Задания для компьютерного практикума по финансовой математике с примерами решений в Excel

Контрольный компьютерный практикум по финансовой математике часто вызывает стресс, ведь нужно не только понимать теорию, но и быстро и безошибочно применять ее в Excel. Эта статья — ваш персональный «тренажер», разработанный, чтобы превратить неуверенность в твердые практические навыки. Мы здесь не для того, чтобы повторять учебник, а чтобы шаг за шагом разобрать все типовые задачи, с которыми вы столкнетесь. Помните, что финансовые расчеты в Excel — это не оторванная от жизни теория, а полезный навык, который пригодится и в работе, и в личных финансах. Все задания, представленные здесь, аналогичны тем, что будут на контрольной, так что давайте начнем подготовку.

Теперь, когда мы настроились на продуктивную работу, давайте заложим фундамент и разберемся в ключевых понятиях, без которых невозможен ни один расчет.

Фундаментальные принципы расчетов, с которых всё начинается

В основе всей финансовой математики лежит концепция временной стоимости денег: одна и та же сумма сегодня стоит больше, чем та же сумма в будущем, потому что сегодня ее можно инвестировать и получить доход. Этот доход начисляется с помощью процентов, которые бывают двух видов.

• Простые проценты рассчитываются только на первоначальную сумму вклада или долга на протяжении всего срока.
• Сложные проценты начисляются не только на основную сумму, но и на проценты, накопленные за предыдущие периоды. Этот эффект называется капитализацией и приводит к более быстрому росту вложений.

Для реализации этих принципов в Excel существует мощный набор встроенных финансовых функций. Вот основные из них, которые мы будем использовать:

1. ПС (PV): Рассчитывает приведенную (текущую) стоимость будущих денежных потоков. Проще говоря, сколько нужно вложить сегодня, чтобы получить желаемую сумму в будущем.
2. БС (FV): Определяет будущую стоимость инвестиции. Показывает, в какую сумму превратятся ваши вложения через определенный срок.
3. ПЛТ (PMT): Вычисляет размер регулярного платежа по кредиту или для создания накоплений (аннуитет) при постоянной процентной ставке.
4. КПЕР (NPER): Находит количество периодов (например, месяцев или лет), необходимое для достижения финансовой цели или погашения кредита.
5. СТАВКА (RATE): Определяет процентную ставку за один период аннуитета.

Теория важна, но практика — наш главный приоритет. Давайте немедленно применим эти знания и начнем с самых распространенных задач на простые проценты.

Осваиваем простые проценты на практических примерах

Как рассчитать будущую стоимость вклада и сумму погашения кредита

Задачи на простые проценты — это фундамент. Важно помнить, что для них не используются стандартные финансовые функции Excel, а применяется базовая математическая формула. Расчеты ведутся напрямую, как на калькуляторе.

Задача 1: VIP-клиент положил 500 000 руб. на полгода под 9,5% годовых. Нужно найти итоговую сумму.

Создаем в Excel небольшую таблицу для исходных данных. Формула для расчета будущей стоимости (FV) по простым процентам выглядит так: FV = PV * (1 + Ставка * Срок). Срок вклада (полгода) нужно выразить в годах, то есть 0,5 года.

В ячейке для расчета вводим: =500000 * (1 + 9,5% * 0,5)

Результат: 523 750 руб.

Задача 2: Кредит на сумму 700 000 руб. выдан на 3 года под 17,5% годовых. Необходимо найти итоговую сумму к погашению.

Логика абсолютно та же. Используем ту же формулу, подставляя данные из условия задачи.

В ячейке для расчета вводим: =700000 * (1 + 17,5% * 3)

Результат: 1 067 500 руб.

Как видите, все просто. Главное — правильно задать исходные данные и не пытаться применить здесь функцию БС.

Мы научились находить конечную сумму. А что, если неизвестным является одно из исходных условий, например, ставка? Давайте разберем и такой случай.

Как найти процентную ставку и учесть несколько вкладов

Теперь рассмотрим обратную задачу и более комплексный случай, когда денежных потоков несколько.

Задача 3: Кредит в 150 000 руб. выдан на 2 года, а вернуть нужно 200 000 руб. Какова годовая простая процентная ставка?

Для решения нам нужно из базовой формулы FV = PV * (1 + Ставка * Срок) алгебраически выразить ставку. Получится: Ставка = (FV / PV - 1) / Срок.

Вводим эту формулу в Excel: =(200000 / 150000 - 1) / 2

Результат, отформатированный как процентный с одним десятичным знаком: 16,7%.

Задача 4: Вкладчик сначала кладет 150 000 руб. под 7% годовых, а в конце года — еще 250 000 руб. под 9,5% годовых. Какая сумма будет у него: а) через полгода; б) к концу второго года?

Эту задачу решаем поэтапно.

1. Через полгода (0,5 года): В этот момент «работает» только первый вклад. Второй еще не сделан.
   =150000 * (1 + 7% * 0,5) = 155 250 руб.
2. К концу второго года: Здесь нужно посчитать итоговую сумму по каждому вкладу отдельно и сложить их.
   • Первый вклад пролежит в банке полные 2 года.
     =150000 * (1 + 7% * 2) = 171 000 руб.
   • Второй вклад был сделан в конце первого года, значит, он пролежит только 1 год.
     =250000 * (1 + 9,5% * 1) = 273 750 руб.
   • Общая сумма:
     =171000 + 273750 = 444 750 руб.

С простыми процентами все понятно. Однако в реальном мире чаще всего деньги работают по законам сложных процентов. Перейдем к ним.

Переходим к сложным процентам для долгосрочного планирования

Базовый расчет накопленной суммы долга

В отличие от простых процентов, где база для начисления всегда постоянна, при сложных процентах она растет с каждым периодом за счет добавления ранее начисленных процентов. Для таких расчетов в Excel есть специальная функция — БС (FV).

Аргументы функции: БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип]), где:

• ставка — процентная ставка за период.
• кпер — общее число периодов.
• плт — выплата, производимая в каждый период (для вкладов без пополнений равна 0).
• пс — приведенная (начальная) стоимость.

Задача 5: Долг в 600 000 руб. растет 3 года по сложной ставке 9,5% годовых. Какова будет итоговая сумма?

В этом случае все единицы согласованы: и ставка, и срок указаны в годах. Заполняем аргументы функции:

Формула в Excel: =БС(9,5%; 3; 0; -600000)

Обратите внимание, что начальная сумма долга (пс) вводится с минусом, так как это исходящий денежный поток (вам выдали деньги). Функция вернет положительное значение — сумму, которую нужно вернуть.

Результат: 786 851,48 руб.

Это был простой случай с начислением раз в год. Но что, если банк начисляет проценты чаще? Это меняет всю логику расчетов.

Усложняем задачу, учитывая внутригодовое начисление процентов

Это один из самых важных моментов, где часто допускают ошибки. Если проценты начисляются чаще, чем раз в год (например, поквартально или ежемесячно), нужно привести ставку и срок к единому периоду начисления. Действует простое правило:

Годовую ставку мы делим на количество периодов начисления в году, а количество лет — умножаем на то же самое число.

Задача 6: Первоначальный долг — 600 000 руб., ставка — 20,5% годовых, срок — 25 месяцев, а начисление — поквартальное.

Приводим все данные к кварталам:

• Ставка за квартал: Годовую ставку делим на 4 (количество кварталов в году). 20,5% / 4.
• Количество периодов (кварталов): Общий срок в месяцах (25) делим на количество месяцев в периоде начисления, то есть в квартале (3). 25 / 3.

Теперь подставляем эти выражения прямо в аргументы функции БС:

Формула в Excel: =БС(20,5%/4; 25/3; 0; -600000)

Результат: 908 514,32 руб.

Если бы мы считали по годовой ставке, результат был бы иным. Частая капитализация всегда приводит к большей итоговой сумме.

Мы рассмотрели поквартальное начисление. Давайте закрепим этот навык на примере с ежемесячным начислением.

Что делать, если период начисления — месяц, а срок измеряется в годах

Закрепим навык согласования единиц измерения. Алгоритм остается прежним: все параметры должны быть выражены в периодах начисления процентов.

Задача 7: Вклад 300 000 руб., месячная ставка 1,5%, срок — 3 года и 2 месяца. Найти накопленную сумму и сумму процентов.

Здесь период начисления — месяц. Значит, все данные приводим к месяцам:

• Ставка: Уже дана месячная (1,5%), ничего менять не нужно.
• Срок (кпер): Переводим 3 года и 2 месяца в месяцы. 3 * 12 + 2 = 38 месяцев.

Теперь используем функцию БС.

Формула для расчета итоговой суммы: =БС(1,5%; 38; 0; -300000)

Накопленная сумма: 527 219,34 руб.

Чтобы найти сумму начисленных процентов, нужно из итоговой суммы вычесть первоначальный вклад:

Формула для расчета процентов: =527219,34 - 300000

Сумма процентов: 227 219,34 руб.

До сих пор мы искали будущую стоимость. Но часто в финансовом планировании стоят обратные задачи: например, за какой срок можно накопить нужную сумму? Excel умеет решать и это.

Обратные вычисления, или как найти нужные условия

Определяем срок, необходимый для достижения финансовой цели

Для нахождения количества периодов используется функция КПЕР (NPER). Ее синтаксис похож на уже знакомые нам функции: КПЕР(ставка; плт; пс; [бс]; [тип]).

Задача 8: За какой срок 250 000 руб. превратятся в 850 000 руб. при ставке 7,5% годовых, если начисление: а) годовое; б) поквартальное?

Сценарий А: Годовое начисление

Здесь все просто, так как периоды согласованы.

Формула в Excel: =КПЕР(7,5%; 0; -250000; 850000)

Результат: 16,8 лет.

Сценарий Б: Поквартальное начисление

Здесь нужно снова вспомнить правило согласования. В аргумент ставка мы должны передать уже поделенную на 4 годовую ставку. Важно понимать, что функция вернет результат в тех же единицах, в которых задана ставка, то есть в кварталах.

Формула в Excel: =КПЕР(7,5%/4; 0; -250000; 850000)

Результат функции будет 65,7 (кварталов). Чтобы получить ответ в годах, это число нужно разделить на 4.

Итоговый срок: 16,4 лет. Как видим, более частое начисление процентов позволяет достичь цели немного быстрее.

Мы научились находить срок. Теперь решим еще одну классическую обратную задачу: сколько нужно вложить сегодня, чтобы получить желаемую сумму в будущем?

Рассчитываем первоначальную сумму вклада для будущих накоплений

Процесс нахождения текущей стоимости будущих денег называется дисконтированием. Для этого в Excel используется функция ПС (PV). Ее аргументы полностью аналогичны функции БС.

Задача 9: Какую сумму нужно положить на депозит сегодня, чтобы через 3 года получить 300 000 руб. при ставке: а) 9% годовых; б) 7,5% годовых?

В этой задаче известная нам сумма (300 000 руб.) является будущей стоимостью (бс). Мы ищем приведенную стоимость (пс).

Вариант А: Ставка 9%

Формула: =ПС(9%; 3; 0; -300000)

Результат: 231 655,49 руб.

Вариант Б: Ставка 7,5%

Формула: =ПС(7,5%; 3; 0; -300000)

Результат: 241 494,42 руб.

Функция возвращает положительное значение, потому что она показывает, какую сумму нужно отдать (инвестировать) сегодня. Если вам привычнее видеть эту сумму как отрицательную (отток средств), можно поставить знак «минус» перед функцией.

Все разобранные задачи касались единичных вложений. Но что, если речь идет о регулярных платежах, как при накоплении на пенсию или выплате кредита? Для этого существует отдельный класс задач.

Исследуем аннуитеты и решаем задачу с неизвестной ставкой

Подбираем годовую процентную ставку для создания фонда

Аннуитет — это последовательность равных платежей, производимых через равные промежутки времени. Если платежи вносятся в конце каждого периода, это называется аннуитет постнумерандо. Для решения задач с аннуитетами, где неизвестной является ставка, используется функция СТАВКА (RATE).

Задача 10: Планируется ежегодно вносить по 120 000 руб. в течение 7 лет, чтобы создать фонд в размере 1 000 000 руб. Какой должна быть годовая процентная ставка?

Здесь у нас есть:

• кпер: 7 (лет)
• плт: -120 000 (ежегодный взнос, который мы отдаем, поэтому он отрицательный)
• бс: 1 000 000 (будущая стоимость фонда, которую мы хотим получить)

Ключевой момент здесь — правильное использование знаков. Денежные потоки должны быть разнонаправленными: взносы (плт) мы отдаем, а итоговый фонд (бс) получаем. Поэтому у них должны быть разные знаки.

Формула в Excel: =СТАВКА(7; -120000; 0; 1000000)

Результат, отформатированный как процентный с одной десятой: 5,4%. Именно такая годовая доходность потребуется для достижения цели.

Мы разобрали все ключевые типы задач. Но правильный ответ — это лишь половина дела. Вторую половину составляет корректное и понятное оформление расчетов.

Золотые правила оформления расчетов в Excel, которые сэкономят вам время

Хорошее оформление — это не просто эстетика. Оно помогает избежать ошибок, упрощает проверку и показывает вашу компетентность. Вот несколько незыблемых правил.

1. Отделяйте исходные данные от расчетов. Это самое важное правило. Никогда не вписывайте числа (ставки, сроки, суммы) прямо в тело формулы. Создайте для них отдельные, подписанные ячейки, а в формулах ссылайтесь на эти ячейки.
2. Используйте четкие метки. Каждое число в вашей таблице должно быть понятно без дополнительных объяснений. Подписывайте строки и столбцы: «Сумма вклада, руб.», «Годовая ставка, %», «Срок, лет» и т.д.
3. Проверяйте размерность. Перед использованием любой финансовой функции убедитесь, что ставка и количество периодов выражены в одних и тех же единицах. Если ставка месячная, то и срок должен быть в месяцах. Это самая частая причина ошибок.
4. Используйте «Анализ чувствительности» (Что-если). Прелесть разделения данных и формул в том, что вы можете мгновенно пересчитать результат, изменив одно из исходных значений. Просто введите в ячейку со ставкой другое число — и Excel тут же покажет, как это повлияет на итоговую сумму. Это демонстрирует гибкость вашей модели.

Соблюдение этих простых рекомендаций не только сэкономит вам время и нервы, но и позволит легко адаптировать ваши расчеты для любых других схожих задач.

Теперь у вас есть все необходимое: знание формул, владение инструментами Excel и понимание принципов оформления. Вы полностью готовы к выполнению практикума.

Заключение

Мы прошли полный путь: от основ в виде простых процентов до более сложных сценариев со сложными процентами и аннуитетами. Мы научились решать не только прямые задачи по нахождению будущей стоимости, но и обратные — по определению срока, первоначального вклада или необходимой процентной ставки. Главный вывод, который стоит сделать: Excel является мощнейшим инструментом для финансовых вычислений, если понимать логику его функций и правильно готовить исходные данные.

Ключ к успеху — это практика. Попробуйте самостоятельно решить все разобранные задачи, возможно, немного изменяя условия. Помните, что все задания в вашей контрольной работе аналогичны тем, что мы рассмотрели. Теперь Excel — ваш надежный помощник в мире финансовых расчетов. Удачи на практикуме!

Список использованной литературы

1. Лекции