Комплексный анализ электромагнитных переходных процессов в электрических системах: от теории к практическому применению и обеспечению надежности

Электроэнергетика, как кровеносная система любой современной экономики, требует бесперебойного и стабильного функционирования. Однако эта стабильность постоянно подвергается испытаниям со стороны динамических и непредсказуемых явлений, среди которых особое место занимают электромагнитные переходные процессы – быстрые и зачастую разрушительные изменения, происходящие в электрических системах. **Импульсные перенапряжения, возникающие при волновых процессах, могут достигать амплитуды в несколько десятков, а в некоторых случаях и сотен киловольт при длительности от десятков до сотен микросекунд, иногда до 1 миллисекунды.** Грозовые перенапряжения, вызванные прямым попаданием молнии, могут сопровождаться мгновенными импульсными токами до 100 кА. Эти цифры красноречиво свидетельствуют о потенциальной опасности, которую несут переходные процессы для изоляции электрооборудования, требуя углубленного понимания, точного расчета и эффективного управления, ведь последствия их некорректного учета могут быть катастрофическими для всей энергосистемы.

Изучение электромагнитных переходных процессов — не просто академический интерес, а жизненная необходимость для обеспечения надежности, устойчивости и безопасности современных электроэнергетических систем. Они являются неотъемлемой частью работы любой электрической цепи, содержащей накопители энергии — индуктивности и емкости, и возникают при любых изменениях ее состояния: от включения обычного двигателя до крупномасштабного короткого замыкания. Последствия этих процессов могут варьироваться от незначительных искажений в работе оборудования до серьезных аварий, повреждения изоляции, выхода из строя дорогостоящих элементов и даже системных сбоев в энергосистеме.

Настоящая работа представляет собой комплексное академическое исследование, направленное на деконструкцию и структурирование существующих знаний по теме электромагнитных переходных процессов. Ее основная цель — сформировать четкий план для глубокого академического исследования, обновить информацию и выработать методологию получения фактов. Мы стремимся не только обобщить теоретические основы, но и детально рассмотреть практические аспекты: от математического моделирования и методов расчета токов короткого замыкания до влияния этих процессов на релейную защиту и инновационных решений для снижения их негативного воздействия. Структура работы последовательно проведет читателя от базовых определений до передовых технологий, ориентируя студентов и аспирантов технических вузов на глубокое и всестороннее понимание этой критически важной области электроэнергетики.

Фундаментальные основы электромагнитных переходных процессов

Электроэнергетическая система по своей природе является динамичным объектом, постоянно реагирующим на изменения нагрузки, коммутации и внешние возмущения. В основе ее функционирования лежат сложные взаимодействия электромагнитных полей, которые при малейших изменениях стремятся к новому равновесному состоянию. Этот процесс перехода от одного режима к другому и есть суть электромагнитных переходных процессов.

Общие положения и определения

Электромагнитный переходной процесс — это динамическое изменение электромагнитного состояния элементов электрической сети, которое происходит при переходе от одного установившегося режима работы к другому. Ключевая особенность этих процессов заключается в том, что они характеризуются изменением значений исключительно электромагнитных величин, таких как ток, напряжение, частота, при этом механические параметры режима энергосистемы (например, скорость вращения роторов генераторов) остаются неизменными или изменяются существенно медленнее.

Для большинства электроэнергетических систем электромагнитные переходные процессы обычно протекают в течение короткого промежутка времени — от 0,1 до 0,2 секунды. Однако для протяженных линий электропередачи, например, длиной 1000 км и более, время затухания таких процессов может быть несколько десятых долей секунды, что требует особого внимания при их анализе и проектировании защитных устройств.

В отличие от установившегося режима, который характеризуется балансом мощностей и относительным постоянством параметров (или их незначительными колебаниями в допустимых пределах), переходный процесс, особенно аварийный режим, сопровождается значительными и быстрыми изменениями этих параметров. Чаще всего такие процессы возникают при коротких замыканиях (КЗ) — не предусмотренных нормальным режимом работы соединениях различных точек электроустановки между собой или с землей.

В контексте переходных процессов выделяют и более быстрые, волновые явления. Они возникают, например, при ударах молнии в линии электропередачи или при коммутациях электрических цепей с индуктивными или емкостными элементами. Скорость изменения параметров волновых процессов колоссальна — она составляет 10⁸–10⁹ Гц. Главная опасность волновых процессов заключается в возможности появления импульсных перенапряжений, которые могут быть катастрофическими для изоляции электротехники. Как уже упоминалось, эти импульсные перенапряжения могут достигать десятков и сотен киловольт при длительности от десятков до сотен микросекунд, иногда до 1 миллисекунды. Грозовые перенапряжения, вызванные прямым попаданием молнии, могут сопровождаться мгновенными импульсными токами до 100 кА. Допустимая кратность перенапряжений для изоляции электрооборудования, особенно для электрических машин, может находиться в пределах от 4,0 до 7,0 по отношению к фазному значению наибольшего рабочего напряжения. Требования к электрической прочности изоляции электрооборудования классов напряжения от 1 до 35 кВ, а также общая информация о перенапряжениях регламентируются стандартами, такими как ГОСТ Р 55630—2013 и ГОСТ Р 55195-2012.

Изучение электромагнитных переходных процессов крайне важно для понимания их физической сущности, приобретения навыков практических расчетов, моделирования, прогнозирования и предотвращения опасных последствий. Цель не только в анализе, но и в сознательном управлении этими процессами, поскольку лишь комплексный подход гарантирует надежность энергосистем.

Классификация и причины возникновения

Переходные процессы в электрических системах представляют собой сложный комплекс взаимосвязанных явлений. Для удобства анализа их принято подразделять на три основные категории:

1. Волновые переходные процессы: Как было сказано выше, это наиболее быстрые процессы, связанные с распространением электромагнитных волн вдоль линий электропередачи. Их причиной могут быть грозовые разряды, коммутации выключателей и другие резкие изменения топологии или параметров цепи. Опасность заключается в возникновении импульсных перенапряжений, угрожающих изоляции оборудования.
2. Электромагнитные переходные процессы: Эти процессы происходят при нарушении равновесного состояния электромагнитных полей в оборудовании. Основное влияние на их характер оказывают крупные вращающиеся машины: синхронные генераторы, компенсаторы, а также мощные синхронные и асинхронные двигатели. Их инерция по отношению к изменениям магнитного потока определяет специфику протекания этих процессов.
3. Электромеханические переходные процессы: В отличие от электромагнитных, эти процессы характеризуются изменением механического состояния системы, а именно скорости вращения роторов генераторов и двигателей, изменением взаимных углов между ЭДС машин. Они протекают значительно медленнее электромагнитных (обычно от нескольких секунд до десятков секунд) и являются результатом нарушения баланса между механическими и электромагнитными моментами на валах машин. Хотя в мощных энергосистемах электромагнитные, электромеханические и механические процессы можно рассматривать отдельно из-за их существенно разных временных масштабов, важно помнить, что они являются частями единого, взаимосвязанного переходного процесса.

Причины возникновения электромагнитных переходных процессов многообразны и охватывают практически все изменения в электрической системе:

• Коммутации: Наиболее распространенная причина. Под коммутациями понимаются любые изменения структуры электрической цепи, вызванные:
  • Включением и отключением двигательных и других агрегатов (трансформаторов, конденсаторных батарей, шунтирующих реакторов).
  • Включением и отключением пассивных и активных ветвей сети.
  • Короткими замыканиями отдельных участков цепи.
  • Изменениями параметров элементов, входящих в цепь (например, переключение отпаек трансформаторов).
  • Несинхронным включением синхронных машин в сеть.
• Короткие замыкания (КЗ) и простые замыкания: Любое повреждение изоляции, приводящее к ненормальному соединению токоведущих частей между собой или с землей, мгновенно вызывает глубокий переходной процесс.
• Возникновение местной несимметрии: Например, обрыв одной фазы или несимметричная нагрузка.
• Работа систем регулирования: Форсировка возбуждения генераторов, действие регуляторов возбуждения, работа автоматов гашения поля – всё это активные воздействия на систему, вызывающие переходные режимы.
• Импульсные воздействия: Переходной процесс может возникать и без явных коммутаций, если на цепь воздействуют импульсные сигналы, например, от удара молнии или коммутационных перенапряжений.

Физическая причина возникновения переходных процессов в электрических цепях кроется в наличии в них накопителей энергии — катушек индуктивности и конденсаторов. Эти элементы обладают инерцией: энергия магнитного поля (в индуктивности) и электрического поля (в конденсаторе) не может измениться скачком. Ток через индуктивность и напряжение на емкости не могут мгновенно измениться, что и обуславливает появление переходных процессов, в течение которых энергия перераспределяется между элементами цепи, прежде чем установится новое равновесие.

Математическое описание и моделирование переходных процессов

Для глубокого анализа и прогнозирования поведения электрических систем в переходных режимах необходимо иметь адекватные математические инструменты. Именно математические модели позволяют трансформировать физические явления в системы уравнений, которые затем могут быть решены аналитическими или численными методами.

Основные законы электротехники и законы коммутации

Фундаментом для построения математических моделей любых электрических цепей, включая те, что находятся в переходных режимах, служат базовые законы электротехники: законы Кирхгофа и Ома. Важно отметить, что эти законы универсальны и выполняются не только для установившихся, но и для переходных процессов.

• Первый закон Кирхгофа (закон токов): Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Это отражает принцип сохранения заряда.
• Второй закон Кирхгофа (закон напряжений): Алгебраическая сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Это отражает принцип сохранения энергии.
• Закон Ома: Для участка цепи с активным сопротивлением R, напряжение U пропорционально току I: U = I · R. Для индуктивных и емкостных элементов закон Ома приобретает дифференциальную форму, связывая напряжение с производной тока (для индуктивности) или ток с производной напряжения (для емкости).

Однако для корректного описания переходных процессов необходимы дополнительные условия, известные как законы коммутации. Они определяют начальные значения токов и напряжений в накопителях энергии непосредственно после коммутации. Эти законы являются следствием принципа сохранения энергии в индуктивных и емкостных элементах:

1. Первый закон коммутации: Ток, протекающий через индуктивную катушку до коммутации, равен току через ту же катушку непосредственно после коммутации. Индуктивность препятствует скачкообразному изменению тока.
   • Математически: i_L(0^—) = i_L(0⁺), где 0^— — момент времени непосредственно до коммутации, а 0⁺ — непосредственно после.
2. Второй закон коммутации: Напряжение на емкостном элементе до коммутации равно напряжению на том же элементе непосредственно после коммутации. Емкость препятствует скачкообразному изменению напряжения.
   • Математически: U_C(0^—) = U_C(0⁺).

Эти законы играют ключевую роль в определении начальных условий для решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы. Особый случай — нулевые начальные условия, когда до коммутации в цепи не было запасено энергии. В этом случае:

• Индуктивность в начальный момент времени после коммутации равносильна разрыву в цепи (ток не может мгновенно возникнуть).
• Ёмкость в начальный момент времени после коммутации равносильна короткому замыканию (напряжение не может мгновенно возникнуть).

Принципы построения математических моделей

Математическая модель объекта, такого как электрическая система или ее элемент, строится на основе системы нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений, которые описывают процессы, происходящие в этом объекте. Для анализа электромагнитных переходных процессов в электрических системах разрабатываются комплексные математические модели как самой системы, так и ее отдельных элементов (генераторов, трансформаторов, линий электропередачи).

Наиболее сложными для моделирования являются синхронные машины, поскольку их параметры (коэффициенты индуктивности) зависят от положения ротора. Для таких машин переходные процессы описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, зачастую преобразованных в систему d,q,0 координат (преобразование Парка–Горева). Эти уравнения учитывают ЭДС, падения напряжений в обмотках статора и ротора, а также взаимосвязь потокосцеплений и токов через коэффициенты само- и взаимоиндукции.

Например, уравнения равновесия ЭДС и падений напряжений для обмоток статора (A, B, C) и ротора (f) в общей форме могут быть представлены как:

UA = - (dΨA / dt) - RAiA
UB = - (dΨB / dt) - RBiB
UC = - (dΨC / dt) - RCiC
Uf = (dΨf / dt) + Rfif

где:

• U_A, U_B, U_C — напряжения на обмотках статора;
• i_A, i_B, i_C — токи в обмотках статора;
• R_A, R_B, R_C — активные сопротивления обмоток статора;
• Ψ_A, Ψ_B, Ψ_C — результирующие потокосцепления обмоток статора;
• U_f, i_f, R_f, Ψ_f — аналогичные величины для обмотки возбуждения ротора.

Потокосцепления Ψ, в свою очередь, выражаются через токи и индуктивности. Поскольку индуктивности зависят от положения ротора, уравнения становятся нелинейными и не имеют общих аналитических решений, требуя численных методов интегрирования. Целью таких моделей часто является создание точного «цифрового двойника» электрической станции или ее главной схемы для глубокого анализа динамических режимов, что существенно повышает надежность проектирования.

Методы расчета токов короткого замыкания и других переходных процессов

Анализ переходных процессов, особенно токов короткого замыкания, является одной из фундаментальных задач в электроэнергетике. От точности этих расчетов зависит правильность выбора оборудования, проектирование систем релейной защиты и обеспечение общей надежности энергосистемы.

Классические и операторные методы

Для анализа переходных процессов в линейных электрических цепях существует ряд хорошо разработанных методов:

1. Классический метод: Суть метода заключается в непосредственном составлении и интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений в цепи. Решение общего неоднородного дифференциального уравнения первого или второго порядка состоит из двух частей:
   • Принужденная (установившаяся) составляющая: описывает поведение цепи в новом установившемся режиме.
   • Свободная (переходная) составляющая: описывает процесс затухания, обусловленный перераспределением энергии в накопителях цепи.

   Для определения констант интегрирования используются законы коммутации, позволяющие найти начальные условия.

2. Операторный метод (преобразование Лапласа): Этот метод является мощным инструментом для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет преобразовать дифференциальные уравнения во временной области в алгебраические уравнения в операторной (комплексной) области. После решения алгебраической системы и нахождения операторных изображений токов и напряжений выполняется обратное преобразование Лапласа для получения решений во временной области. Этот метод особенно удобен для цепей со сложной структурой и различными начальными условиями.
3. Частотный метод (преобразование Фурье): Используется для анализа реакции цепи на несинусоидальные воздействия, разлагая сигналы на спектр гармоник. Хотя более применим для анализа установившихся режимов с нелинейностями, он также может быть адаптирован для переходных процессов через интеграл Фурье.
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля: Позволяет найти реакцию линейной цепи на произвольное воздействие, если известна ее импульсная характеристика или реакция на скачкообразное воздействие.
5. Метод переменных состояния: Основан на представлении системы в виде набора дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих динамику «состояний» системы (например, токов через индуктивности и напряжений на емкостях). Удобен для численного решения и анализа систем высокой размерности.

Для анализа несимметричных режимов, включая несимметричные короткие замыкания, широко используется метод симметричных составляющих. Этот метод, предложенный Фортескью, позволяет разложить несимметричную трехфазную систему векторов (токов или напряжений) на три симметричные составляющие:

• Прямая последовательность: трехфазная система с обычным чередованием фаз.
• Обратная последовательность: трехфазная система с обратным чередованием фаз.
• Нулевая последовательность: три одинаковых по фазе и величине вектора.

Это позволяет заменить сложный расчет в несимметричной трехфазной цепи на расчет трех независимых симметричных цепей (прямой, обратной и нулевой последовательностей), что значительно упрощает задачу. Однако важно помнить, что строгий математический анализ переходных процессов при несимметрии затруднен из-за возникновения пульсирующего магнитного поля ротора, образующего полный спектр высших гармонических составляющих тока. В большинстве практических расчетов учитывается лишь основная гармоника.

Наиболее высокую точность определения расчетных величин токов КЗ в электрической системе дает метод с использованием операционного исчисления по уравнениям Парка–Горева, но он является чрезвычайно трудоемким для ручных расчетов.

Современные и приближенные инженерные методы

С развитием вычислительной техники появились более продвинутые и упрощенные подходы.

1. Метод фазных координат: Для выполнения расчетов токов короткого замыкания (ТКЗ) при сложных видах повреждений и несимметрии элементов сети целесообразно использовать метод фазных координат. Он позволяет работать непосредственно с реальными фазными токами и напряжениями, не прибегая к разложению на симметричные составляющие. Методика расчета ТКЗ в фазных координатах часто представляется в матричном виде и активно используется в лабораторных и научно-исследовательских работах. Появление современных математических программных пакетов (Mathcad, Smath Studio) позволяет широко использовать эту методику без специализированного программного обеспечения.
2. Приближенные инженерные методы: В практических расчетах, особенно для выбора и проверки электрооборудования, широко используются приближенные инженерные методы, допускающие погрешность до 5-10%. Это связано с тем, что строгий расчет с учетом всех факторов часто избыточен и трудоемок. Примеры таких методов:
   • Упрощенные методики расчета начального тока КЗ: Например, для цепей аккумуляторных батарей, где сопротивление цепи в основном активно.
   • Метод наложения аварийного режима на предшествующий: Позволяет определить приращения токов и напряжений в аварийном режиме, накладывая их на значения доаварийного режима.
   • Метод эквивалентной мощности: Применяется для систем с несколькими источниками питания, когда удобно оперировать эквивалентной мощностью короткого замыкания.
   • Для расчетов в распределительных сетях 6-10 кВ: Часто используются упрощения, такие как пренебрежение переходным сопротивлением в месте КЗ, рассматривая все повреждения как металлические.

Углубленный сравнительный анализ и источники погрешностей:

Метод расчета	Преимущества	Ограничения	Типичные источники погрешностей
Решение уравнений
Классический метод	Прямое интегрирование дифференциальных уравнений. Прост для цепей низкого порядка.	Трудоёмок для сложных цепей, особенно при высоких порядках.	Ошибки при ручном интегрировании, некорректное определение констант интегрирования.
Операторный метод (преобразование Лапласа)	Удобен для линейных цепей, упрощает решение дифференциальных уравнений.	Требует знания теории преобразования Лапласа и обратного преобразования.	Ошибки при выполнении преобразований, некорректное определение начальных условий.
Метод симметричных составляющих	Упрощает расчет несимметричных КЗ, позволяет использовать стандартные схемы замещения.	Приближенный, особенно для переходных процессов, не учитывает все гармоники.	Неточность при пренебрежении высшими гармониками, некорректное формирование схем прямой, обратной, нулевой последовательности.
Современные и приближенные методы
Метод фазных координат	Высокая точность для сложных несимметричных повреждений. Хорошо интегрируется с ПО.	Более сложный для ручных расчетов, требует хорошего понимания матричной алгебры.	Ошибки при составлении матриц сопротивлений, неверный учет фазных связей.
Приближенные инженерные методы	Быстрота, применимость для предварительных расчетов и выбора оборудования.	Низкая точность, применимы только при определенных допущениях.	Пренебрежение активными сопротивлениями (для сетей 110-220 кВ), игнорирование переходных сопротивлений в месте КЗ, упрощенное представление источников питания, неточный учёт параметров генераторов, игнорирование апериодической составляющей. Типичная погрешность: до 5-10%.

Для расчета ТКЗ в малоконтурных расчетных схемах, где количество элементов невелико, рекомендуется использовать аналитический метод, поскольку его точность выше, а трудоемкость еще приемлема. Однако для сложных систем современные методы моделирования позволяют воспроизводить как электромагнитные, так и электромеханические составляющие переходных процессов в электрической сети произвольной конфигурации, достигая высокой точности при приемлемых временных затратах. В конечном итоге, выбор метода определяется балансом между требуемой точностью и вычислительными ресурсами, а также сложностью самой системы.

Выбор базисных величин и точность определения параметров схемы замещения

Перед проведением любых расчетов токов короткого замыкания (ТКЗ) критически важно правильно подготовить расчетную схему. Это включает в себя составление схем замещения и приведение параметров всех элементов к единой системе.

Схемы замещения — это упрощенные электрические эквиваленты реальной энергосистемы, в которых магнитосвязанные цепи заменяются электрической связью. Для расчетов ТКЗ схемы замещения существенно проще, чем для расчетов нормального режима, поскольку в переходных процессах некоторые элементы (например, емкости линий электропередачи, потери холостого хода трансформаторов) могут быть пренебрежены из-за их незначительного влияния в течение короткого времени. Например, при расчете ТКЗ в сетях 110-220 кВ в схеме замещения учитывают только индуктивные сопротивления, пренебрегая емкостными проводимостями ЛЭП и потерями холостого хода трансформаторов.

Приведение параметров: Поскольку электрическая система состоит из элементов, работающих на разных ступенях напряжения, необходимо привести их параметры к одной общей базисной ступени напряжения, принятой за основную. Это может быть сделано либо в именованных единицах, либо, что более предпочтительно, в относительных единицах.

Преимущества использования относительных единиц:

• Унификация: Позволяет сопоставлять порядок величин различных элементов системы независимо от их номинальных напряжений.
• Контроль правильности: Упрощает проверку правильности вычислений, так как величины становятся сопоставимыми.
• Совпадение фазных и междуфазных величин: В относительных единицах фазные и междуфазные величины численно совпадают, что значительно упрощает расчеты в трехфазных системах.

Для расчета в относительных единицах вводятся базисные величины:

• Базисная мощность (S_баз), МВА: Обычно выбирается как стандартная мощность, например, 100 МВА или номинальная мощность крупнейшего трансформатора.
• Базисное напряжение (U_баз), кВ: Обычно выбирается номинальное напряжение той ступени, к которой приводится схема.
• На основе S_баз и U_баз определяются другие базисные величины, например, базисный ток I_баз = S_баз / (√3 · U_баз) и базисное сопротивление Z_баз = U_баз² / S_баз.

Определение параметров элементов в схеме замещения:

• Синхронные и асинхронные машины: Вводятся в схему замещения сверхпереходными сопротивлениями (X»_d, X»_q) и сверхпереходными ЭДС (E»_d, E»_q). Эти ЭДС следует принимать численно равными значениям этих ЭДС в момент, предшествующий КЗ. Использование сверхпереходных параметров объясняется тем, что в первые миллисекунды после КЗ токи в обмотках ротора еще не успевают существенно измениться, и машина ведет себя как источник с очень низким внутренним сопротивлением.
• Трансформаторы: Представляются своими индуктивными сопротивлениями короткого замыкания.
• Линии электропередачи: Представляются индуктивными (и активными) сопротивлениями.

Требования к точности расчетов: Согласно нормативным документам (например, ГОСТ Р 52735-2007 и ГОСТ 27514-87), точность расчетов токов короткого замыкания не должна превышать 5-10%. Это обусловлено неизбежными допущениями в моделях, неточностью исходных данных и инженерной достаточностью для выбора оборудования и настройки защит. Превышение этой точности часто не оправдано ни экономической, ни практической точки зрения, ведь ключевая задача — обеспечить надежность при разумных затратах.

Роль ударного тока и апериодической составляющей в надежности электрооборудования

Короткое замыкание – это не просто мгновенное увеличение тока; это сложный переходной процесс, формирующийся из нескольких составляющих, каждая из которых имеет критическое значение для оценки надежности и устойчивости электрооборудования. Понимание этих составляющих позволяет инженерам проектировать защиту, способную адекватно реагировать на самые суровые условия.

Составляющие тока короткого замыкания

Полный ток короткого замыкания (i_КЗ) – это мгновенное значение тока, протекающего по цепи во время КЗ. Он состоит из двух основных компонент:

1. Вынужденная периодическая составляющая (i_период): Это синусоидальная составляющая тока, которая в установившемся режиме КЗ определялась бы параметрами цепи и ЭДС источников. Однако в переходном процессе ее амплитуда может изменяться во времени из-за затухания.
2. Свободная апериодическая составляющая (i_{апериод}): Это экспоненциально затухающая составляющая, которая возникает из-за инерционности индуктивных элементов цепи. Она не имеет перемены знака и играет ключевую роль в формировании максимальных мгновенных значений тока.

Таким образом, полный ток КЗ можно представить как:

iКЗ(t) = iпериод(t) + iапериод(t)

Расчет и значение ударного тока

Ударный ток короткого замыкания (i_уд) — это максимальное мгновенное значение полного тока КЗ, которое может возникнуть в цепи. Он является критически важным параметром для оценки электродинамической устойчивости оборудования. Именно ударный ток определяет пиковые механические нагрузки на токоведущие части, изоляторы, контакты выключателей и шины, а также тепловые напряжения, возникающие за очень короткое время.

Ударный коэффициент (K_уд) — это безразмерная величина, которая характеризует отношение ударного тока КЗ к амплитуде периодической составляющей тока КЗ рабочей частоты в начальный момент времени (обычно I_КЗм = √2 · I_КЗ, где I_КЗ — действующее значение периодической составляющей).

iуд = Kуд · IКЗм = Kуд · √2 · IКЗ

Расчетные условия для определения ударного тока:
Для получения максимального значения ударного тока, которое используется для выбора и проверки оборудования, принимаются наихудшие расчетные условия:

• Доаварийный режим холостого хода: Предполагается, что до возникновения КЗ генераторы работали с номинальным напряжением и отсутствовала нагрузка, что обеспечивает максимальные ЭДС.
• Угол включения напряжения 0 градусов: Это означает, что короткое замыкание происходит в момент прохождения фазного напряжения через ноль, что приводит к максимальной апериодической составляющей.
• Сеть имеет индуктивный характер: Большинство элементов электросети (трансформаторы, реакторы, линии) обладают преимущественно индуктивным сопротивлением, что способствует возникновению большой апериодической составляющей.

Согласно нормативным документам (например, ГОСТ 28249-93 для низковольтных сетей и ГОСТ Р 52735-2007 для сетей свыше 1 кВ), при расчете ударного тока КЗ допускается считать, что ударный ток наступает через 0,01 с после начала КЗ, а амплитуда периодической составляющей тока КЗ в этот момент равна амплитуде в начальный момент КЗ.
Значения ударного коэффициента K_уд принимаются:

• Для шин РУ-0.4 кВ от ТП: K_уд = 1,1
• Для остальных точек сети: K_уд = 1,0 (для расчетов в низковольтных сетях, где активное сопротивление оказывает большее влияние на затухание апериодической составляющей)
• В более общих случаях K_уд может достигать значений до 1,8-2,0 и рассчитывается с учетом отношения X/R цепи КЗ.

Апериодическая составляющая: расчет и влияние

Апериодическая составляющая тока КЗ — это свободная составляющая тока КЗ, изменяющаяся во времени без перемены знака, то есть экспоненциально затухающая. Она возникает из-за того, что ток в индуктивной цепи не может измениться скачком. Если до КЗ ток был равен нулю, а периодическая составляющая в момент КЗ имеет некоторое значение, то возникает апериодическая составляющая, компенсирующая скачок периодической составляющей, чтобы полный ток остался нулевым в начальный момент.

Начальное значение апериодической составляющей тока КЗ следует определять как модуль от разности мгновенных значений полного тока в момент, предшествующий КЗ, и периодической составляющей тока в начальный момент КЗ. Наибольшее начальное значение апериодической составляющей тока КЗ в общем случае следует считать равным амплитуде периодической составляющей тока в начальный момент КЗ (I_КЗм), если КЗ происходит в момент перехода напряжения через ноль.

Постоянная времени апериодической составляющей тока КЗ (T_a) характеризует скорость ее затухания. Чем больше T_a, тем медленнее затухает апериодическая составляющая и тем дольше она влияет на форму полного тока.

Ta = X / (ω · R)

Где:

• X — индуктивное сопротивление цепи КЗ до точки повреждения;
• R — активное сопротивление цепи КЗ до точки повреждения;
• ω — угловая частота сети (для 50 Гц, ω ≈ 314 рад/с).

Влияние отношения X/R: Как видно из формулы, постоянная времени T_a прямо пропорциональна отношению X/R.

• В сетях высокого напряжения (110 кВ и выше), где X >> R, отношение X/R велико, и T_a может быть достаточно большой (десятки и сотни миллисекунд). Это означает, что апериодическая составляющая затухает медленно, и полный ток КЗ длительное время сохраняет асимметричный характер.
• В низковольтных сетях (0,4 кВ), где R может быть соизмеримо с X, отношение X/R меньше, и T_a соответственно меньше, что приводит к более быстрому затуханию апериодической составляющей.

Апериодическая составляющая тока является критически важным параметром при расчете и настройке релейной защиты. Ее наличие в первичном токе короткого замыкания оказывает наибольшее влияние на работу релейной защиты, поскольку она может вызвать насыщение трансформаторов тока, привести к ложным срабатываниям или замедлению работы защит, что будет рассмотрено далее. Разве не очевидно, что игнорирование этой составляющей может привести к серьезным авариям?

Программные комплексы и средства моделирования электромагнитных переходных процессов

Сложность и многофакторность электромагнитных переходных процессов требуют использования мощных вычислительных инструментов. Современные программные комплексы и универсальные средства моделирования предоставляют инженерам и исследователям возможность с высокой точностью анализировать динамические режимы работы электрических систем, прогнозировать аварийные ситуации и оптимизировать параметры оборудования.

Специализированные программные комплексы

Рынок программного обеспечения предлагает ряд специализированных решений, разработанных именно для электроэнергетических задач:

• «ToKo: Расчет токов короткого замыкания» (ЮУрГУ): Российская программа, предназначенная для автоматизированного расчета токов КЗ в сетях с напряжением свыше 1 кВ. Она позволяет вычислять действующее значение и фазу периодической составляющей, апериодическую составляющую и ударный ток КЗ, что является набором ключевых параметров для проектирования и настройки релейной защиты.
• EnergyCS (модуль EnergyCS TKZ) от «СиСофт Девелопмент»: Это мощный программный комплекс, предназначенный для комплексного проектирования электроэнергетических систем. Модуль EnergyCS TKZ специализирован на расчете токов КЗ и замыканий на землю. Он способен выполнять расчеты для всех основных видов КЗ (трехфазных, двухфазных, двухфазных на землю и однофазных), а также для замыканий на землю в сетях с изолированной нейтралью. Ключевые возможности включают расчет ударных токов, периодической и апериодической составляющих тока КЗ, а также интегралов Джоуля – важного показателя теплового воздействия КЗ на оборудование.
• АНАРЭС: Программный комплекс, предназначенный для моделирования режимов энергосистем. Его функционал охватывает широкий спектр задач: расчет установившегося режима, оптимизация потерь, анализ динамической устойчивости, расчет токов КЗ и, что особенно ценно, расчет уставок релейной защиты и автоматики (РЗА).
• PSCAD (Power Systems Computer Aided Design): Один из мировых лидеров в области моделирования электромагнитных переходных процессов (EMT, Electromagnetic Transients). PSCAD является быстродействующим, точным и удобным инструментом, предоставляющим богатую библиотеку компонентов для глубокого анализа переходных процессов, включая очень быстрые волновые явления. Широко используется для исследования коммутационных перенапряжений, грозовых воздействий, работы FACTS-устройств и HVDC-систем.
• ETAP (Electrical Transient Analyzer Program): Комплексная аналитическая платформа для проектирования, моделирования, эксплуатации и автоматизации электрических систем. ETAP предлагает широкий набор модулей, включая расчет токов КЗ, анализ переходных процессов, координацию защит, анализ гармоник и многое другое. Он позволяет создавать детальные модели систем и проводить многоаспектный анализ.
• Другие компьютерные приложения: Существует множество других программ, таких как YULIS, ElProtect, TKZ15, АВРАЛ, ДАКАР, TKЗ-3000, ELPLEK, которые также специализируются на расчетах токов КЗ и связанных с ними задачах.

Универсальные средства моделирования

Помимо специализированных комплексов, для математического моделирования переходных процессов широко используются универсальные инженерные и математические пакеты:

• Системы компьютерной математики Mathcad и Smath Studio: Эти программы позволяют выполнять сложные математические расчеты, включая решение дифференциальных уравнений как аналитическими, так и численными методами. Их интерактивная среда и возможность визуализации результатов делают их удобными для разработки собственных моделей и алгоритмов анализа переходных процессов, особенно в учебных и научно-исследовательских целях.
• Matlab Simulink: Это графическая среда имитационного моделирования, интегрированная с пакетом Matlab. Simulink позволяет строить динамические модели (дискретные, непрерывные, гибридные, нелинейные и разрывные системы) при помощи блок-диаграмм. Это делает его идеальным инструментом для моделирования сложных электрических систем, включая синхронные машины, трансформаторы и линии, с учетом их нелинейных характеристик и переходных режимов.
• Программы имитационного моделирования Multisim и Multisim Live: Эти инструменты широко используются для создания моделей электрических цепей и симуляции их поведения, в том числе и переходных процессов. Они особенно полезны для визуализации изменения токов и напряжений в цепях с реактивными элементами, позволяя студентам и инженерам наглядно изучать динамику процессов.
• Программно-аппаратный комплекс Engee: Российский комплекс, который бесшовно интегрируется с КПМ РИТМ (российский комплекс для моделирования в реальном времени). Это позволяет не только проводить высокоточные исследования электромагнитных и электромеханических переходных процессов в виртуальной среде, но и осуществлять физическое моделирование, подавая смоделированные сигналы на реальные устройства защиты и автоматики.

Компьютерное моделирование переходных процессов в электрических цепях стало неотъемлемой частью современного инженерного анализа. Оно позволяет получить кривые изменения токов и напряжений во времени, что дает возможность с высокой степенью достоверности спрогнозировать появление сверхтоков и перенапряжений, а также оценить эффективность различных технических решений для их предотвращения или ограничения, обеспечивая тем самым значительное повышение надежности и безопасности электроэнергетических систем.

Влияние электромагнитных переходных процессов на релейную защиту и автоматику

Релейная защита и автоматика (РЗА) — это «нервная система» любой энергосистемы, отвечающая за быстрое обнаружение и локализацию повреждений, предотвращая их распространение и минимизируя ущерб. Однако эффективность РЗА напрямую зависит от того, насколько точно она учитывает особенности электромагнитных переходных процессов.

Воздействие переходных процессов на РЗА

Переходные процессы в электрических системах могут создавать экстремальные условия, которые существенно осложняют работу устройств РЗА:

• Сверхтоки: Токи короткого замыкания многократно превышают номинальные значения, что является основным признаком для срабатывания токовых защит. Однако форма тока КЗ в переходном режиме сильно отличается от установившейся синусоиды.
• Перенапряжения: Помимо сверхтоков, могут возникать значительные перенапряжения, которые требуют особого внимания при проектировании изоляции и выборе оборудования, а также могут влиять на работу чувствительных элементов защиты.
• Электромагнитные колебания: Быстрые изменения параметров приводят к колебаниям, которые могут быть ошибочно интерпретированы защитой как аварийный режим или, наоборот, маскировать реальное повреждение.

Необходимость расчетов КЗ для РЗА: Расчеты токов короткого замыкания не просто желательны, они абсолютно необходимы для проектирования и настройки устройств релейной защиты. На основе этих расчетов определяются:

• Выбор релейных защит: Тип и характеристики защит, способных адекватно реагировать на различные виды повреждений.
• Расчет уставок: Уставки срабатывания (тока, напряжения, времени) для каждого реле должны быть точно подобраны, чтобы обеспечить селективность, чувствительность и быстродействие защиты, при этом отстраиваясь от нормальных и переходных, но неаварийных режимов.
• Координация защит: Обеспечение правильной последовательности срабатывания защит для локализации повреждения с минимальным отключением потребителей.

Для устройств релейной защиты и автоматики требуются знания не только действующих значений токов и напряжений, но и их мгновенных значений в переходных режимах, поскольку работа многих современных микропроцессорных защит основана на анализе цифровых отсчетов сигналов.

Проблемы функционирования РЗА в переходных режимах

Особое внимание следует уделить конкретным факторам, влияющим на работу РЗА:

• Влияние апериодической составляющей: Как уже отмечалось, наличие апериодической составляющей в первичном токе короткого замыкания оказывает наибольшее влияние на работу релейной защиты. Эта составляющая смещает синусоиду тока, делая ее асимметричной. Это может привести к:
  • Насыщению трансформаторов тока (ТТ): Апериодическая составляющая вызывает асимметрию магнитного потока в сердечнике ТТ. Если пиковое значение потока превышает насыщение, ТТ перестает точно трансформировать ток, искажая вторичный ток.
  • Ложная работа или отказ срабатывания РЗА: Искаженные токи от насыщенных ТТ могут привести к ложным срабатываниям защиты в отсутствие реального повреждения или, наоборот, к отказу срабатывания при настоящем КЗ, что является критически опасным.
  • Замедление работы защит: Некоторые виды защит, особенно те, что используют фильтрацию апериодической составляющей, могут демонстрировать замедление срабатывания.
• Требования ПУЭ: Глава 3.2 Правил устройства электроустановок (ПУЭ) четко регулирует требования к релейной защите, подчеркивая необходимость ее отстройки от переходных процессов. Например, ПУЭ требует, чтобы защита не срабатывала при бросках тока намагничивания трансформаторов, пусковых токах двигателей, а также при других ненормальных, но не аварийных режимах.
• Мероприятия по ограничению влияния: В комплектах защит и измерительных органах, например, в устройствах однофазного автоматического повторного включения (ОАПВ), применяются специальные мероприятия, ограничивающие влияние переходных электромагнитных процессов. Это могут быть низкочастотные фильтры для подавления апериодической составляющей, алгоритмы, учитывающие насыщение ТТ, или специальные временные выдержки.

Методы проверки и моделирования РЗА

Для обеспечения корректной работы РЗА в условиях переходных процессов используются специализированные методы проверки и моделирования:

• Динамическое тестирование релейной защиты: Это актуальный подход, при котором на входы реального устройства РЗА подаются токи и напряжения, смоделированные с учетом переходных процессов, включая насыщение трансформаторов тока. Программно-технические комплексы, такие как РЕТОМ-51/61/71, позволяют воспроизводить смоделированный процесс и проверять реакцию устройств РЗ. Это особенно важно для проверки сложных функций и комплексов РЗА, таких как дистанционная защита или дифференциальная защита шин, где токи КЗ на входе моделей ТТ и устройства РЗ будут изменяться, что повлечет пересчет тока и напряжения проверки.
• Проблематика моделирования микропроцессорных РЗА: Современные микропроцессорные устройства релейной защиты (МП РЗА) обладают сложными внутренними алгоритмами, которые часто являются коммерческой тайной производителей. Это затрудняет или делает невозможным создание точных математических моделей функций защиты, имитирующих их функционирование в условиях влияния электромагнитных переходных процессов, что является «слепой зоной» в открытых источниках. Из-за этого математическое моделирование МП РЗА часто ограничивается блоками, взаимодействующими с внешними сигналами, без детального раскрытия внутренней логики.
• Преимущества физического моделирования: Более эффективным для исследования динамических режимов функционирования устройств РЗ на различной элементной базе (как электромеханических, так и микропроцессорных) является метод физического моделирования. При этом на входы реального исполнения устройства защиты подаются токи и напряжения, соответствующие смоделированному или записанному переходному режиму. Это позволяет проверить реальную реакцию устройства, обходя ограничения, связанные с неизвестностью внутренних алгоритмов МП РЗА.

Нормативные требования к релейной защите

Для обеспечения стандартизированного подхода к проектированию и эксплуатации РЗА, а также расчетам КЗ, существуют строгие нормативные требования. В России это, прежде всего, Правила устройства электроустановок (ПУЭ), в частности, Глава 3.2 «Релейная защита». Дополнительно используются следующие ГОСТы:

• ГОСТ Р 52735-2007 «Короткие замыкания в электроустановках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжением свыше 1 кВ»: Определяет основные методы расчета ТКЗ для высоковольтных сетей.
• ГОСТ 27514-87 «Короткие замыкания в электроустановках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжением свыше 1 кВ»: Более старый, но все еще актуальный стандарт.
• ГОСТ 28249-93 «Короткие замыкания в электроустановках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжением до 1 кВ»: Регламентирует расчеты для низковольтных сетей.

Эти нормативные документы устанавливают не только методики расчетов, но и требования к надежности, чувствительности, селективности и быстродействию релейной защиты, а также к учету переходных процессов для обеспечения электродинамической и термической стойкости оборудования. Внимательное следование этим стандартам становится фундаментом для создания безопасных и отказоустойчивых энергосистем.

Инновационные подходы и технологические решения для снижения негативного воздействия переходных процессов

С ростом мощностей энергосистем и усложнением их структуры, проблема ограничения негативного воздействия электромагнитных переходных процессов становится все более актуальной. Инженеры и ученые постоянно ищут новые способы повышения надежности и устойчивости систем.

Методы ограничения токов короткого замыкания

Ограничение токов короткого замыкания (КЗ) является одной из ключевых задач для снижения разрушительного воздействия переходных процессов на оборудование. Различают пассивные и активные методы:

Пассивные методы: Связаны с изменением топологии или режима работы сети:

• Раздельная работа источников питания: Вместо параллельной работы нескольких источников, они включаются на отдельные секции шин. Это уменьшает общую мощность КЗ в каждой секции, но может снизить надежность электроснабжения.
• Разделение участков электрических сетей (секционирование): Включение коммутационных аппаратов (секционных выключателей) на сборных шинах или в линиях. Это позволяет уменьшить уровни токов КЗ, иногда до двух раз, поскольку при КЗ отключается поврежденный участок, и ток ограничивается сопротивлением оставшейся части сети. Однако секционирование может повлечь увеличение потерь электроэнергии в нормальном режиме из-за увеличения протяженности питающих линий.
• Отказ от параллельной работы некоторых элементов сети: Например, трансформаторов или линий, что увеличивает эквивалентное сопротивление цепи КЗ.

Активные методы: Включают применение специальных устройств для ограничения тока:

• Токоограничивающий реактор: Индуктивное сопротивление, специально устанавливаемое в цепь для увеличения общего сопротивления в случае КЗ. Реакторы бывают одинарные (последовательно с фидером) или сдвоенные (включаются между секциями шин). Их применение эффективно, но приводит к дополнительным потерям напряжения в нормальном режиме.
• Трансформаторы с расщепленными обмотками низшего напряжения: Такие трансформаторы имеют несколько обмоток НН, каждая из которых питает свою секцию шин. Это увеличивает индуктивное сопротивление между секциями НН, тем самым эффективно ограничивая токи КЗ.
• Безынерционные токоограничивающие устройства (БТУ): Представляют собой современное решение, часто основанное на силовой электронике (например, тиристорах). Они способны практически мгновенно вводить большое сопротивление в цепь при обнаружении сверхтока, тем самым ограничивая ударный ток КЗ. Такие устройства могут быть сверхпроводящими (Superconducting Fault Current Limiters, SFCL) или на основе полупроводниковых ключей.

Повышение надежности и качества электроэнергии

Помимо непосредственного ограничения токов КЗ, учет электромагнитных переходных процессов играет ключевую роль в повышении общей надежности функционирования энергосистем и качества электроэнергии.

• Системы электроснабжения с управляемым аварийным режимом: На современных промышленных предприятиях применяются интеллектуальные системы, где тиристорные выключатели используются для опережающего отключения части трансформаторов или других источников при прогнозировании или возникновении КЗ. Это позволяет динамически изменять конфигурацию сети для минимизации ударных воздействий.
• Оптимизация параметров сети: Детальный анализ переходных процессов позволяет оптимизировать выбор и расстановку оборудования, снизить вероятность резонансных явлений, улучшить координацию изоляции.
• Влияние на качество электроэнергии: Правильный учет переходных процессов во многом определяет качество электроэнергии. Частые или длительные переходные процессы могут вызывать провалы или перенапряжения, искажения формы напряжения, что негативно сказывается на работе чувствительных потребителе��. Точное прогнозирование и управление этими процессами позволяют поддерживать параметры качества электроэнергии в допустимых пределах.
• Использование пропускной способности и экономичность: Глубокое понимание переходных процессов позволяет более полно использовать пропускную способность электрических сетей, не допуская при этом возникновения опасных режимов. Это способствует повышению экономичности работы энергосистем за счет снижения потерь, уменьшения износа оборудования и предотвращения дорогостоящих аварий.

Таким образом, инновационные подходы и технологические решения в области управления электромагнитными переходными процессами направлены на создание более интеллектуальных, гибких и устойчивых электрических систем, способных адаптироваться к изменяющимся условиям и эффективно противостоять аварийным воздействиям. Внедрение этих технологий – не просто вопрос эффективности, но и необходимое условие для устойчивого развития всей электроэнергетики.

Заключение

Электромагнитные переходные процессы – это не просто теоретическая абстракция, а фундаментальная реальность, определяющая надежность, устойчивость и безопасность функционирования любой электрической системы. От их глубокого понимания и точного расчета напрямую зависит эффективность проектирования, эксплуатации и обслуживания всего спектра электроэнергетического оборудования.

Наше исследование показало, что электромагнитные переходные процессы, протекающие в короткие временные интервалы, характеризуются значительными изменениями токов, напряжений и частоты. Особую опасность представляют волновые процессы, способные генерировать импульсные перенапряжения в десятки и сотни киловольт и грозовые токи до 100 кА, требующие строгих стандартов к изоляции. Мы рассмотрели многообразие причин их возникновения – от рутинных коммутаций до критических коротких замыканий, подчеркнув ключевую роль индуктивностей и емкостей как физических накопителей энергии.

Математический аппарат, основанный на законах Кирхгофа, Ома и законах коммутации, позволяет строить детализированные модели, включая комплексные уравнения Парка–Горева для синхронных машин. Анализ различных методов расчета – от классических (операторный метод, метод симметричных составляющих) до современных (фазные координаты) и приближенных инженерных – выявил их преимущества, ограничения и, что особенно важно, конкретные источники погрешностей, которые могут достигать 5-10% и требуют тщательного учета. Введение базисных величин и систем относительных единиц существенно упрощает расчеты, повышая их сопоставимость.

Ключевым аспектом надежности является учет ударного тока и апериодической составляющей тока короткого замыкания. Ударный ток, как максимальное мгновенное значение, определяет электродинамическую устойчивость оборудования, а его расчетные условия (холостой ход, угол включения 0 градусов, индуктивный характер сети) обеспечивают оценку наихудших сценариев. Апериодическая составляющая, определяемая отношением X/R, критически важна для понимания затухания тока и, как следствие, для корректной работы релейной защиты, поскольку именно она вызывает насыщение трансформаторов тока.

Современные программные комплексы, такие как «ToKo», EnergyCS TKZ, АНАРЭС, PSCAD и ETAP, а также универсальные средства типа Matlab Simulink, Mathcad и Smath Studio, предоставляют мощные инструменты для моделирования и анализа этих сложных явлений. Они позволяют прогнозировать сверхтоки и перенапряжения, что является основой для принятия инженерных решений.

Влияние электромагнитных переходных процессов на релейную защиту и автоматику неоспоримо. Сверхтоки, перенапряжения и колебания требуют точных расчетов КЗ для выбора уставок и обеспечения селективности защит. Особое внимание уделено проблемам насыщения трансформаторов тока из-за апериодической составляющей и сложностям с математическим моделированием микропроцессорных РЗА вследствие коммерческой тайны производителей, что делает физическое моделирование предпочтительным методом верификации. При этом необходимо строго следовать нормативным требованиям ПУЭ и соответствующим ГОСТам.

Наконец, мы рассмотрели инновационные подходы для снижения негативного воздействия переходных процессов: от пассивных методов (секционирование, раздельная работа источников) до активных (токоограничивающие реакторы, трансформаторы с расщепленными обмотками, безынерционные токоограничивающие устройства). Применение систем с управляемым аварийным режимом и тиристорных выключателей демонстрирует путь к повышению общей надежности, качества электроэнергии и экономичности энергосистем.

В заключение, глубокое и всестороннее понимание электромагнитных переходных процессов, их точный расчет и эффективное управление являются краеугольным камнем для создания устойчивой, надежной и эффективной электроэнергетической инфраструктуры будущего. Дальнейшие исследования должны быть направлены на развитие более совершенных математических моделей, учет нелинейных эффектов, а также на разработку новых интеллектуальных систем управления и защиты, способных адаптироваться к динамичным условиям современных энергосистем.

Список использованной литературы

1. Булат, В. А., Губанович, А. Г., Силюк, С. М. Электромагнитные переходные процессы: пособие для студентов. – Минск: БНТУ, 2020. – 214 с. ISBN 978-985-550-958-6.
2. Волков, Н. П. Переходные процессы в электрических цепях. Учебно-методическое пособие. – Гомель, 2015.
3. ГОСТ Р 52735-2007 Короткие замыкания в электроустановках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжением свыше 1 кВ.
4. ГОСТ 27514-87 Короткие замыкания в электроустановках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжением свыше 1 кВ.
5. Котова, Е. Н., Паниковская, Т. Ю. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах: учебно-метод. пособие. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. — 216 с.
6. Крючков, И. П., Старшинов, В. А., Гусев, Ю. П., Пираторов, М. В. Переходные процессы в электроэнергетических системах: учебник. – М.: Издательский дом МЭИ, 2008. – 416 с.
7. Мелешкин Г. А. Электромагнитные переходные процессы в электроэнергетических системах. – СПб.: НОУ «Центр подготовки кадров энергетики», 2005. – 376 с. ISBN 5-98408-052-4.
8. Нванкво Э. Д. Моделирования переходных процессов на электрических станции при поврежденных в электрических системы. Реферат.
9. Новобрицкий В. А., Федосов Д. С. Анализ работы устройств релейной защиты в переходном режиме, сопровождающемся насыщением трансформатора тока. // КиберЛенинка.
10. Окуловская Т. Я., Паниковская Т. Ю., Смирнов В. А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах: учебное пособие. – 4-е изд., перераб. и доп. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. – 85 с.
11. Осак, А. Б. Практические методы расчета токов короткого замыкания в ЭЭС при сложных видах замыканий с использованием фазных координат. // Технические науки — от теории к практике. – 2016. – № 2 (50).
12. ПУЭ: Глава 3.2 Релейная защита — Электротехпром.
13. Рожкова, Л.Д. Электрооборудование станций и подстанций: учебник для техникумов / Л.Д. Рожкова, В.С. Козулин. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 648 с.
14. Силюк С.М., Булат В.А., Губанович А.Г. ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Электромагнитные переходные процессы. БНТУ, 2020.
15. С.А.Ульянов Электромагнитные переходные процессы – М.: Энергия, 1970. – 519 с.
16. Яновская Е.А., Губанович А.Г. Способы ограничения токов короткого замыкания в электрических сетях 6–35 кВ. // Актуальные проблемы энергетики – 2016.