Эконометрический анализ социально-экономических процессов в Российской Федерации: Множественная регрессия и диагностика моделей

Введение в эконометрическое моделирование

В современном мире, где экономические процессы становятся все более сложными и взаимосвязанными, потребность в глубоком, количественном анализе возрастает многократно. Недостаточно просто констатировать факты; важно понимать механизмы, движущие экономику, прогнозировать их развитие и, что самое главное, вырабатывать эффективные управленческие решения. Именно здесь на авансцену выходит эконометрика — дисциплина, мост между абстрактной экономической теорией и суровой реальностью статистических данных.

В условиях Российской Федерации, с её уникальными структурными особенностями, такими как экспортно-ориентированные отрасли и чувствительность к мировым ценам на энергоносители, эконометрический анализ приобретает особую актуальность. Он позволяет не только оценить влияние ключевых факторов на социально-экономические показатели, но и выявить скрытые закономерности, способные стать основой для стратегического планирования, ведь без такого понимания риски принятия неверных решений существенно возрастают. Данная работа призвана стать руководством для студентов экономических и финансовых вузов, аспирантов, выполняющих курсовые или дипломные работы, предлагая исчерпывающий обзор методологии множественной регрессии и диагностических тестов в контексте российских реалий.

Роль эконометрики в современной экономике

Эконометрика, по своей сути, является наукой, посвященной разработке и применению статистических методов для количественного описания и анализа экономических отношений. Она служит важнейшим связующим звеном между абстрактными экономическими теориями и эмпирическими данными, превращая гипотезы в измеряемые, проверяемые закономерности. Основная цель эконометрического моделирования заключается не только в глубоком анализе исследуемого экономического процесса, но и в прогнозировании его будущих показателей. Более того, эконометрика позволяет имитировать развитие системы при различных значениях экзогенных переменных, что критически важно для выработки обоснованных управленческих решений. Например, оценить, как изменение ключевой ставки Банка России повлияет на инфляцию или инвестиции, позволяет заранее просчитать последствия без проведения дорогостоящих экспериментов.

Основные подходы к моделированию

В эконометрике традиционно выделяют два основных подхода к построению моделей: поведенческие и феноменологические.

• Поведенческие модели строятся на основе эмпирических наблюдений и статистических данных, без априорной информации о внутренней структуре и механизмах исследуемой системы. Их задача — выявить статистические взаимосвязи, которые могут быть неочевидны или слишком сложны для прямого теоретического вывода. Примером может служить модель, которая обнаруживает корреляцию между потребительскими расходами и уровнем безработицы, не углубляясь в психологические или социологические причины этого явления.
• Феноменологические модели, напротив, основываются на уже существующих экономических законах и теориях. Они стремятся не просто найти статистические связи, но и объяснить их с точки зрения экономической логики. Например, модель, описывающая влияние процентных ставок на инвестиции, будет опираться на кейнсианскую теорию или неоклассические концепции инвестиций. Эти модели часто включают переменные, которые теоретически должны оказывать влияние, и проверяют силу и направление этого влияния эмпирически.

Выбор подхода зависит от целей исследования, доступности данных и степени разработанности экономической теории для конкретного явления. В прикладном эконометрическом анализе социально-экономических процессов в РФ часто используется комбинация этих подходов, где теоретические предпосылки дополняются тщательным анализом данных для выявления наиболее релевантных факторов.

Теоретические основы множественной регрессии

В сердце эконометрического анализа многих социально-экономических процессов лежит метод множественной регрессии. Этот инструмент позволяет исследователям раскрыть сложные взаимосвязи между переменными, выходя за рамки простых парных корреляций и предлагая более полную картину воздействия различных факторов.

Классическая линейная модель множественной регрессии

Множественная линейная регрессия — это статистическая техника, описывающая зависимость одной объясняемой (или зависимой, эндогенной) переменной Y от нескольких объясняющих (независимых, экзогенных) переменных X₁, X₂, …, X_k. В отличие от простой регрессии, где присутствует только один фактор, множественная модель позволяет учесть комплексное влияние ряда детерминант.

Общий вид классической линейной модели множественной регрессии выражается следующей формулой:

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki + εi

Где:

• Y_i — наблюдаемое значение зависимой переменной для i-го наблюдения.
• X_ji — наблюдаемое значение j-й независимой переменной для i-го наблюдения.
• β₀ — свободный член (пересечение), отражающий ожидаемое значение Y, когда все независимые переменные равны нулю, а также влияние неучтенных факторов.
• β_j — коэффициенты регрессии, показывающие, на сколько единиц в среднем изменяется Y при изменении X_j на одну единицу, при условии, что все остальные независимые переменные остаются неизменными (эффект «при прочих равных»).
• ε_i — случайные ошибки (или возмущения), отражающие влияние всех неучтенных в модели факторов, ошибки измерения и случайные отклонения.

Метод наименьших квадратов (МНК)

Оценка параметров β_j в модели множественной регрессии чаще всего осуществляется с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Принцип МНК заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной (Y_i) от её расчётных (прогнозируемых) значений (Ŷ_i), полученных с помощью регрессионного уравнения.

Математически это выглядит как минимизация выражения:

Σni=1 (Yi - Ŷi)2 = Σni=1 (Yi - (β̂0 + β̂1X1i + ... + β̂kXki))2 → min

Где β̂_j — оценки истинных коэффициентов β_j. Этот метод выбирает такие оценки коэффициентов, которые обеспечивают наилучшее «прилегание» регрессионной прямой (или гиперплоскости) к наблюдаемым данным.

Предпосылки классической модели МНК

Корректное применение МНК и надёжность полученных оценок зависят от соблюдения ряда предпосылок, часто называемых предпосылками классической линейной регрессионной модели (КЛРМ):

1. Линейность: Модель является линейной по параметрам. Зависимость между переменными может быть нелинейной, но путём преобразований её можно свести к линейной по параметрам форме.
2. Отсутствие мультиколлинеарности: Между объясняющими переменными отсутствует строгая линейная зависимость.
3. Нулевое среднее значение ошибок: Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю: E(ε_i) = 0. Это означает, что все систематические факторы учтены в модели, а остатки носят случайный характер.
4. Гомоскедастичность: Дисперсия случайных ошибок постоянна для всех наблюдений: Var(ε_i) = σ² = const.
5. Отсутствие автокорреляции: Ошибки независимы друг от друга, то есть ковариация между ошибками различных наблюдений равна нулю: Cov(ε_i, ε_j) = 0 для i ≠ j.
6. Нормальность распределения ошибок: Случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения: ε_i ∼ N(0, σ²). Эта предпосылка важна для проверки статистической значимости коэффициентов при малых выборках.

Теорема Гаусса-Маркова

При соблюдении всех вышеперечисленных классических предпосылок (за исключением нормальности распределения ошибок), теорема Гаусса-Маркова утверждает, что оценки, полученные методом наименьших квадратов (МНК-оценки), обладают рядом оптимальных свойств:

• Несмещенность: Математическое ожидание оценок равно их истинным значениям, то есть E(β̂_j) = β_j. Это означает, что в среднем оценки не имеют систематической ошибки.
• Эффективность: МНК-оценки имеют наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок. Это означает, что они являются наиболее точными.
• Состоятельность: С увеличением объёма выборки МНК-оценки стремятся к истинным значениям параметров.

Таким образом, теорема Гаусса-Маркова является фундаментальным камнем эконометрики, обосновывающим широкое применение МНК в регрессионном анализе. Однако, как мы увидим далее, на практике многие из этих предпосылок могут нарушаться, требуя применения специальных диагностических тестов и методов коррекции.

Спецификация модели и выбор объясняющих переменных для анализа социально-экономических показателей РФ

Спецификация эконометрической модели — это первый и, возможно, самый критичный шаг в любом анализе. Она определяет, какие факторы будут включены в модель и какой функциональной формой будет описываться их взаимосвязь. Ошибка на этом этапе может привести к неверным выводам, даже если все последующие расчёты будут выполнены безупречно.

Отбор факторов: Теоретико-экономический анализ и статистические критерии

Процесс отбора независимых переменных для модели множественной регрессии — это и наука, и искусство. Он начинается с глубокого теоретико-экономического анализа, когда исследователь опирается на устоявшиеся экономические теории, эмпирические исследования и здравый смысл, чтобы определить потенциальные детерминанты зависимой переменной. Например, если мы моделируем заработную плату, теоретически очевидно, что образование, опыт и квалификация должны играть роль.

После первичного отбора на основе теории подключаются статистические критерии. Здесь важен корреляционный анализ, который позволяет оценить степень линейной связи между зависимой и каждой из независимых переменных. Переменные с низкой или неочевидной корреляцией могут быть исключены, однако этот метод не всеобъемлющ, так как может упустить нелинейные связи или маскировать мультиколлинеарность. Также используется t-статистика для оценки статистической значимости каждого коэффициента регрессии после построения предварительной модели, но это уже этап диагностики, а не первичного отбора.

Количественные и качественные факторы: Использование фиктивных переменных

Важно отметить, что не все влияющие факторы могут быть выражены числом. Эконометрика предлагает элегантное решение этой проблемы — фиктивные переменные (dummy variables). Это бинарные переменные, принимающие значения 0 или 1, которые позволяют учесть влияние качественных признаков, таких как:

• Регион: Например, 1, если регион относится к центральному федеральному округу, 0 – иначе.
• Отрасль: 1, если работник занят в горнодобывающей промышленности, 0 – иначе.
• Наличие образования: 1, если у человека высшее образование, 0 – нет.
• Сезонность: Например, фиктивные переменные для каждого квартала, чтобы учесть сезонные колебания.

Использование фиктивных переменных расширяет возможности моделирования, позволяя включить в анализ факторы, которые имеют качественную, а не количественную природу, или описывают структурные изменения.

Факторы, влияющие на среднемесячную заработную плату в РФ

Исследование факторов, формирующих заработную плату в России, демонстрирует сложность и многомерность этого показателя.

• Уровень образования, квалификация, опыт, условия труда, отраслевая принадлежность: Эти микроэкономические факторы играют фундаментальную роль. Согласно исследованиям, работники с высшим образованием в России получают примерно на 28% больше, чем те, кто закончил только среднюю школу. Это подчеркивает значимость инвестиций в человеческий капитал и его прямую корреляцию с уровнем дохода. Наблюдается также положительная, но убывающая отдача на возраст и трудовой стаж работника, что указывает на рост заработной платы по мере накопления опыта, но с замедлением темпов на более поздних этапах карьеры. В разрезе отраслей, значительные премии к заработной плате наблюдаются в горнодобывающей промышленности, энергетическом секторе, транспорте и связи, что отражает высокую капиталоемкость и иногда рискованность этих сфер, тогда как в общественном секторе экономики и сельском хозяйстве заработные платы традиционно ниже.
• Макроэкономические факторы: Общая экономическая ситуация оказывает не менее значимое влияние.
  • Уровень безработицы: Анализ коэффициентов эластичности показал, что среднемесячная заработная плата уменьшается на 1,6% при повышении уровня безработицы на 1%. Это соответствует классической кривой Филлипса, где рост безработицы ослабляет позиции работников на рынке труда, приводя к снижению их переговорной силы.
  • Инфляция (индекс потребительских цен): С увеличением индекса потребительских цен на 1%, среднемесячная заработная плата сокращается на 0,08%. Это говорит о том, что номинальная заработная плата не всегда успевает за ростом цен, что приводит к снижению реальных доходов. Впрочем, другие исследования показывают, что при росте номинальной заработной платы на 1% реальная заработная плата увеличивается на 0,9%, а при росте индекса потребительских цен на 1% реальная заработная плата снижается на 0,8%.
  • Уровень занятости: При росте уровня занятости на 1%, среднемесячная заработная плата увеличивается на 0,08%, что логично: увеличение спроса на труд повышает его цену.
  • Величина прожиточного минимума: При росте прожиточного минимума на 1%, среднемесячная заработная плата увеличивается на 23,5%. Это может быть связано с индексацией зарплат в бюджетном секторе и давлением на работодателей в частном секторе поддерживать определённый уровень дохода для своих сотрудников, обеспечивая социальную стабильность.
  • Инвестиции в основной капитал: Рост инвестиций в основной капитал на 1% приводит к увеличению среднемесячной заработной платы на впечатляющие 281,2%. Это указывает на то, что инвестиции стимулируют экономический рост, создают высокопроизводительные рабочие места и, как следствие, ведут к росту доходов населения, являясь мощным драйвером развития.

Факторы, влияющие на прожиточный минимум и бедность в РФ

Прожиточный минимум и уровень бедности являются ключевыми индикаторами социального благополучия. Их динамика зависит от ряда факторов:

• Индекс потребительских цен, уровень занятости населения, социально-демографические и профессиональные характеристики: Инфляция напрямую влияет на стоимость потребительской корзины, лежащей в основе прожиточного минимума. Уровень занятости определяет доступность доходов для населения, а демографический состав (например, наличие детей) и профессиональная структура также влияют на риск бедности.
• Актуальный расчёт прожиточного минимума: С 1 января 2021 года в России действует новая методика расчёта прожиточного минимума. Он устанавливается как 44,2% от медианного дохода граждан РФ за предыдущий год, с учётом коэффициента дифференциации по каждому региону. Это принципиальное изменение по сравнению с предыдущим подходом, основанным на стоимости потребительской корзины. На 2025 год правительством РФ установлен прожиточный минимум в целом на душу населения в размере 17 733 рублей.
• Феномен «инфляции для бедных»: Это явление становится все более заметным. Высокая инфляция способствует усилению социального неравенства и росту дифференциации доходов, наиболее негативно влияя на благополучие людей с низким уровнем достатка. В марте 2025 года «инфляция для бедных» в России (стоимость корзины потребления малоимущих, включающей минимальный набор продуктов питания, медикаменты, моющие средства, услуги ЖКХ и транспорта) превысила 17% в годовом измерении, тогда как общая инфляция была выше 10%. Это означает, что удорожание корзины потребления малоимущих происходило в 1,7 раза быстрее, чем средней потребительской корзины, что усугубляет проблему бедности и требует адресной социальной поддержки.
• Снижение доли населения ниже границы бедности: По предварительным данным Росстата, в 2024 году доля населения с доходами ниже границы бедности снизилась до 7,2%, при этом граница бедности составила 15 552 рубля (в 2023 году — 14 339 рублей). Это позитивная тенденция, однако феномен «инфляции для бедных» указывает на то, что даже при снижении официальной доли бедности, реальное положение наименее обеспеченных слоев населения может оставаться напряжённым.

Правильная спецификация модели, учитывающая как количественные, так и качественные факторы, а также специфику их влияния в российской экономике, является фундаментом для надежного эконометрического анализа.

Предварительный анализ данных и диагностика мультиколлинеарности

Прежде чем перейти к непосредственной оценке параметров эконометрической модели, необходимо провести тщательную «разведку» данных. Этот этап, часто недооцениваемый, имеет решающее значение для качества и надёжности последующего анализа.

Предварительная обработка данных

Исходные экономические данные редко бывают идеально приспособлены для эконометрического моделирования. Предварительная обработка данных включает ряд процедур:

• Агрегирование: Объединение данных из более мелких единиц в более крупные (например, ежедневные данные в ежемесячные или квартальные).
• Дезагрегирование: Разбиение данных из крупных единиц на более мелкие, если это необходимо для детализации анализа (например, годовые данные на квартальные с использованием специальных методов).
• Экстраполяция: Прогнозирование значений данных за пределами имеющегося временного ряда или диапазона наблюдений.
• Интерполяция: Восстановление пропущенных значений данных внутри имеющегося ряда.
• Вычисление статистических показателей: Расчёт средних значений, дисперсий, стандартных отклонений, коэффициентов вариации для каждой переменной. Это позволяет оценить вариабельность данных и их основные характеристики.
• Проверка на выбросы (аномальные значения): Выявление и, при необходимости, коррекция или исключение наблюдений, значительно отличающихся от общей массы, которые могут исказить результаты регрессии.
• Приведение к сопоставимому виду: Например, использование реальных, а не номинальных значений, приведение к одинаковой размерности или использование индексов.

Этот этап позволяет убедиться в качестве данных и подготовить их к дальнейшему моделированию.

Мультиколлинеарность: Определение

Одним из наиболее серьёзных вызовов в эконометрическом моделировании, особенно при работе с социально-экономическими данными, является мультиколлинеарность. Это явление, при котором существует сильная или даже идеальная линейная зависимость между двумя или более объясняющими переменными в регрессионной модели. Важно понимать, что мультиколлинеарность не нарушает предпосылку о независимости ошибок, но затрагивает предпосылку о независимости самих объясняющих переменных.

Последствия мультиколлинеарности

Наличие мультиколлинеарности в модели может привести к ряду нежелательных и серьёзных последствий:

• Нестабильные и ненадёжные оценки коэффициентов: Коэффициенты регрессии становятся чрезвычайно чувствительными к небольшим изменениям в данных или спецификации модели. Это означает, что даже незначительное добавление или удаление наблюдения может существенно изменить знак или величину коэффициента.
• Большие стандартные ошибки: Стандартные ошибки оценок коэффициентов возрастают, что делает интервальные оценки (доверительные интервалы) очень широкими и менее точными.
• Затруднение экономической интерпретации: Из-за нестабильности и больших стандартных ошибок становится трудно или даже невозможно интерпретировать коэффициенты как независимое влияние каждой переменной, поскольку их эффект «смешивается».
• Ошибочные выводы о статистической незначимости переменных: Высокие стандартные ошибки приводят к низким значениям t-статистик, что часто ведёт к ошибочному выводу о статистической незначимости переменных, которые на самом деле важны с экономической точки зрения.
• Невозможность вычисления оценок МНК при полной коллинеарности: В крайнем случае, когда между переменными существует идеальная линейная зависимость, матрица (X^TX) становится вырожденной, и её невозможно обратить, что делает невозможным получение МНК-оценок.

Методы обнаружения мультиколлинеарности

Выявление мультиколлинеарности требует внимательного анализа:

1. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции: Если между парами независимых переменных наблюдаются высокие значения коэффициентов корреляции (обычно >0.7-0.9), это является первым сигналом. Однако это выявляет только парную коллинеарность, а не множественную.
2. Близость к нулю определителя матрицы (X^TX): Чем ближе определитель этой матрицы к нулю, тем выше степень мультиколлинеарности.
3. Чувствительность оценок коэффициентов к изменению выборки или спецификации: Если небольшие изменения в данных или включение/исключение других переменных существенно меняют значения и знаки коэффициентов, это говорит о мультиколлинеарности.
4. Высокий R² при незначимых t-статистиках коэффициентов: Это классический признак мультиколлинеарности: модель в целом хорошо объясняет вариацию зависимой переменной (высокий R²), но при этом ни один из отдельных факторов не является статистически значимым (низкие t-статистики).
5. Коэффициент инфляции дисперсии (VIF): Один из наиболее надёжных методов. VIF для j-й независимой переменной рассчитывается по формуле:

VIFj = 1 / (1 - R2j)

Где R²_j — коэффициент детерминации регрессии j-й объясняющей переменной на все остальные объясняющие переменные. Значения VIF > 5 или, тем более, > 10 указывают на серьёзную проблему мультиколлинеарности.

Методы устранения мультиколлинеарности

После обнаружения мультиколлинеарности необходимо принять меры для её устранения или ослабления:

1. Исключение сильно коррелированных переменных: Самый простой, но иногда спорный метод. Если две переменные сильно коррелируют, можно оставить ту, которая имеет более сильную теоретическую или статистическую связь с зависимой переменной.
2. Увеличение объёма выборки: В некоторых случаях, если это возможно, увеличение числа наблюдений может помочь «разделить» влияние коррелированных факторов.
3. Преобразование переменных:
   • Агрегирование: Объединение нескольких коррелированных переменных в один агрегированный индекс.
   • Использование первых разностей: Для временных рядов переход от уровней переменных к их первым разностям (ΔX_t = X_t — X_t-1) часто снижает мультиколлинеарность, поскольку устраняет общие тренды.
   • Нелинейные формы: Иногда переход к логарифмам или другим нелинейным преобразованиям может изменить структуру корреляций.
4. Применение специализированных методов:
   • Метод главных компонент (МГК): Преобразует исходные коррелированные переменные в набор некоррелированных главных компонент, которые затем используются в регрессии.
   • Ридж-регрессия (Ridge Regression): Это модифицированный метод МНК, который добавляет небольшое смещение к оценкам коэффициентов, чтобы уменьшить их дисперсию и стабилизировать.

Тщательная диагностика и, при необходимости, коррекция мультиколлинеарности являются залогом получения надёжных и экономически интерпретируемых результатов регрессионного анализа.

Оценка параметров регрессии и интерпретация результатов

После того как модель специфицирована и данные подготовлены, наступает этап оценки её параметров. Этот шаг позволяет количественно выразить взаимосвязи между переменными и оценить их статистическую значимость.

Оценка параметров МНК

Как уже упоминалось, наиболее распространённым методом оценки параметров множественной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК). Он позволяет получить оценки коэффициентов β̂_j, минимизируя сумму квадратов остатков. В матричной форме система нормальных уравнений МНК, решение которой даёт оценки коэффициентов, выглядит так:

(XTX)β̂ = XTY

Где:

• X — матрица независимых переменных (включая столбец единиц для свободного члена).
• Y — вектор зависимой переменной.
• β̂ — вектор оценок коэффициентов регрессии.
• X^T — транспонированная матрица X.

Решение этой системы позволяет получить вектор оценок коэффициентов:

β̂ = (XTX)-1XTY

Это математическое выражение является основой для всех эконометрических пакетов, которые автоматически выполняют эти сложные вычисления, предоставляя исследователю готовые оценки коэффициентов.

Интерпретация коэффициентов регрессии (β_j)

Каждый коэффициент регрессии β_j имеет конкретное экономическое значение: он показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная Y, если соответствующая независимая переменная X_j увеличится на одну единицу, при условии, что все остальные объясняющие переменные остаются неизменными. Этот принцип «при прочих равных» (ceteris paribus) критически важен для корректной интерпретации.

Пример: Если в модели заработной платы коэффициент при переменной «образование» (измеряемой в годах обучения) равен 0.5, это означает, что каждый дополнительный год обучения, при прочих равных условиях (опыт, отрасль и т.д.), в среднем увеличивает заработную плату на 0.5 условных единиц (например, тысяч рублей).

Интерпретация свободного члена (β₀)

Свободный член β₀ (или константа) в уравнении регрессии также имеет свою интерпретацию. Он отражает ожидаемое среднее значение зависимой переменной Y, когда все независимые переменные в модели равны нулю. Экономическая интерпретация свободного члена может быть сложной или даже бессмысленной, если нулевые значения независимых переменных не имеют практического смысла (например, нулевой возраст или нулевой опыт работы). В таких случаях β₀ скорее выступает как статистический «подгоночный» параметр, отражающий влияние всех неучтённых в модели факторов.

Статистическая значимость коэффициентов: t-статистика Стьюдента

Чтобы понять, является ли влияние каждой независимой переменной статистически значимым, то есть не случайным, используется t-статистика Стьюдента. Для каждого коэффициента β̂_j она рассчитывается как отношение его оценки к его стандартной ошибке:

tj = β̂j / SE(β̂j)

Где SE(β̂_j) — стандартная ошибка оценки j-го коэффициента.

Полученное значение |t-статистики| затем сравнивается с критическим значением t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости (например, 5% или 1%) и числа степеней свободы.

• Если |t_j| > t_крит, то коэффициент β_j считается статистически значимым, и гипотеза о его равенстве нулю (H₀: β_j = 0) отвергается. Это означает, что переменная X_j оказывает статистически значимое влияние на Y.
• Если |t_j| ≤ t_крит, то коэффициент β_j считается статистически незначимым, и нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В этом случае переменная X_j, вероятно, не оказывает существенного влияния на Y, и её можно исключить из модели.

Общая адекватность модели: F-статистика Фишера

Помимо индивидуальной значимости каждого коэффициента, необходимо оценить общую адекватность модели, то есть её способность объяснять вариацию зависимой переменной. Для этого используется F-статистика Фишера. Она сравнивает объяснённую дисперсию (вариацию Y, которую объясняет модель) с необъяснённой (вариацией, оставшейся в остатках).

F-статистика рассчитывается как:

F = (ESS / k) / (RSS / (n - k - 1)) = (R2 / k) / ((1 - R2) / (n - k - 1))

Где:

• ESS — объяснённая сумма квадратов.
• RSS — остаточная сумма квадратов.
• k — количество независимых переменных.
• n — количество наблюдений.
• R² — коэффициент детерминации.

Если рассчитанное значение F-статистики превышает критическое значение F-распределения для заданного уровня значимости и соответствующих степеней свободы, то нулевая гипотеза об отсутствии влияния всех независимых переменных на Y отвергается. Это означает, что модель в целом статистически значима и адекватна.

Коэффициент детерминации (R²) и скорректированный R²

Коэффициент детерминации (R²) является одним из ключевых показателей качества модели. Он измеряет долю общей вариации зависимой переменной (Y), которая объясняется включёнными в модель независимыми переменными. R² принимает значения от 0 до 1:

R2 = ESS / TSS = 1 - (RSS / TSS)

Где TSS — общая сумма квадратов.

• R² = 1 означает, что модель идеально объясняет все изменения Y.
• R² = 0 означает, что модель не объясняет вариацию Y лучше, чем простое среднее.

Однако у R² есть недостаток: он всегда увеличивается при добавлении любой новой независимой переменной, даже если она статистически незначима. Для решения этой проблемы используется скорректированный R² (Adjusted R²):

R2adj = 1 - ( (1 - R2) * (n - 1) / (n - k - 1) )

Скорректированный R² учитывает число параметров в модели и является предпочтительным для сравнения моделей с разным числом факторов. Он может уменьшаться, если добавленная переменная не приносит достаточного объясняющего вклада по сравнению с увеличением сложности модели. Высокий скорректированный R², близкий к R², указывает на то, что модель хорошо объясняет данные с относительно небольшим числом значимых переменных.

Диагностические тесты адекватности и состоятельности модели

После оценки параметров модели и проверки общей адекватности, необходимо провести серию диагностических тестов. Эти тесты направлены на проверку выполнения предпосылок классической линейной регрессионной модели, нарушение которых может привести к некорректным выводам, несмотря на высокую статистическую значимость на первый взгляд.

Тестирование на гетероскедастичность

Сущность проблемы: Одной из ключевых предпосылок МНК является гомоскедастичность — постоянство дисперсии случайных ошибок для всех наблюдений (Var(ε_i) = σ² = const). Если это условие нарушается, возникает гетероскедастичность (непостоянство дисперсии ошибок). Это означает, что разброс ошибок вокруг регрессионной прямой неодинаков для разных значений объясняющих переменных.

Последствия: При гетероскедастичности оценки МНК остаются несмещёнными и состоятельными, но теряют эффективность (становятся неэффективными), то есть их дисперсия не является минимальной. Что ещё более опасно, стандартные ошибки оценок коэффициентов становятся смещёнными и несостоятельными, что ведёт к некорректным t- и F-статистикам и, как следствие, ошибочным выводам о статистической значимости.

Методы обнаружения:

1. Графический анализ остатков: Построение графика остатков (ε̂_i) против предсказанных значений зависимой переменной (Ŷ_i) или против каждой из независимых переменных. Если точки на графике образуют некоторую закономерность (например, расширяющийся «конус», сужающуюся «трубу» или «веер»), это указывает на гетероскедастичность.
2. Тест Бройша-Пагана: Этот тест предполагает, что дисперсия ошибок линейно зависит от одной или нескольких объясняющих переменных. Он основан на вспомогательной регрессии квадратов остатков на объясняющие переменные.
3. Тест Уайта: Является одним из самых общих и мощных тестов на гетероскедастичность, поскольку не требует никаких априорных предположений о форме гетероскедастичности. Он основан на регрессии квадратов остатков на объясняющие переменные, их квадраты и попарные произведения.
4. Тест Гольдфельда-Квандта: Применяется, когда предполагается, что дисперсия ошибок монотонно связана с одной из объясняющих переменных. Выборка делится на три части, и МНК применяется к крайним частям.

Методы устранения:

1. Взвешенный МНК (Weighted Least Squares, WLS): Если известна структура дисперсии ошибок (т.е. известно, как дисперсия ошибок зависит от объясняющих переменных), можно использовать WLS, где наблюдениям с меньшей дисперсией ошибок присваиваются большие веса.
2. Преобразование переменных: Часто помогает логарифмирование зависимой переменной (ln Y_i) или других переменных, что может стабилизировать дисперсию.
3. Использование робастных стандартных ошибок (Robust Standard Errors): Эти стандартные ошибки (например, стандартные ошибки Уайта или Ньюи-Веста) корректируют смещение, вызванное гетероскедастичностью (и автокорреляцией), не изменяя сами оценки коэффициентов, но делая t- и F-статистики корректными.

Тестирование на автокорреляцию

Сущность проблемы: Ещё одной важной предпосылкой МНК является отсутствие автокорреляции (или серийной корреляции) ошибок, то есть их независимость друг от друга: Cov(ε_i, ε_j) = 0 для i ≠ j. Эта проблема особенно актуальна при работе с временными рядами, где ошибки соседних наблюдений могут быть взаимосвязаны (например, если ошибка в текущем периоде влияет на ошибку в следующем).

Последствия: При автокорреляции оценки МНК остаются несмещёнными и состоятельными, но, как и в случае с гетероскедастичностью, теряют эффективность. Стандартные ошибки оценок коэффициентов также смещаются, что приводит к некорректным выводам о статистической значимости. Более того, при положительной автокорреляции стандартные ошибки обычно занижаются, что может создавать ложное впечатление о высокой точности оценок. Разве не стоит стремиться к максимально точным и достоверным результатам?

Методы обнаружения:

1. Тест Дарбина-Уотсона (DW): Это классический тест для проверки автокорреляции первого порядка. Значение DW-статистики находится в диапазоне от 0 до 4.
   • Значение DW ≈ 2 указывает на отсутствие автокорреляции.
   • Значение DW < 2 указывает на положительную автокорреляцию.
   • Значение DW > 2 указывает на отрицательную автокорреляцию.

   Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции сравнивается с табличными критическими значениями d_L и d_U.

2. Тест Бройша-Годфри: Является более общим тестом на автокорреляцию, который может выявлять её высшие порядки (не только первый). Он основан на вспомогательной регрессии остатков на лагированные остатки и объясняющие переменные.

Методы устранения:

1. Обобщённый МНК (Generalized Least Squares, GLS): Этот метод позволяет учесть известную структуру автокорреляции и получить эффективные оценки. В случае автокорреляции первого порядка часто используется преобразование Кокрейна-Оркатта или Парка-Глейзера.
2. Преобразования данных: Использование первых разностей (ΔY_t = Y_t — Y_t-1, ΔX_t = X_t — X_t-1) часто помогает устранить автокорреляцию во временных рядах, поскольку устраняет общие тренды.
3. Робастные стандартные ошибки: Как и при гетероскедастичности, робастные стандартные ошибки (например, стандартные ошибки Ньюи-Веста) могут быть использованы для получения корректных t- и F-статистик при наличии автокорреляции, не меняя оценок коэффициентов.

Тесты на стабильность параметров

Экономические взаимосвязи не статичны, они могут меняться со временем из-за структурных изменений в экономике (например, кризисы, реформы, технологические сдвиги). Тесты на стабильность параметров модели позволяют выявить такие структурные сдвиги, при которых взаимосвязи между переменными изменяются.

Пример: CUSUM-тест (Cumulative Sum of Recursive Residuals) позволяет графически и статистически определить, являются ли параметры модели стабильными на протяжении всего периода выборки. Если кумулятивная сумма рекурсивных остатков выходит за пределы доверительных интервалов, это указывает на наличие структурного сдвига.

Если тесты на стабильность выявляют структурный сдвиг, может потребоваться разбиение выборки на подпериоды и построение отдельных моделей для каждого периода, либо использование моделей с переменными параметрами.

Проведение этих диагностических тестов является обязательной частью любого серьёзного эконометрического исследования, так как только при их удовлетворительных результатах можно доверять полученным оценкам и выводам.

Сравнение, выбор и интерпретация эконометрических моделей

После того как вы построили и диагностировали одну или несколько эконометрических моделей, встаёт вопрос: какая из них «лучшая»? Выбор оптимальной модели — это не только статистическая задача, но и искусство, требующее баланса между точностью, простотой и экономической осмысленностью.

Проверка адекватности модели: F-тест Фишера и средняя ошибка аппроксимации (А)

Первичная проверка адекватности модели включает в себя несколько ключевых метрик:

1. F-тест Фишера: Как уже было сказано, F-тест проверяет общую статистическую значимость модели. Если F-статистика превышает критическое значение, это говорит о том, что модель в целом способна объяснять вариацию зависимой переменной лучше, чем простое среднее.
2. Статистическая значимость коэффициентов: Важно, чтобы большинство, если не все, коэффициенты регрессии были статистически значимы по t-критерию Стьюдента, иначе модель может включать «лишние» переменные.
3. Средняя ошибка аппроксимации (А): Это важный показатель качества модели, особенно для прогнозирования. Она измеряет среднее процентное отклонение расчётных (прогнозных) значений зависимой переменной от её фактических значений.

Формула средней ошибки аппроксимации:

A = (1/n) * Σni=1 |(Yi - Ŷi) / Yi| * 100%

Где Y_i — фактическое значение зависимой переменной, Ŷ_i — расчётное значение зависимой переменной, n — число наблюдений. Допустимое значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 10-12% (некоторые источники указывают до 10%), что свидетельствует о хорошем качестве модели и её пригодности для прогнозирования. Если A значительно выше, модель плохо описывает данные.

Модель считается адекватной, если она статистически значима по F-критерию, её коэффициенты также значимы, и средняя ошибка аппроксимации находится в приемлемых пределах.

Информационные критерии: Акаике (AIC), Байесовский (BIC/SC), Ханнана-Куинна (HQC)

При сравнении нескольких моделей, особенно с разным числом параметров, одного R² или даже скорректированного R² недостаточно. В таких случаях на помощь приходят информационные критерии, которые балансируют между точностью подгонки модели к данным и её сложностью (числом параметров). Эти критерии penalize (штрафуют) модели за излишнюю сложность.

• Критерий Акаике (Akaike Information Criterion, AIC):
  AIC = -2 * log(L) + 2 * k
  Где L — максимальное значение функции правдоподобия модели, k — число оцениваемых параметров.
• Байесовский информационный критерий (Bayesian Information Criterion, BIC или SC — Schwarz Criterion):
  BIC = -2 * log(L) + k * log(n)
  Где n — число наблюдений. BIC налагает больший штраф за сложность модели по сравнению с AIC, особенно для больших выборок.
• Критерий Ханнана-Куинна (Hannan-Quinn Criterion, HQC):
  HQC = -2 * log(L) + 2 * k * log(log(n))

Ключевой принцип: Меньшее значение любого из этих информационных критериев указывает на лучшее относительное качество модели. При прочих равных условиях, модель с наименьшим AIC, BIC или HQC предпочтительнее.

Принцип бережливости (бритва Оккама)

В дополнение к статистическим критериям, при выборе модели крайне важен принцип бережливости, известный как «бритва Оккама». Он гласит: «Не следует множить сущности без необходимости». В эконометрике это означает, что из нескольких моделей, одинаково хорошо объясняющих явление, следует выбирать наиболее простую. Излишние предикторы (независимые переменные) могут вносить «шум» в модель, усложнять её интерпретацию и снижать её прогностическую способность на новых данных. Простая, но адекватная модель часто оказывается более надёжной и устойчивой.

Экономическая интерпретируемость и соответствие теории

Наконец, никакой статистический тест или информационный критерий не заменит здравого смысла и глубокого экономического понимания. При выборе модели всегда необходимо учитывать:

• Экономическую интерпретируемость коэффициентов: Соответствуют ли знаки и величины коэффициентов экономической теории? Например, если рост безработицы приводит к увеличению зарплаты, это явно противоречит теории и указывает на проблему в модели.
• Соответствие модели экономической теории: Действительно ли модель описывает наблюдаемое явление с точки зрения устоявшихся экономических законов и гипотез?
• Цели исследования: Для каких целей строится модель — для прогнозирования, анализа влияния или структурного моделирования? Разные цели могут требовать разных подходов к выбору.

Комплексный подход, сочетающий строгие статистические критерии, информационные метрики и глубокое экономическое осмысление, является ключом к успешному выбору и интерпретации эконометрической модели.

Особенности эконометрического анализа социально-экономических данных в Российской Федерации

Применение эконометрических методов к российским социально-экономическим данным имеет свою специфику, обусловленную как особенностями национальной экономики, так и доступностью и качеством статистической информации.

Источники статистических данных

Для проведения надёжного эконометрического моделирования в РФ критически важен доступ к актуальным и достоверным статистическим данным. Основными источниками являются:

• Росстат (rosstat.gov.ru): Федеральная служба государственной статистики — главный национальный поставщик официальной статистической информации. Росстат предоставляет широкий спектр социально-экономических показателей по регионам РФ (демография, уровень жизни, доходы, занятость, промышленное и сельскохозяйственное производство), доступных как для анализа временных рядов, так и для панельных данных.
• Единая межведомственная информационно-статистическая система (ЕМИСС): Система, объединяющая данные различных ведомств, обеспечивая более комплексный доступ к информации.
• Банк России: Публикует макроэкономические показатели, данные по денежно-кредитной политике, финансовым рынкам, инфляции и др.
• Всемирный банк и МВФ: Международные организации, предоставляющие сравнительные данные по России и другим странам, что полезно для кросс-странового анализа.

Специфика российской экономики

Эконометрическое моделирование в России не может игнорировать уникальные черты её экономики:

• Экспортно-ориентированные отрасли: Значительная доля ВВП формируется за счёт экспорта сырьевых ресурсов, прежде всего нефти и газа. Это делает российскую экономику чувствительной к мировым ценам на энергоносители.
• Влияние мировых цен на нефть: Динамика цен на нефть является одним из ключевых факторов, влияющих на макроэкономические показатели России. Снижение цены нефти на 10 долларов за баррель, по оценкам, приводит к потере около 2 триллионов рублей нефтегазовых доходов бюджета. Если цены упадут до 40 долларов за баррель, дефицит бюджета может приблизиться к 10 триллионам рублей, что составляет более 3% ВВП. До 2015 года существовала прямая взаимосвязь: более низкие цены на нефть приводили к более высоким темпам инфляции, однако после 2015 года эта связь ослабла.

Примеры моделирования в РФ

Прикладные исследования в России активно используют эконометрику для анализа различных явлений:

• Влияние инвестиций на ВВП: Эконометрические модели показали, что увеличение государственных инвестиций на 1% приводит к росту ВВП на 0,112%, а увеличение иностранных инвестиций на 1% — к росту ВВП на 0,0745%. Это подчёркивает важность инвестиционной активности для экономического роста.
  • Динамика инвестиций: В 2022 году инвестиции в основной капитал в России превысили 21 триллион рублей и выросли в сопоставимых ценах относительно 2021 года на 4,6%. По данным Росстата, в 2023 году объём инвестиций в основной капитал России составил более 34 триллионов рублей, что на 9,8% больше, чем в предыдущем году, и является самым большим показателем за последние 12 лет.
• Влияние ВВП на национальную валюту: Исследования выявили, что рост ВВП на 1% приводит к укреплению национальной валюты на 1,47%, что указывает на зависимость курса рубля от общей экономической динамики.
• Факторы экономического роста: Помимо инвестиций, значимыми факторами экономического роста в России являются мировые цены на нефть и реальная денежная масса.
• Анализ заработной платы и уровня бедности: Прикладные исследования в РФ фокусируются на анализе факторов, влияющих на заработную плату (например, индекс потребительских цен, уровень занятости, уровень образования, отраслевая принадлежность), а также на детерминантах уровня бедности.

Проблемы эконометрического моделирования в РФ

Несмотря на широкие возможности, эконометрический анализ в России сталкивается с рядом проблем:

• Неверная спецификация модели: Ошибочный выбор переменных или функциональной формы может привести к смещённым и несостоятельным оценкам.
• Агрегирование переменных: Использование высокоагрегированных данных может скрывать важные микроэкономические закономерности.
• Ошибки измерения: Неточность или неполнота статистических данных, особенно на региональном уровне, может искажать результаты.
• Ограниченность статистических данных: Доступность некоторых видов данных или их временных рядов может быть ограничена, что затрудняет построение долгосрочных моделей.
• Проблема стационарности временных рядов: Многие макроэкономические показатели в России (ВВП, инфляция, инвестиции) представляют собой нестационарные временные ряды, что нарушает предпосылки МНК. Для преодоления этой проблемы часто используются преобразования данных, например, переход к первым разностям, что позволяет работать со стационарными рядами.
• Популярное ПО: Для эконометрического анализа в России активно используются такие пакеты, как EViews, SPSS и STATA, предоставляющие широкий инструментарий для моделирования и диагностики.
• Ключевое издание: Журнал «Прикладная эконометрика» является ведущей площадкой для публикации эмпирических исследований и методологических разработок в области эконометрического анализа российских социально-экономических и финансовых процессов.

В целом, эконометрический анализ в РФ требует не только владения теоретическими методами, но и глубокого понимания национальной экономической специфики, а также критического подхода к качеству и интерпретации данных.

Заключение

Исследование эконометрических методов анализа зависимости экономических показателей от социально-экономических факторов, сфокусированное на реалиях Российской Федерации, демонстрирует не только мощь статистических инструментов, но и необходимость глубокого погружения в контекст. От строгого выбора объясняющих переменных, основанного как на экономической теории, так и на статистических критериях, до тщательной диагностики модели на предмет нарушений классических предпосылок — каждый этап имеет решающее значение для получения надёжных и практически применимых результатов.

Мы рассмотрели, как множественная регрессия позволяет количественно оценить влияние таких разнообразных факторов, как уровень образования, безработица, инфляция, инвестиции и даже мировые цены на нефть, на ключевые показатели, такие как среднемесячная заработная плата и прожиточный минимум в России. Были подчёркнуты особенности российского контекста, включая актуальные методики расчёта прожиточного минимума и феномен «инфляции для бедных», который особенно остро затрагивает наименее обеспеченные слои населения.

Диагностические тесты на мультиколлинеарность, гетероскедастичность и автокорреляцию, а также методы их устранения, являются краеугольным камнем состоятельного эконометрического анализа. Только после их успешного прохождения можно доверять полученным оценкам и интерпретировать их с экономической точки зрения, что гарантирует обоснованность и применимость выводов. Наконец, комплексный подход к выбору модели, включающий информационные критерии и принцип бережливости, позволяет выбрать наиболее адекватную и экономически осмысленную модель из множества возможных.

Практическая значимость представленных эконометрических методов для анализа социально-экономических процессов в РФ трудно переоценить. Они предоставляют ценный инструментарий для:

• Прогнозирования: Оценки будущей динамики ключевых экономических показателей.
• Разработки политики: Формирования обоснованных решений в области социальной защиты, трудовой политики, налогообложения и бюджетного планирования.
• Выявления проблемных зон: Идентификации факторов, усугубляющих социальное неравенство или препятствующих экономическому росту.
• Оценки эффективности: Анализа воздействия реализованных программ и реформ.

Дальнейшие исследования могли бы углубиться в применение панельных данных для более детального анализа региональных различий в России, использование более сложных моделей временных рядов (например, ARIMA, GARCH) для учёта специфической динамики, а также анализ нелинейных зависимостей и пороговых эффектов, которые часто присутствуют в социально-экономических системах. Развитие этих направлений позволит ещё более точно и всесторонне понимать сложные процессы, формирующие экономический ландшафт Российской Федерации.

Список использованной литературы

1. Кузнецов, Е. Н. Подготовка и оформление предметно-аналитической справки (курсовой работы) по эконометрике / Е. Н. Кузнецов, Т. А. Спиридонова. – Москва : ГОУВПО ВАВТ, 2007.
2. Бауман, Е. В. Методические рекомендации к решению задач по курсу «Эконометрика» с помощью Microsoft Excel / Е. В. Бауман, Н. Е. Москаленко. – Москва : ГОУВПО ВАВТ, 2007.
3. Эконометрические методы в современной экономике / Е. Ю. Самышева // Российское предпринимательство. – 2010. – № 10. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonometricheskie-metody-v-sovremennoy-ekonomike/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
4. Эконометрический анализ влияния социально-экономических факторов на заработную плату населения в России. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonometricheskiy-analiz-vliyaniya-sotsialno-ekonomicheskih-faktorov-na-zarabotnuyu-platu-naseleniya-v-rossii/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
5. Моделирование среднемесячной номинальной начисленной заработной платы. – Самара : Самарский университет государственного управления «Международный институт рынка». – URL: https://www.samui.ru/articles/modelirovanie-srednemesyachnoj-nominalnoj-nachislennoj-zarabotnoj-platy/ (дата обращения: 03.11.2025).
6. О спецификации модели (уравнения множественной регрессии). – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/o-spetsifikatsii-modeli-uravneniya-mnozhestvennoy-regressii/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
7. Построение множественной регрессии и оценка качества модели с исполь. – Электронная библиотека РГГМУ. – URL: https://elib.rggmu.ru/download/1811 (дата обращения: 03.11.2025).
8. Регрессионный анализ определения факторов, влияющих на прожиточный минимум в Российской Федерации. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/regressionnyy-analiz-opredeleniya-faktorov-vliyayuschih-na-prozhitochnyy-minimum-v-rossiyskoy-federatsii/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
9. Эконометрический анализ уровня заработной платы в Российской Федерации за 2005-2022 гг. / ООО «Перспектива». – Эдиторум – Наука и мир. – URL: https://science-peace.ru/wp-content/uploads/2023/12/3-3.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
10. Факторы, влияющие на оплату труда. – URL: https://vestnik.nvsu.ru/files/pdf/31_17.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
11. Факторы, определяющие заработную плату. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/faktory-opredelyayuschie-zarabotnuyu-platu/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
12. Множественная регрессия в эконометрических исследованиях. – URL: http://orenburg.ranepa.ru/upload/iblock/c34/Tema_5-Mnozhestvennaya-regressiya-v-ekonometricheskih-issledovaniyah.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
13. Эконометрическое моделирование объемов заработной платы в Российской Федерации / ООО «Перспектива». – Эдиторум — Editorum. – URL: https://science-peace.ru/wp-content/uploads/2022/12/%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D1%83%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
14. Построение модели регрессии по временным рядам с целью прогнозирован. – Вестник Евразийской науки. – URL: https://esj.today/PDF/05ECVN120.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
15. Виды переменных в эконометрических моделях. – URL: https://uchenaya-sova.ru/wp-content/uploads/2019/11/19-ekonometrika.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
16. Лабораторная работа №1 Тема: «Построение регрессионных моделей». – URL: https://www.bstu.ru/static_pages/uch_lit/lab_rab_po_ekonometrii.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
17. Мультиколлинеарность. – URL: https://mgsu.ru/upload/iblock/36d/36dd9a647e3a24687550302b4a532328.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
18. Обнаружение мультиколлинеарности, ее причины и последствия. – URL: https://bstudy.net/603223/ekonomika/obnaruzhenie_multikollinearosti_prichiny_posledstviya (дата обращения: 03.11.2025).
19. Определение мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности. Методы обнаружения мультиколлинеарности. – Эконометрика (Яковлева А.В., 2010). – URL: https://be5.biz/ekonomika/e006/05.htm (дата обращения: 03.11.2025).
20. Мультиколлинеарность (Multicollinearity). – Loginom Wiki. – URL: https://wiki.loginom.ru/articles/multicollinearity.html (дата обращения: 03.11.2025).
21. Тема 4. Мультиколлинеарность. – URL: https://www.hse.ru/data/2010/10/22/1225574328/Lec4.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
22. Эконометрика. – Научная библиотека УлГТУ. – Ульяновский государственный технический университет. – URL: https://lib.ulstu.ru/fulltext/elib/elib2/ekonometrika.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
23. Тест Дарбина-Уотсона. – Форсайт. – URL: https://www.forecast.ru/Docum/library/econometrics/Test_Darbin_Uotsona.ru.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
24. Тест Уайта (White). – URL: http://univer-nn.ru/ekonometrika/test-uajta/ (дата обращения: 03.11.2025).
25. Устранение гетероскедастичности. – URL: https://www.rta.customs.ru/uploads/document/document/d2d/d2ddf3e82813137e0e7a25a3a7801815.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
26. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии. – URL: https://donnu.ru/wp-content/uploads/2019/11/Ekonometrika1.doc (дата обращения: 03.11.2025).
27. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков. – Онлайн-калькулятор. – URL: https://mathprofi.ru/test_darbina_uotsona_na_nalichie_avtokorreljacii_ostatkov.html (дата обращения: 03.11.2025).
28. Тесты на гетероскедастичность: Голдфелда-Квандта, тест Уайта. – URL: https://studfile.net/preview/5267027/page:19/ (дата обращения: 03.11.2025).
29. Тест Бройша — Пагана. – URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1471783 (дата обращения: 03.11.2025).
30. Автокорреляция. – URL: https://www.hse.ru/data/2011/10/05/1269389255/lec8.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
31. Анализ стабильности модели линейной регрессии во времени. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-stabilnosti-modeli-lineynoy-regressii-vo-vremeni/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
32. Информационные критерии. – Форсайт. – URL: https://www.forecast.ru/Docum/library/econometrics/Inf_Criteria.ru.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
33. Информационные критерии качества моделей регрессии. – Loginom. – URL: https://wiki.loginom.ru/articles/information-criteria.html (дата обращения: 03.11.2025).
34. Проверка адекватности регрессионной модели. – AlexLat. – URL: https://alexlat.ru/ekonometrika/proverka-adekvatnosti-regressionnoj-modeli.html (дата обращения: 03.11.2025).
35. § 5.4. Проверка адекватности регрессионной модели. – URL: https://bstudy.net/691060/ekonomika/proverka_adekvatnosti_regressionnoy_modeli (дата обращения: 03.11.2025).
36. Критерии оценки качества регрессионной модели, или какая модель хорошая, а какая лучше. – Форсайт. – URL: https://www.forecast.ru/Docum/library/econometrics/Quality_Criteria.ru.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
37. Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования. – URL: https://edu.asu.ru/files/ekonometrika/glava1_2_3.doc (дата обращения: 03.11.2025).
38. Журнал «Прикладная эконометрика». – ИСТИНА – Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных. – URL: https://istina.msu.ru/journals/5080064/ (дата обращения: 03.11.2025).
39. Эконометрическая модель Российской Федерации (версия 2020 года): оценки, прогнозы, анализ. – URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=45759711 (дата обращения: 03.11.2025).
40. Показатели социально-экономического развития России. – URL: https://www.hse.ru/data/2021/03/17/1384024467/soc-econ_indicators_of_russian_regions.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
41. Федеральная служба государственной статистики. – URL: https://rosstat.gov.ru/ (дата обращения: 03.11.2025).
42. Анализ показателей социально-экономического развития Российской Федерации. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-pokazateley-sotsialno-ekonomicheskogo-razvitiya-rossiyskoy-federatsii/viewer (дата обращения: 03.11.2025).
43. Расчет социально-экономических показателей регионов России в период. – URL: http://www.gmu.uniyar.ac.ru/conf/conf/section_3/kuzina_ea.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
44. Социально-экономические показатели регионов России. – Если быть точным. – URL: https://eslitotchno.ru/rosstat-regional-indicators/ (дата обращения: 03.11.2025).
45. Эконометрический анализ данных в SPSS и STATA. – Высшая школа экономики. – URL: https://www.hse.ru/data/2022/10/26/1987522530/sp_spss_stata_hse.pdf (дата обращения: 03.11.2025).