоить навыки прецизионных измерений.

В данной главе мы совершим глубокое погружение в мир термодинамики газов, начиная с базовых определений теплоемкостей и первого начала термодинамики, переходя к детальному анализу адиабатического процесса и, наконец, исчерпывающе изложим теоретические и практические аспекты метода Клемана-Дезорма. Мы подробно рассмотрим конструкцию экспериментальной установки, пошаговую методику проведения измерений, тонкости обработки данных и углубленный анализ погрешностей, что позволит читателю не только понять, но и успешно реализовать этот классический эксперимент.

Молярные теплоемкости газа и первое начало термодинамики

В основе всех термодинамических процессов лежит понятие энергии и её превращений. Когда речь идёт о тепловых процессах в газах, ключевую роль играют теплоёмкости, которые раскрывают, как газ распределяет полученную энергию между изменением внутренней энергии и совершением работы.

Теплоёмкость: Удельная, молярная, Cₚ и Cᵥ

На базовом уровне теплоёмкость — это количественная мера способности вещества поглощать тепловую энергию. Теплоёмкость тела определяется как количество теплоты, необходимое для изменения его температуры на один градус. Однако эта величина зависит от массы тела и его агрегатного состояния. Для унификации вводят удельную теплоёмкость (c), которая представляет собой теплоёмкость единицы массы вещества (например, 1 кг) при изменении температуры на 1 К.

В термодинамике газов чаще оперируют молярной теплоёмкостью (C), представляющей собой теплоёмкость одного моля вещества (количество вещества, содержащее число Авогадро молекул) при изменении температуры на 1 К. Единицы измерения молярной теплоёмкости — Дж/(моль·К).

Принципиальное отличие теплоёмкости газов от теплоёмкости твёрдых тел и жидкостей заключается в её существенной зависимости от условий, при которых происходит нагревание, то есть от характера термодинамического процесса. Это связано с тем, что газы могут значительно изменять свой объём и, следовательно, совершать работу над окружающей средой или внешней средой над ними.

Различают два основных типа молярных теплоёмкостей для газов:

1. Молярная теплоёмкость при постоянном объёме (Cᵥ): Измеряется, когда газ нагревается в герметично закрытом сосуде, объём которого остаётся неизменным (изохорный процесс). В этом случае газ не совершает работы по расширению (поскольку ΔV = 0), и вся сообщаемая ему теплота идёт исключительно на увеличение его внутренней энергии.
2. Молярная теплоёмкость при постоянном давлении (Cₚ): Измеряется, когда газ нагревается, поддерживая постоянное давление (изобарный процесс). При таком нагревании газ расширяется, совершая работу над внешней средой. Таким образом, сообщаемая теплота расходуется не только на увеличение внутренней энергии, но и на совершение этой работы.

Из этого следует фундаментальное соотношение: Cₚ всегда больше, чем Cᵥ, поскольку при постоянном давлении газу требуется больше энергии не только для повышения температуры, но и для расширения, что напрямую связано с совершением работы. Для идеальных газов эта разность выражается известным уравнением Майера:

Cₚ - Cᵥ = R

где R — универсальная газовая постоянная. Эта константа является одной из фундаментальных физических величин, численное значение которой составляет примерно 8,314 Дж/(моль·К). Физический смысл универсальной газовой постоянной заключается в том, что она численно равна работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении его температуры на 1 К. Это отражает прямое преобразование тепловой энергии в механическую работу при изменении объёма газа.

Внутренняя энергия идеального газа и степени свободы молекул

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой суммарную кинетическую энергию хаотического движения всех его молекул. Важно отметить, что для идеального газа, где межмолекулярные взаимодействия считаются пренебрежимо малыми, внутренняя энергия зависит исключительно от температуры и не зависит от объёма или давления.

Зависимость внутренней энергии от температуры определяется числом степеней свободы (i) молекул газа. Степень свободы — это независимая координата, необходимая для полного описания положения и ориентации молекулы в пространстве, а также для описания её возможных движений (поступательного, вращательного, колебательного). Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы приходится средняя энергия, равная ½kT, где k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура.

Для различных типов молекул число степеней свободы различно:

• Одноатомные газы (He, Ne, Ar): Молекулы таких газов можно рассматривать как точечные частицы. Они обладают только тремя поступательными степенями свободы (движение вдоль осей x, y, z). Следовательно, i = 3.
• Двухатомные газы (H₂, O₂, N₂): Молекулы состоят из двух атомов, жёстко связанных друг с другом. Помимо трёх поступательных степеней свободы, они могут вращаться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы и перпендикулярных линии, соединяющей атомы. Таким образом, i = 3 (поступательные) + 2 (вращательные) = 5. Колебательные степени свободы обычно «замораживаются» при комнатных температурах.
• Многоатомные газы (CO₂, CH₄): Молекулы, состоящие из трёх и более атомов, помимо трёх поступательных степеней свободы, имеют три вращательные степени свободы вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей. Следовательно, i = 3 (поступательные) + 3 (вращательные) = 6. Колебательные степени свободы также могут быть активны при достаточно высоких температурах, увеличивая эффективное число степеней свободы.

Зная число степеней свободы, мы можем вывести формулы для молярных теплоёмкостей:

Внутренняя энергия одного моля идеального газа: U = (i/2)RT.

Для изохорного процесса (V = const), где вся сообщаемая теплота идёт на изменение внутренней энергии:

Cᵥ = (∂U/∂T)ᵥ = (∂/∂T)[(i/2)RT] = (i/2)R.

Используя уравнение Майера (Cₚ — Cᵥ = R), получаем молярную теплоёмкость при постоянном давлении:

Cₚ = Cᵥ + R = (i/2)R + R = ((i+2)/2)R.

Эти формулы демонстрируют глубокую связь макроскопических теплоёмкостей с микроскопической структурой молекул газа.

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам

Первое начало термодинамики является одним из фундаментальных законов природы, представляющим собой обобщение закона сохранения и превращения энергии на тепловые процессы. Его формулировка была результатом кропотливой работы выдающихся учёных середины XIX века. Немецкий врач и физик **Юлиус Роберт Майер** в 1842 году первым распространил закон сохранения механической энергии на термические явления, а затем и на все немеханические процессы. Английский физик **Джеймс Прескотт Джоуль** в 1843 году экспериментально обосновал этот закон, показав эквивалентность работы и теплоты. Наконец, немецкий физик **Герман Гельмгольц** в 1847 году, независимо от Майера, сформулировал закон сохранения энергии для всех её видов, что сыграло решающую роль в его общепризнании.

Математически первое начало термодинамики выражается следующим образом:

Q = ΔU + A

Где:

• Q — количество теплоты, сообщённое системе. Если система получает теплоту, Q > 0; если отдаёт, Q < 0.
• ΔU — изменение внутренней энергии системы. Если внутренняя энергия увеличивается, ΔU > 0; если уменьшается, ΔU < 0.
• A — работа, совершённая системой над внешними телами. Если система совершает работу, A > 0; если над системой совершают работу, A < 0.

Рассмотрим применение первого начала термодинамики к основным изопроцессам в идеальном газе:

1. Изохорный процесс (V = const):
   В этом процессе объём газа остаётся неизменным. Поскольку работа газа по расширению определяется как A = pΔV, а ΔV = 0, то и работа A = 0.
   Тогда первое начало термодинамики принимает вид:
   Q = ΔU
   Это означает, что вся теплота, сообщённая газу при постоянном объёме, идёт исключительно на изменение его внутренней энергии. На p-V диаграмме изохорный процесс изображается вертикальной линией.

Параметр	Начальное состояние	Конечное состояние
Давление	p₁	p₂
Объём	V	V
Температура	T₁	T₂

2. Изобарный процесс (p = const):
   В этом процессе давление газа остаётся постоянным, а объём изменяется. Газ совершает работу A = pΔV.
   Тогда первое начало термодинамики:
   Q = ΔU + pΔV
   В этом случае часть сообщаемой теплоты идёт на увеличение внутренней энергии газа, а часть — на совершение работы по расширению. На p-V диаграмме изобарный процесс изображается горизонтальной линией.

Параметр	Начальное состояние	Конечное состояние
Давление	p	p
Объём	V₁	V₂
Температура	T₁	T₂

Эти основные положения термодинамики служат фундаментом для понимания более сложных процессов, таких как адиабатический, который лежит в основе метода Клемана-Дезорма.

Адиабатический процесс и показатель адиабаты: Теория и вывод уравнений

Среди всех термодинамических процессов адиабатический процесс занимает особое место благодаря своей уникальной особенности — отсутствию теплообмена с окружающей средой. Понимание этого процесса критически важно для изучения метода Клемана-Дезорма.

Сущность адиабатического процесса

Адиабатический (или адиабатный) процесс — это термодинамический процесс, протекающий в системе без обмена теплотой с окружающей средой, то есть Q = 0.

Для реализации адиабатического процесса необходимо выполнение одного из двух условий (или их комбинации):

1. Теплоизоляция системы: Газ находится в теплоизолированном сосуде, стенки которого не пропускают теплоту.
2. Быстрота процесса: Расширение или сжатие газа происходит настолько быстро, что теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Именно это условие используется в методе Клемана-Дезорма.

Применяя первое начало термодинамики (Q = ΔU + A) к адиабатическому процессу, где Q = 0, получаем:

ΔU = -A или A = -ΔU

Это фундаментальное соотношение означает, что вся работа, совершаемая газом (A > 0), происходит за счёт убыли его внутренней энергии (ΔU < 0), что неизбежно приводит к понижению температуры газа. И наоборот, при совершении работы над газом (A < 0), его внутренняя энергия увеличивается (ΔU > 0), и газ нагревается.

Примеры:

• Адиабатическое расширение: Происходит при выходе газа из баллона или при быстром подъёме воздушных масс в атмосфере. Газ совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается, и он охлаждается.
• Адиабатическое сжатие: Например, при быстром сжатии воздуха в цилиндре дизельного двигателя. Над газом совершается работа, его внутренняя энергия увеличивается, и он нагревается.

Сравнение адиабатического и изотермического процессов на p-V диаграммах

Для наглядности сравним адиабатический процесс с изотермическим (T = const) на p-V диаграмме (рис. 1).

Рис. 1. Изотермический и адиабатический процессы на p-V диаграмме. Пунктирная линия — изотерма, сплошная линия — адиабата.

• Изотермическое расширение: Температура газа остаётся постоянной. Давление уменьшается обратно пропорционально объёму (закон Бойля-Мариотта: pV = const).
• Адиабатическое расширение: При расширении газ совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается, что приводит к понижению температуры. Из-за этого понижения температуры давление газа при том же увеличении объёма падает значительно быстрее, чем при изотермическом процессе. На p-V диаграмме адиабата идёт круче изотермы. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении давление падает не только из-за увеличения объёма, но и из-за снижения температуры.

Показатель адиабаты (γ) и его связь со степенями свободы

Показатель адиабаты (γ), также известный как коэффициент Пуассона, является одним из ключевых термодинамических параметров газа. Он определяется как отношение молярной теплоёмкости при постоянном давлении (Cₚ) к молярной теплоёмкости при постоянном объёме (Cᵥ):

γ = Cₚ/Cᵥ

Как было показано ранее, для идеального газа молярные теплоёмкости выражаются через число степеней свободы молекул (i):

Cᵥ = (i/2)R
Cₚ = ((i+2)/2)R

Подставляя эти выражения в формулу для γ, получаем его связь с числом степеней свободы:

γ = (((i+2)/2)R) / ((i/2)R) = (i+2)/i

Эта формула демонстрирует, что показатель адиабаты зависит исключительно от сорта газа, то есть от структуры его молекул и, соответственно, от числа их степеней свободы. Это делает γ ценной характеристикой, позволяющей судить о молекулярной структуре газа на основе макроскопических измерений.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса

Адиабатический процесс в идеальном газе описывается уравнением Пуассона, которое связывает параметры состояния газа (давление p, объём V, температура T).

Подробный вывод уравнения pV^γ = const

Начнём с первого начала термодинамики для адиабатического процесса в дифференциальной форме:

dQ = dU + δA = 0

где dU — изменение внутренней энергии, δA — элементарная работа.
Для одного моля идеального газа:
dU = CᵥdT
δA = pdV

Подставляя эти выражения в первое начало термодинамики:

CᵥdT + pdV = 0 (1)

Уравнение состояния идеального газа для одного моля:
pV = RT
Выразим температуру T = pV/R. Дифференцируем это уравнение:
dT = (1/R)(pdV + Vdp) (2)

Теперь подставим (2) в (1):

Cᵥ(1/R)(pdV + Vdp) + pdV = 0

Умножим все члены на R:

Cᵥ(pdV + Vdp) + RpdV = 0

Раскроем скобки:

CᵥpdV + CᵥVdp + RpdV = 0

Сгруппируем члены с pdV:

(Cᵥ + R)pdV + CᵥVdp = 0

Из уравнения Майера мы знаем, что Cᵥ + R = Cₚ. Подставим это:

CₚpdV + CᵥVdp = 0

Разделим все члены на CᵥpV:

(Cₚ/Cᵥ)(dV/V) + (dp/p) = 0

Поскольку Cₚ/Cᵥ = γ, получаем:

γ(dV/V) + (dp/p) = 0

Это дифференциальное уравнение. Интегрируем его:

γ∫(dV/V) + ∫(dp/p) = const'

γln(V) + ln(p) = const'

Используя свойство логарифмов ln(a) + ln(b) = ln(ab) и γln(V) = ln(Vγ):

ln(Vγ) + ln(p) = const'
ln(pVγ) = const'

Отсюда следует, что:

pVγ = const

Это и есть уравнение Пуассона в его наиболее распространённой форме.

Другие формы уравнения Пуассона

Используя уравнение состояния идеального газа pV = RT, можно получить и другие формы уравнения Пуассона:

1. Связь T и V:
   Из pV = RT выразим p = RT/V. Подставим в pVγ = const:
   (RT/V)Vγ = const
RTVγ-1 = const
   Поскольку R — константа, то:
   TVγ-1 = const
2. Связь T и p:
   Из pV = RT выразим V = RT/p. Подставим в pVγ = const:
   p(RT/p)γ = const
p(RγTγ/pγ) = const
RγTγp1-γ = const
   Поскольку Rγ — константа, то:
   Tγp1-γ = const

Эти три формы уравнения Пуассона позволяют анализировать адиабатический процесс, используя различные комбинации термодинамических параметров.

Теоретическое обоснование и принцип метода Клемана-Дезорма

Метод Клемана-Дезорма является классическим примером изобретательности ранних физиков, позволивших экспериментально определить ключевой параметр идеального газа — показатель адиабаты.

Исторический обзор и принцип метода

Метод, позволяющий определить отношение молярных теплоёмкостей газа (γ = Cₚ/Cᵥ), был предложен французскими учёными **Николя Клеманом (Nicolas Clément)**, профессором химии, и **Шарлем Дезормом (Charles-Bernard Desormes)**, владельцем химической фабрики, в **1819 году**. Их работа стала важным шагом в развитии экспериментальной термодинамики и до сих пор является основой для лабораторных работ в университетах по всему миру, демонстрируя элегантность и точность физических принципов.

Принцип метода Клемана-Дезорма основан на последовательном проведении двух термодинамических процессов с газом: адиабатического расширения и последующего изохорного нагревания.

Рассмотрим идеализированную последовательность состояний газа в сосуде:

Состояние 1 (Начальное):
Газ находится в герметичном сосуде при начальном давлении p₁, которое выше атмосферного p₀. Температура газа T₁ равна температуре окружающей среды. Объём газа V₁ равен объёму сосуда.
Параметры: (p₁, V₁, T₁).

Процесс 1-2 (Адиабатическое расширение):
Сосуд на очень короткое время (чтобы минимизировать теплообмен) соединяется с атмосферой через быстродействующий клапан. Газ начинает быстро расширяться, выходя из сосуда, пока его давление внутри сосуда не сравняется с атмосферным давлением p₀. Поскольку процесс происходит быстро, его можно считать адиабатическим (Q = 0). В результате расширения газ совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается, что приводит к понижению температуры до T₂ (T₂ < T₁). В этот момент объём газа в сосуде (то, что осталось) всё ещё равен V₁, но если бы газ расширялся до атмосферного давления вне сосуда, его объём занял бы V₂.
Параметры в конце процесса 1-2: (p₀, V₂, T₂). Здесь V₂ — гипотетический объём, который занял бы газ, находившийся в состоянии 1, если бы он полностью адиабатически расширился до давления p₀ при температуре T₂. Реально, после закрытия клапана, в сосуде остался газ с параметрами p₀, T₂, V₁.

Процесс 2-3 (Изохорное нагревание):
После закрытия клапана объём газа, оставшегося в сосуде, становится постоянным (V₁ = const). Газ, находящийся при пониженной температуре T₂, начинает обмениваться теплотой с окружающей средой через стенки сосуда. Происходит медленное изохорное нагревание до тех пор, пока температура газа не выровняется с первоначальной температурой окружающей среды T₁. При этом его давление повышается до некоторого значения p₃ (p₀ < p₃ < p₁).
Параметры в конце процесса 2-3: (p₃, V₁, T₁).

Иллюстрация на p-V диаграмме:

Рис. 2. Термодинамические процессы в методе Клемана-Дезорма.

На диаграмме:

• 1 → 2: Адиабатическое расширение. Кривая идёт круче изотермы. Давление падает с p₁ до p₀, температура с T₁ до T₂.
• 2 → 3: Изохорное нагревание. Вертикальная линия. Объём остаётся V₁, давление растёт с p₀ до p₃, температура с T₂ до T₁.
• 1 → 3': Изотермический процесс. Пунктирная линия, соответствующая температуре T₁. Показана для сравнения. Давление в точке 3' было бы p₀, если бы процесс 1-2 был изотермическим.

Вывод рабочей формулы для показателя адиабаты

Для вывода основной расчётной формулы метода Клемана-Дезорма последовательно применим уравнения термодинамики к описанным процессам.

1. Адиабатический процесс 1-2:
   Для этого процесса справедливо уравнение Пуассона:
   p₁V₁γ = p₀V₂γ (1)
   Отсюда:
   (V₂/V₁)γ = p₁/p₀ (2)

2. Изохорный процесс 2-3:
   В этом процессе объём газа остаётся постоянным (V₂=V₁, если мы рассматриваем весь газ в сосуде, который нагревается от T₂ до T₁, при этом его давление изменяется от p₀ до p₃). Используем закон Шарля (или уравнение Клапейрона-Менделеева для постоянного объёма):
   p₀/T₂ = p₃/T₁ (3)
   Отсюда:
   T₂/T₁ = p₀/p₃ (4)

3. Связь адиабатического процесса с температурой:
   Мы также знаем другую форму уравнения Пуассона, связывающую температуру и объём: TVγ-1 = const. Применим её к процессу 1-2:
   T₁V₁γ-1 = T₂V₂γ-1 (5)
   Отсюда:
   T₁/T₂ = (V₂/V₁)γ-1 (6)

Теперь подставим (4) в (6):

p₃/p₀ = (V₂/V₁)γ-1 (7)

Из (2) мы можем выразить V₂/V₁:

V₂/V₁ = (p₁/p₀)1/γ (8)

Подставим (8) в (7):

p₃/p₀ = ((p₁/p₀)1/γ)γ-1 = (p₁/p₀)(γ-1)/γ

Чтобы найти γ, прологарифмируем обе части уравнения:

ln(p₃/p₀) = ((γ-1)/γ)ln(p₁/p₀)

Отсюда:

(γ-1)/γ = ln(p₃/p₀) / ln(p₁/p₀)

1 - 1/γ = ln(p₃/p₀) / ln(p₁/p₀)

1/γ = 1 - ln(p₃/p₀) / ln(p₁/p₀)

1/γ = (ln(p₁/p₀) - ln(p₃/p₀)) / ln(p₁/p₀)

И наконец, получаем основную рабочую формулу:

γ = ln(p₁/p₀) / (ln(p₁/p₀) - ln(p₃/p₀))

Или, используя свойство логарифмов ln(A) - ln(B) = ln(A/B):

γ = ln(p₁/p₀) / ln((p₁/p₀) / (p₃/p₀)) = ln(p₁/p₀) / ln(p₁/p₃)

Детализация упрощения формулы для малых изменений давления

В лабораторных условиях, где избыточные давления невелики, удобно использовать приближённые формулы, которые значительно упрощают расчёты.

Пусть p₁ = p₀ + Δp', где Δp' — начальное избыточное давление над атмосферным.
Пусть p₃ = p₀ + Δp'', где Δp'' — конечное избыточное давление над атмосферным.

Тогда:
p₁/p₀ = (p₀ + Δp')/p₀ = 1 + Δp'/p₀
p₃/p₀ = (p₀ + Δp'')/p₀ = 1 + Δp''/p₀

Используя приближение ln(1+x) ≈ x для малых x (где x << 1), что справедливо, если Δp'/p₀ и Δp''/p₀ малы:

ln(1 + Δp'/p₀) ≈ Δp'/p₀
ln(1 + Δp''/p₀) ≈ Δp''/p₀

Подставляем эти приближения в формулу для γ:

γ ≈ (Δp'/p₀) / ((Δp'/p₀) - (Δp''/p₀))

Умножая числитель и знаменатель на p₀, получаем:

γ ≈ Δp' / (Δp' - Δp'')

Эта упрощённая формула значительно облегчает расчёты.

Адаптация для жидкостного манометра

В лабораторной практике для измерения разности давлений часто используется жидкостный U-образный манометр. Такой манометр измеряет не абсолютное давление, а разность давлений между газом в сосуде и атмосферой.

Если h₁ — разность уровней жидкости в манометре, соответствующая начальному избыточному давлению Δp' = p₁ - p₀, то Δp' = ρgh₁, где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
Если h₂ — разность уровней жидкости в манометре, соответствующая конечному избыточному давлению Δp'' = p₃ - p₀, то Δp'' = ρgh₂.

Подставляя эти выражения в упрощённую формулу:

γ = (ρgh₁) / (ρgh₁ - ρgh₂) = h₁ / (h₁ - h₂)

Эта формула является наиболее удобной и часто используемой в лабораторных работах по методу Клемана-Дезорма. Она позволяет определить показатель адиабаты, измеряя только разности высот столба жидкости в манометре.

Экспериментальная установка, методика проведения и источники погрешностей

Успех любого физического эксперимента во многом зависит от точности оборудования и строгого соблюдения методики. Метод Клемана-Дезорма не исключение.

Описание экспериментальной установки

Типичная экспериментальная установка для определения показателя адиабаты методом Клемана-Дезорма, несмотря на свою относительную простоту, включает несколько ключевых компонентов, каждый из которых играет свою роль в проведении измерений.

1. Герметичный стеклянный баллон (сосуд): Это основной элемент, содержащий исследуемый газ (обычно воздух). Баллон имеет относительно большой объём (часто около 10-20 литров), чтобы минимизировать влияние теплообмена через стенки на общую теплоёмкость газа и обеспечить достаточно медленное остывание после адиабатического расширения. Стеклянный материал предпочтителен из-за его низкой теплопроводности и прозрачности, что позволяет контролировать внутреннее состояние.
2. Насос (компрессор): Используется для нагнетания воздуха (или другого исследуемого газа) в баллон, создавая избыточное давление p₁ над атмосферным p₀. Обычно это небольшой электрический компрессор, оснащённый выключателем и индикатором работы.
3. Жидкостный U-образный манометр: Прибор для измерения разности давлений. Он состоит из стеклянной U-образной трубки, частично заполненной манометрической жидкостью. В качестве такой жидкости может использоваться вода, но чаще применяется масло (например, трансформаторное), так как оно имеет меньшую плотность, что позволяет измерять меньшие перепады давления с большей точностью, а также обладает меньшей испаряемостью. Манометр оснащён измерительной линейкой (шкалой) для точного отсчёта уровня жидкости в обоих коленах. Разность уровней h напрямую связана с разностью давлений.
4. Быстродействующий клапан: Это критически важный элемент. Он предназначен для кратковременного сообщения внутренней полости баллона с атмосферой. Клапан должен обеспечивать максимально быстрое открытие и закрытие, чтобы процесс расширения газа был как можно ближе к адиабатическому. Часто это простой шаровой или пробковый кран, управляемый вручную.
5. Кран отсечения компрессора: Дополнительный кран, который отделяет баллон от компрессора после нагнетания газа. Это предотвращает обратный отток газа и утечки через насос.
6. Термометр (опционально): Для контроля температуры окружающей среды и подтверждения установления теплового равновесия. В большинстве простых лабораторных работ достаточно предполагать, что температура газа равна температуре окружающей среды после некоторого времени ожидания.

Схематическое изображение установки:

      +---------------------+
      |                     |
      |       Баллон        |
      |    (исследуемый     |
      |         газ)        |
      |                     |
      +--------+------------+
               |
         +-----+-----+
         |           |
         | Клапан    |
         | (быстрый) |
         |           |
         +-----+-----+
               |
      +--------+------------+
      |       |             |
      |       |             |
      |  Манометр           |
      |  (U-образный,       |
      |  жидкостный         |
      |  с шкалой)          |
      |       |             |
      +-------+-------------+
               |
         +-----+-----+
         |           |
         | Компрессор|
         | (насос)   |
         |           |
         +-----------+

Рис. 3. Схематическое изображение установки Клемана-Дезорма.

Пошаговая методика проведения лабораторной работы

Точное следование методике — залог получения достоверных результатов.

1. Подготовка к эксперименту:
   • Убедитесь, что все соединения герметичны.
   • Проверьте уровень жидкости в манометре и убедитесь, что он находится на нулевой отметке (или соответствующей базовому атмосферному давлению) при открытом клапане.
   • Установите кран отсечения компрессора в закрытое положение, чтобы газ не поступал в баллон, пока не будет включён насос.
2. Нагнетание воздуха:
   • Включите компрессор.
   • Нагнетайте воздух в баллон до достижения заданной разности уровней манометрической жидкости h₁. Обычно это значение устанавливается в диапазоне от 150 до 300 мм водяного столба (или эквивалентное для масла), чтобы обеспечить достаточное, но не чрезмерное избыточное давление.
   • Закройте кран отсечения компрессора и выключите компрессор.
3. Ожидание теплового равновесия (T₁):
   • После сжатия газ в баллоне нагревается. Для обеспечения адекватности теоретической модели необходимо дождаться, пока температура газа внутри баллона выровняется с температурой окружающей среды. Это может занять от 5 до 15 минут в зависимости от объёма баллона и разницы температур.
   • Как только температура стабилизируется, отсчитайте начальную разность уровней жидкости в манометре, соответствующую h₁ (p₁ - p₀). Зафиксируйте это значение.
4. Адиабатическое расширение:
   • Быстро (но плавно, без рывков) откройте и немедленно закройте клапан, соединяющий баллон с атмосферой. Длительность открывания клапана должна быть минимальной — всего 1-2 секунды. Это обеспечивает максимально адиабатический характер процесса. При открытии клапана газ быстро расширяется, давление падает до атмосферного, и газ охлаждается.
5. Ожидание повторного теплового равновесия (T₁):
   • После адиабатического расширения и закрытия клапана, газ в баллоне снова оказывается при пониженной температуре T₂, но его давление уже поднялось до p₀. Теперь газ, оставшийся в баллоне, будет постепенно нагреваться от T₂ до T₁ (температуры окружающей среды), что приведёт к росту его давления до p₃.
   • Дождитесь повторного установления теплового равновесия (5-15 минут).
   • Отсчитайте конечную разность уровней жидкости в манометре, соответствующую h₂ (p₃ - p₀). Зафиксируйте это значение.
6. Повторение измерений:
   • Повторите шаги 2-5 несколько раз (рекомендуется не менее 10-15 раз). Это позволяет усреднить результаты и минимизировать влияние случайных погрешностей.
   • Перед началом серии основных измерений целесообразно провести 2-3 "холостых" опыта. Это поможет "прогреть" стенки сосуда до стабильной температуры окружающей среды, что снизит влияние теплообмена со стенками в ходе основных измерений.

Обработка данных, расчёты и углублённый анализ погрешностей

Последовательность действий по обработке данных и анализу результатов критически важна для получения корректного значения показателя адиабаты.

1. Расчёт показателя адиабаты:
   Для каждого измерения (пары h₁ и h₂) рассчитайте значение γ по формуле:
   γ = h₁ / (h₁ - h₂)
2. Вычисление среднего значения:
   Поскольку было проведено несколько измерений, необходимо вычислить среднее значение показателя адиабаты:
   γср = (Σγi) / N
   где γi — значение, полученное в i-том измерении, а N — общее количество измерений.
3. Анализ погрешностей:
   Определение показателя адиабаты методом Клемана-Дезорма подвержено как случайным, так и систематическим погрешностям. Понимание их природы позволяет оценить точность результатов и разработать методы их минимизации.

   Источники систематических погрешностей:

   • Недостаточная адиабатичность процесса 1-2: Главное допущение метода — это адиабатичность первого процесса (Q=0). Однако на практике клапан открывается на конечное время (1-2 секунды), и за это время может произойти некоторый теплообмен между газом и стенками сосуда, а также с окружающей средой. Если теплообмен значителен, процесс становится не адиабатическим, а политропическим, с показателем политропы n, который лежит между 1 (изотермический процесс) и γ (адиабатический процесс). Это приводит к завышению или занижению измеренного значения γ в зависимости от направления теплообмена.
   • Теплообмен через стенки сосуда: Стенки сосуда имеют конечную теплопроводность и теплоёмкость. При быстром расширении газ охлаждается, и начинается теплообмен со стенками. Это нарушает идеальную адиабатичность. Для минимизации этого эффекта используют баллоны большого объёма (меньшее отношение площади поверхности к объёму) и предварительный "прогрев" сосуда.
   • Неидеальность газа: Метод основан на модели идеального газа. Реальные газы (особенно при высоких давлениях или низких температурах) отклоняются от идеального поведения из-за межмолекулярных взаимодействий и собственного объёма молекул. Эти отклонения могут привести к систематическому смещению измеренного значения γ.
   • Погрешности калибровки манометра: Неточности в шкале манометра или неровность трубки.

   Источники случайных погрешностей:

   • Погрешности отсчёта по манометру: Определение точного уровня жидкости визуально всегда связано с некоторой неопределённостью. Это особенно актуально, если мениск жидкости нечёткий или колеблется.
   • Неточность момента открывания/закрывания клапана: Человеческий фактор может влиять на длительность адиабатического процесса, вызывая небольшие флуктуации в условиях эксперимента.
   • Колебания атмосферного давления: Хотя обычно атмосферное давление считается постоянным в течение короткого эксперимента, его незначительные изменения могут влиять на конечные результаты, особенно при очень точных измерениях.

   Методы минимизации погрешностей и повышения точности:

   • Многократные измерения: Основной способ уменьшения влияния случайных погрешностей. Усреднение результатов значительно повышает точность.
   • Строгое соблюдение времени ожидания: Важно дать газу полностью выровнять температуру с окружающей средой до и после адиабатического процесса.
   • Максимально быстрое оперирование клапаном: Сокращение времени открывания клапана до долей секунды.
   • Использование высокоточного манометра: С мелкой шкалой делений и чёткой манометрической жидкостью.
   • Контроль температуры окружающей среды: Обеспечение стабильности внешней температуры.
   • Применение поправок на неидеальность газа: Для очень точных измерений можно вводить поправки, используя уравнения состояния реальных газов (например, Ван-дер-Ваальса).

   Пример расчёта погрешности (методом максимальной погрешности):
   Пусть абсолютные погрешности измерения h₁ и h₂ равны Δh₁ и Δh₂ соответственно (например, Δh = 1 мм).
   Относительная погрешность γ:
   δγ = |(∂γ/∂h₁)Δh₁| + |(∂γ/∂h₂)Δh₂|
∂γ/∂h₁ = (h₁ - h₂ - h₁) / (h₁ - h₂)2 = -h₂ / (h₁ - h₂)2
∂γ/∂h₂ = h₁ / (h₁ - h₂)2
   Значит,
   Δγ = |-h₂ / (h₁ - h₂)2|Δh₁ + |h₁ / (h₁ - h₂)2|Δh₂
   Предполагая Δh₁ = Δh₂ = Δh, получаем:
   Δγ = (h₁ + h₂) / (h₁ - h₂)2 ⋅ Δh

   Для типичных значений, например, h₁ = 200 мм, h₂ = 150 мм, Δh = 1 мм:
   γ = 200 / (200 - 150) = 200 / 50 = 4.0 (Это гипотетическое значение для примера, не реальное для воздуха.)
   Δγ = (200 + 150) / (200 - 150)2 ⋅ 1 = 350 / 502 ⋅ 1 = 350 / 2500 = 0.14
   Тогда γ = 4.0 ± 0.14. Относительная погрешность составит (0.14 / 4.0) ⋅ 100% = 3.5%.

   ��тот детальный подход к анализу погрешностей позволяет студентам не только получить результат, но и критически оценить его достоверность. Как же полученные значения соотносятся с теоретическими предсказаниями для разных газов?

Типичные значения показателя адиабаты для различных газов и реальные отклонения

Показатель адиабаты γ является важной характеристикой газа, которая напрямую связана с его молекулярной структурой. Идеальная газовая модель позволяет теоретически предсказать его значение для разных типов газов.

Теоретические значения γ для идеальных газов

Как мы уже вывели, показатель адиабаты для идеального газа определяется формулой:

γ = (i+2)/i

Где i — число степеней свободы молекул газа.

Рассмотрим типичные значения для различных классов газов:

1. Одноатомные газы (i = 3):
   Молекулы одноатомных газов (таких как гелий He, неон Ne, аргон Ar) имеют только три поступательные степени свободы.
   γ = (3+2)/3 = 5/3 ≈ 1.67.
   Это теоретическое значение хорошо согласуется с экспериментальными данными для этих газов при нормальных условиях.
2. Двухатомные газы (i = 5):
   Молекулы двухатомных газов (таких как водород H₂, азот N₂, кислород O₂, а также воздух, который представляет собой смесь преимущественно азота и кислорода) при комнатных температурах обладают тремя поступательными и двумя вращательными степенями свободы. Колебательные степени свободы обычно "заморожены" при этих температурах.
   γ = (5+2)/5 = 7/5 = 1.4.
   Воздух, будучи смесью двухатомных газов, также имеет показатель адиабаты, близкий к 1.4.
3. Многоатомные газы (i = 6):
   Молекулы многоатомных газов (например, углекислый газ CO₂, метан CH₄) имеют три поступательные и три вращательные степени свободы. В некоторых случаях при высоких температурах могут активироваться и колебательные степени свободы, что приведёт к увеличению i и, соответственно, уменьшению γ.
   γ = (6+2)/6 = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.

Сводная таблица теоретических значений γ:

Тип газа	Число степеней свободы (i)	Показатель адиабаты (γ = (i+2)/i)	Примеры газов
Одноатомный	3	5/3 ≈ 1.67	He, Ne, Ar
Двухатомный	5	7/5 = 1.4	H₂, N₂, O₂, воздух
Многоатомный	6	8/6 ≈ 1.33	CO₂, CH₄

Отклонения для реальных газов и влияние температуры

Теоретические значения γ получены в рамках модели идеального газа и с допущением о "замороженных" колебательных степенях свободы. Для реальных газов могут наблюдаться отклонения от этих идеальных значений по нескольким причинам:

1. Межмолекулярные взаимодействия: В отличие от идеального газа, молекулы реальных газов взаимодействуют между собой (силы притяжения и отталкивания). Эти взаимодействия влияют на внутреннюю энергию газа, которая начинает зависеть не только от температуры, но и от объёма, что изменяет теплоёмкости и, следовательно, γ. Отклонения становятся более заметными при высоких давлениях (когда молекулы находятся ближе друг к другу) и низких температурах (когда кинетическая энергия молекул недостаточна для преодоления сил притяжения).
2. Квантовые эффекты и влияние температуры: Теория числа степеней свободы и их вклада в теплоёмкость основана на классической статистической физике. Однако при низких температурах вступают в силу квантовые эффекты. Некоторые степени свободы (особенно вращательные и колебательные) не "активируются" до тех пор, пока температура не достигнет определённого порогового значения, при котором энергия теплового движения становится достаточной для возбуждения этих движений.
   • При очень низких температурах даже двухатомные газы могут вести себя как одноатомные (только поступательные степени свободы активны), и их γ будет стремиться к 1.67.
   • При повышении температуры активируются вращательные степени свободы (γ становится 1.4 для двухатомных).
   • При ещё более высоких температурах активируются колебательные степени свободы, что увеличивает эффективное число степеней свободы (например, для двухатомного газа i может стать 7: 3 поступательные + 2 вращательные + 2 колебательные), и γ будет уменьшаться до 9/7 ≈ 1.29.

   Таким образом, значение показателя адиабаты для одного и того же газа не является абсолютно постоянным и может зависеть от температурного диапазона.

3. Показатель адиабаты для смесей газов: Если газ является смесью из молекул с разным числом степеней свободы (например, воздух), то его показатель адиабаты усредняется. Для смеси газов γ является сложной функцией мольных долей компонентов и их индивидуальных теплоёмкостей. В общем случае, для смеси газов:
   γсмеси = (ΣnjCp,j) / (ΣnjCv,j)

   где nj — количество молей j-го компонента, Cp,j и Cv,j — молярные теплоёмкости j-го компонента.
   Часто для воздуха (около 78% N₂ и 21% O₂, оба двухатомные газы) принимается γ ≈ 1.4, что хорошо согласуется с экспериментами при комнатной температуре.

Понимание этих нюансов позволяет не только интерпретировать результаты эксперимента Клемана-Дезорма, но и учитывать их ограничения при работе с реальными газами в различных условиях.

Заключение и контрольные вопросы

Мы завершаем наше погружение в мир термодинамических теплоёмкостей и метода Клемана-Дезорма. Этот классический экспериментальный подход, разработанный почти два века назад, продолжает оставаться фундаментальным инструментом для изучения свойств газов и иллюстрации ключевых принципов термодинамики. Он наглядно демонстрирует взаимосвязь между макроскопическими параметрами (давление, объём, температура) и микроскопическими характеристиками молекул (число степеней свободы).

Метод Клемана-Дезорма, основанный на анализе адиабатического расширения и последующего изохорного нагревания, позволяет студентам не только вычислить показатель адиабаты, но и глубоко осознать природу теплоёмкостей, роль первого начала термодинамики и особенности адиабатических процессов. Несмотря на свою простоту, метод требует внимательности и аккуратности в проведении измерений и учёте потенциальных погрешностей.

Изучение метода Клемана-Дезорма не ограничивается лишь определением численного значения γ. Оно является важным шагом в развитии физического мышления, учит анализировать экспериментальные данные, критически оценивать результаты и понимать ограничения идеализированных моделей в реальном мире.

Контрольные вопросы для самопроверки и закрепления материала:

1. В чём заключается физический смысл молярных теплоёмкостей Cₚ и Cᵥ, и почему Cₚ всегда больше Cᵥ для газов?
2. Сформулируйте первое начало термодинамики. Как оно применяется к изохорному и изобарному процессам? Проиллюстрируйте эти процессы на p-V диаграмме.
3. Что такое адиабатический процесс? Каковы условия его протекания? Объясните изменение температуры газа при адиабатическом расширении и сжатии.
4. Почему адиабата на p-V диаграмме идёт круче изотермы?
5. Дайте определение показателя адиабаты (γ). Как он связан с числом степеней свободы молекул идеального газа? Приведите теоретические значения γ для одноатомных, двухатомных и многоатомных газов.
6. Выведите уравнение Пуассона (pVγ = const) из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа.
7. Опишите последовательность термодинамических процессов, лежащих в основе метода Клемана-Дезорма. Изобразите их на p-V диаграмме.
8. Выведите основную рабочую формулу для определения показателя адиабаты γ = h₁ / (h₁ - h₂), объяснив использованные приближения.
9. Перечислите основные элементы экспериментальной установки Клемана-Дезорма и объясните назначение каждого компонента.
10. Какие этапы включает в себя проведение лабораторной работы по определению показателя адиабаты? Назовите ключевые моменты, требующие особого внимания.
11. Какие основные источники погрешностей могут влиять на точность измерений в методе Клемана-Дезорма? Предложите способы их минимизации.
12. Почему реальные газы могут иметь значения γ, отличающиеся от теоретических? Как влияет температура на число активных степеней свободы и, как следствие, на γ?

Возможные направления для дальнейших исследований или модификаций эксперимента:

• Изучение температурной зависимости γ: Модификация установки для проведения измерений при различных начальных температурах газа.
• Использование различных газов: Расширение эксперимента на другие газы (например, CO₂, Ar) для подтверждения теоретических значений γ.
• Сравнение с изотермическим процессом: Проведение отдельного эксперимента по изотермическому расширению для более наглядного сравнения с адиабатическим.
• Автоматизация измерений: Использование электронных датчиков давления и температуры, а также автоматизированного клапана для повышения точности и сокращения времени эксперимента.
• Учёт неидеальности газа: Применение более сложных термодинамических моделей для учёта отклонений реальных газов, особенно при высоких давлениях.

Надеемся, что данное руководство послужит надёжной основой для глубокого понимания и успешного выполнения лабораторной работы по определению показателя адиабаты методом Клемана-Дезорма, а также вдохновит на дальнейшее изучение удивительного мира термодинамики.

Список использованной литературы

1. Работа идеального газа в различных процессах. Молекулярная физика и термодинамика. URL: http://kvant.mirror1.mccme.ru/ (дата обращения: 12.10.2025).
2. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе. URL: https://elib.bspu.by/bitstream/doc/20349/1/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%204.%20%D0%93%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%8B.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
3. Определение показателя адиабаты. URL: https://www.urups.ru/upload/iblock/c38/Vtnjlbxrf%20gj%20abpbrb.doc (дата обращения: 12.10.2025).
4. Первый закон термодинамики. Как рассказать просто о сложном? URL: https://prosv.ru/blog/498875 (дата обращения: 12.10.2025).
5. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа: Адиабатный процесс. URL: https://profizika.ru/physics/10-klass/glava-2-osnovy-termodinamiki/paragraf-14-pervyj-zakon-termodinamiki-primenenie-pervogo-zakona-termodinamiki-k-izoprotsessam-izmeneniya-sostoyaniya-idealnogo-gaza-adiabatnyj-protsess (дата обращения: 12.10.2025).
6. Работа в термодинамике. URL: https://ege.examer.ru/fizika/termalnye-yavleniya/rabota-v-termodinamike (дата обращения: 12.10.2025).
7. Первое начало термодинамики. URL: https://www.bspu.by/m/courses/1902/document/432_%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_12_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
8. Работа газа. Физика. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/rabota-gaza (дата обращения: 12.10.2025).
9. Первое начало термодинамики. Физика. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/pervoe-nachalo-termodinamiki (дата обращения: 12.10.2025).
10. Работа идеального газа при различных процессах. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/s/SVE/uchebniki_i_posobiya/Tab2/TabContent/term1/rab.htm (дата обращения: 12.10.2025).
11. Определение отношения теплоемкостей воздуха методом Клемана-Дезорма. URL: http://www.phys.unn.ru/data/labs/term_mol/20.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
12. Лабораторная работа №2. Метод Клемана-Дезорма. URL: https://www.mgri.ru/upload/iblock/c2f/lab_rab_2.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
13. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа. URL: https://profizika.ru/physics/10-klass/glava-2-osnovy-termodinamiki/paragraf-14-pervyj-zakon-termodinamiki-primenenie-pervogo-zakona-termodinamiki-k-izoprotsessam-izmeneniya-sostoyaniya-idealnogo-gaza (дата обращения: 12.10.2025).
14. Определение показателя адиабаты воздуха методом Клемана-Дезорма. URL: https://www.tyuiu.ru/wp-content/uploads/2021/03/Opredelenie-pokazatelya-adiabaty-vozduha-metodom-Klemana-Dezorma.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
15. Тема 7 Первое начало термодинамики. URL: https://mgimo.ru/upload/iblock/562/5628b0789ce864ef0529d47d0f993d0d.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
16. Работа газа при изопроцессах. Первый закон термодинамики. URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/b-termodinamika-10-klass/rabota-gaza-pri-izoprotsessah-pervyy-zakon-termodinamiki (дата обращения: 12.10.2025).
17. Адиабатический процесс. Вывод уравнения Пуассона. Показатель адиабаты. URL: https://b2b-energo.ru/files/f1666427494/5-adiabaticheskiy-process-vivod-uravneniya-puassona.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
18. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа: Изобарный процесс. URL: https://school-collection.edu.ru/catalog/res/496f8c7e-b9ee-4f9e-a89e-272ec86a760b/view/ (дата обращения: 12.10.2025).
19. 3.9. Первый закон термодинамики. URL: https://www.college.ru/physics/course/content/chapter3/section9/paragraph2/theory.html (дата обращения: 12.10.2025).
20. 7. Адиабатный процесс. URL: https://ege.phystech.edu/data/uploads/term_2_7_adiabat.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
21. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа: Изохорный процесс. URL: https://school-collection.edu.ru/catalog/res/e1d7d2a5-48b8-4c38-8e6c-0e24b4ce63b7/view/ (дата обращения: 12.10.2025).
22. Определение адиабатной постоянной газа методом Клемана - Дезорма. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/107775/1/978-5-7996-3306-0_2022_01.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
23. Лабораторная работа №7. Изучение адиабатического расширения воздуха. Определение показателя адиабаты методом Клемана-Дезорма. URL: https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/220800/1/%D0%9B%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0_7.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
24. Определение показателя адиабаты воздуха Сp ⁄Сv методом Клемана-Дезор. URL: https://stud.me/doc/171505/opredelenie-pokazatelya-adiabaty-vozduha-sp-sv-metodom-klemana-dezor (дата обращения: 12.10.2025).
25. Определение с р⁄с v воздуха модифицированным методом Клемана-Дезорма. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/opredelenie-s-r-s-v-vozduha-modifitsirovannym-metodom-klemana-dezorma/viewer (дата обращения: 12.10.2025).
26. Адиабатный процесс. Физика, Термодинамика. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/adiabatnyy-protsess (дата обращения: 12.10.2025).
27. Первый закон термодинамики. Адиабатный процесс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/10-klass/osnovy-termodinamiki-390779/pervyi-zakon-termodinamiki-adiabatnyi-protsess-407634/re-1871a398-3162-4217-a065-2767c699042b (дата обращения: 12.10.2025).
28. Теплоемкость. Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия. URL: https://megabook.ru/article/%D0%A2%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%B5%D0%BC%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C (дата обращения: 12.10.2025).
29. Определение показателя адиабаты воздуха. URL: https://math.isu.ru/ru/science/work/metodich/physics/part_01/05.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
30. Теплоёмкость идеального газа. URL: https://fizika.ru/teoriya/razdel-8/teploemkost-idealnogo-gaza.php (дата обращения: 12.10.2025).
31. Уравнение Пуассона - онлайн справочник для студентов. URL: https://homework.ru/spravochnik/fizika/uravnenie-puassona/ (дата обращения: 12.10.2025).
32. Вывод уравнения Пуассона, Измерения показателя адиабаты. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. КНИГА 3. URL: https://studme.org/168393/fizika/vyvod_uravneniya_puassona_izmereniya_pokazatelya_adiabaty (дата обращения: 12.10.2025).
33. Определение отношения Cp⁄C методом Клемана-Дезорма. URL: https://cito.ru/wp-content/uploads/2021/01/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-Cp_Cv-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC-%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D0%94%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0.pdf (дата обращения: 12.10.2025).