Методика формирования логической операции классификации у младших школьников (1-4 классы) на материале геометрии в контексте требований ФГОС НОО

В современном образовательном ландшафте, где акцент смещается от простого воспроизведения знаний к развитию критического мышления и универсальных учебных действий (УУД), формирование логических операций у младших школьников приобретает первостепенное значение. Особое место в этом процессе занимает операция классификации – краеугольный камень аналитического мышления, позволяющий структурировать информацию, выявлять существенные признаки и строить непротиворечивые системы знаний.

Однако, как показывает практика и анализ существующих методических подходов, целенаправленное и системное формирование умения классифицировать, особенно по существенным признакам, все еще остается «слепой зоной» в начальной школе. Проблема усугубляется недостаточной проработкой связи между психолого-возрастными особенностями младших школьников, актуализированными требованиями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО) 2022 года и дидактическим потенциалом школьного курса геометрии.

Актуальность данной работы обусловлена необходимостью разработки современной, научно обоснованной и практико-ориентированной методики, которая позволит эффективно формировать логическую операцию классификации у учащихся 1-4 классов. Цель исследования состоит в теоретическом обосновании и разработке системы методических приемов и упражнений по формированию классификационных умений на геометрическом материале в соответствии с актуальными требованиями ФГОС НОО и психолого-педагогическими теориями развития мышления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

1. Провести психолого-педагогический анализ развития логического мышления младших школьников, с акцентом на операции классификации и ее сензитивных периодах.
2. Изучить требования обновленного ФГОС НОО к познавательным УУД, в частности к умению классифицировать с самостоятельным выбором оснований.
3. Обосновать дидактический потенциал геометрического материала для целенаправленного формирования классификационных умений.
4. Разработать систему упражнений и методических приемов, основанных на деятельностном подходе, дифференцированных с учетом возрастных особенностей.
5. Определить критерии, уровни и диагностический инструментарий для оценки сформированности классификационных умений на геометрическом материале.

Объектом исследования является процесс формирования логической операции классификации у младших школьников. Предметом исследования выступает методика формирования логической операции классификации у младших школьников 1-4 классов на материале геометрии.

Теоретико-методологические основы формирования логической операции классификации у младших школьников

В этой главе мы погрузимся в мир детского мышления, исследуем, как оно развивается, и почему операция классификации имеет столь фундаментальное значение, рассматривая ведущие психолого-педагогические концепции, формирующие основу для понимания этого процесса.

Психолого-педагогический анализ развития логического мышления в младшем школьном возрасте

Логическая операция классификации представляет собой деление рода (класса) на виды (подклассы) на основании установления существенных признаков объектов, составляющих данный род. Иначе говоря, это умение группировать объекты по общим, значимым характеристикам, отбрасывая второстепенные. В контексте обучения, логические универсальные учебные действия (УУД) – это комплекс познавательных приемов, которые позволяют школьникам самостоятельно ориентироваться в учебном материале, анализировать его, синтезировать новые знания, сравнивать, обобщать и, конечно, классифицировать информацию.

Младший школьный возраст, охватывающий период примерно с 7 до 11 лет (1-4 классы), является сензитивным периодом, критически важным для развития словесно-логического мышления. Это время, когда происходит переход от преимущественно наглядно-образного мышления, опирающегося на конкретные образы и действия, к мышлению, которое становится все более произвольным и осознанным, способным оперировать понятиями и суждениями. Ключевой переход к доминированию словесно-логического мышления над наглядно-образным совершается в период 9–10 лет (приблизительно 3–4 классы). Именно в этот период учащиеся начинают ориентироваться не только на внешние, но и на внутренние, существенные свойства и отношения объектов, что открывает путь к освоению сложных логических операций, таких как классификация.

Развитие логического мышления у детей активно изучалось выдающимися психологами и педагогами.

• Жан Пиаже в своей концепции когнитивного развития подчеркивал, что мышление проходит через ряд стадий. Младший школьный возраст соответствует стадии конкретных операций (7-11 лет), когда ребенок начинает использовать логические правила для решения конкретных задач. Он учится интериоризировать внешние действия, то есть переводить их во внутренний, умственный план. Однако Пиаже считал этот процесс самопроизвольным, закономерным, основанным на созревании структур мозга и взаимодействии с физическим миром.
• Л.С. Выготский, напротив, в рамках своей культурно-исторической концепции доказывал, что развитие психики, и мышления в частности, происходит не изолированно, а в тесном взаимодействии с социальной средой. Для Выготского, интерпсихическое (внешнее, социальное взаимодействие) становится интрапсихическим (внутренним, индивидуальным), что означает, что ребенок усваивает культурные инструменты и знаки через общение со взрослыми и сверстниками. Это взаимодействие и направленное обучение являются движущей силой развития логических операций.
• Д.Б. Эльконин и В.В. Давыдов в теории развивающего обучения развили идеи Выготского, сделав акцент на формировании у детей теоретического типа обобщения. В отличие от эмпирического обобщения, которое базируется на внешних, несущественных признаках, теоретическое обобщение позволяет выделять внутренние, генетически первичные связи и отношения объектов. Их подход предполагает, что целенаправленное формирование логического мышления может быть осуществлено на более ранних ступенях развития, если обучение будет строиться на основе анализа существенных связей и отношений.

Слабость логического мышления у младших школьников часто проявляется в неумении сравнивать, трудности в нахождении сходных качеств и выделении существенных признаков, что делает целенаправленное формирование умения классифицировать критически важным. Типичная проблема состоит в том, что на начальной стадии (1–2 классы) учащиеся принимают за существенные признаки объекта только яркие, внешние и поверхностные характеристики (например, цвет, размер, расположение), игнорируя более глубокие структурные связи. Это затрудняет процесс абстрагирования и нахождение скрытых логических оснований для классификации, а ведь именно понимание этих внутренних связей открывает путь к глубокому усвоению материала и формированию подлинно научного мышления.

Требования ФГОС НОО и дидактический потенциал математического курса

Современная образовательная парадигма, закрепленная в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования (ФГОС НОО), ставит перед школой задачу не только передавать знания, но и формировать у учащихся метапредметные результаты, которые включают в себя умение учиться, познавать и применять полученные знания в разнообразных ситуациях. Именно к метапредметным результатам ФГОС НОО относит овладение познавательными универсальными учебными действиями (УУД), среди которых выделяются логические операции: сравнение, анализ, синтез, обобщение, сериация и, конечно, классификация.

Актуализированный ФГОС НОО (изменения 2022 года) значительно усиливает требования к формированию познавательных УУД. Особое внимание уделяется умению «классифицировать, самостоятельно выбирая основания и критерии для классификации». Это не просто пассивное распределение объектов по заданным категориям, а активный, творческий процесс, требующий от ребенка способности к анализу, абстрагированию и критическому мышлению. Таким образом, стандарты прямо указывают на необходимость целенаправленного обучения, выходящего за рамки простого запоминания.

Предмет «Математика» в начальной школе является одним из основных, предоставляющих широчайшие возможности для формирования логических УУД. Само содержание математики пронизано логикой: операции с числами, решение задач, изучение геометрических форм – все это требует анализа, сравнения, обобщения и классификации. В 1–4 классах курс математики направлен на целенаправленное и систематическое формирование приемов умственной деятельности, включая классификацию, в процессе усвоения математического содержания.

Таблица 1. Сравнительный анализ УМК по математике в начальной школе (фрагмент, касающийся классификации геометрического материала)

Критерий / УМК	«Школа России» (М.И. Моро и др.)	«Перспектива» (Л.Г. Петерсон и др.)
Геометрический материал	Включен с 1 класса. Распознавание, сравнение фигур, построение отрезков.	Включен с 1 класса. Более раннее знакомство с понятиями «точка», «линия», «многоугольник».
Упражнения на классификацию	Присутствуют, но часто носят репродуктивный характер (классификация по 1-2 явно заданным признакам). Количество заданий может быть недостаточным для целенаправленного формирования самостоятельного выбора оснований.	Активно используются задания на классификацию, в том числе с возможностью выбора нескольких оснований. Ориентация на поисковую деятельность.
Акцент на существенные признаки	Чаще ориентируется на внешние, наглядные признаки на ранних этапах.	С первых классов формируется установка на поиск существенных признаков, хотя и в пределах наглядного материала.
Соответствие ФГОС НОО (2022)	Общие задачи по формированию УУД соответствуют. Требует дополнительной методической проработки для достижения самостоятельного выбора оснований.	Методика изначально более ориентирована на активное познание и самостоятельный выбор, что лучше согласуется с актуализированным ФГОС.

Анализ учебно-методических комплексов (УМК), таких как «Школа России» и система Л.Г. Петерсон, показывает, что геометрический материал включен в содержание с 1 класса и активно используется для обучения сравнению, обобщению и классификации. Однако, как видно из таблицы, количество и глубина заданий на классификацию, требующих самостоятельного выбора оснований, может варьироваться, что подчеркивает необходимость разработки дополнительной, целенаправленной методики, способной закрыть эти пробелы и обеспечить полное соответствие актуальным требованиям ФГОС НОО.

Разработка и экспериментальное обоснование методики формирования классификационных умений на геометрическом материале

В этой главе мы перейдем от теории к практике, исследуя, как именно можно использовать геометрический материал для развития сложных логических операций и как построить эффективную систему обучения.

Дидактическое обоснование использования геометрического материала

Геометрический материал в начальной школе занимает особое положение. Он не выделен в самостоятельный раздел в традиционном понимании, как это происходит в основной школе. Его функция в начальных классах преимущественно пропедевтическая, то есть подготовительная. Он закладывает фундамент для систематического изучения геометрии, которая традиционно начинается в 7-м классе основной школы с аксиоматического подхода, доказательств теорем и изучения геометрических преобразований.

Изучение геометрического материала в начальной школе направлено, прежде всего, на формирование четких и правильных геометрических представлений о таких объектах, как точка, линия, отрезок, многоугольник, прямоугольник, куб, шар и многие другие. В отличие от строгого формирования понятий, которое подразумевает овладение их существенными свойствами и отношениями на уровне абстракции, на начальном этапе акцент делается на наглядном распознавании, сравнении и моделировании.

Таблица 2. Содержание геометрического материала по классам в начальной школе

Класс	Основные темы геометрического материала
1 класс	Распознавание круга, треугольника, прямоугольника, отрезка. Построение отрезка, квадрата, треугольника с помощью линейки. Сравнение фигур по форме, размеру.
2 класс	Измерение длины ломаной линии, определение периметра многоугольника. Знакомство с видами углов (прямой, острый, тупой) на интуитивном уровне.
3 класс	Понятие площади фигуры, измерение и сравнение площадей. Единицы площади. Окружность и круг. Виды треугольников (по углам и сторонам).
4 класс	Диагонали прямоугольника. Знакомство с объемными телами: куб, параллелепипед, пирамида, конус, цилиндр. Развертки фигур.

Эта постепенная детализация содержания позволяет нам выстраивать систему классификационных задач от простого к сложному. Например, в 1 классе можно классифицировать фигуры по количеству углов (треугольники, четырехугольники), а в 4 классе — по наличию параллельных граней у объемных тел или по комбинации признаков у многоугольников (например, «прямоугольные треугольники»).

Геометрические фигуры обладают исключительно высоким дидактическим потенциалом для развития логического мышления. Они являются идеальным наглядным материалом, который можно использовать для построения заданий на распознавание, сравнение, обобщение и, что особенно важно для нашего исследования, классификацию. Их четкие, измеримые свойства (количество сторон, углов, равенство сторон, наличие прямых углов, симметрия) позволяют легко выделять существенные признаки.

Для выявления существенных признаков геометрических фигур и формирования обобщений активно используется лабораторный метод. Учащиеся выполняют практические опыты с моделями фигур: измеряют их, разрезают, сгибают, перекладывают, строят. Это позволяет им на чувственном уровне «открыть» свойства фигур, а затем вербализовать эти открытия. Такой подход соответствует деятельностному подходу (А.Н. Леонтьев), который утверждает, что развитие мышления происходит в результате целенаправленной деятельности.

В рамках деятельностного подхода, согласно концепции П.Я. Гальперина, развитие мышления проходит через следующие этапы:

1. Внешние материальные действия: Ребенок физически манипулирует объектами (например, строит фигуры из палочек, сравнивает их наложением).
2. Проговаривание действий (внешняя речь): Ребенок описывает свои действия и их результаты вслух, формулирует свойства фигур.
3. «Сворачивание» действия и его переход во внутренний, умственный план (интериоризация): Ребенок начинает выполнять эти действия «про себя», в уме, оперируя представлениями и понятиями.

Формирование классификационных умений на геометрическом материале способствует не только развитию логического мышления, но и наблюдательности, умения выделять существенные признаки предмета и абстрагировать форму от других свойств (цвета, размера, материала), что является важным шагом к формированию теоретического мышления.

Структура методики: Полный алгоритм и система упражнений

Разработка эффективной методики формирования классификационных умений требует четкого понимания самого процесса классификации и его поэтапного освоения младшими школьниками. Полный алгоритм классификации, которым должен овладеть младший школьник, включает в себя следующие этапы:

1. Определение рода объектов: Четкое понимание того, какой набор объектов предстоит классифицировать (например, «все геометрические фигуры на листе», «все треугольники», «все многоугольники»).
2. Выявление признаков объектов: Определение всех возможных характеристик, по которым объекты могут различаться (например, для треугольников: количество сторон, длина сторон, количество углов, наличие прямого угла, цвет, размер). На этом этапе важно научить детей видеть не только очевидные, но и скрытые признаки.
3. Определение существенного отличительного признака (основания классификации): Это самый сложный и критически важный этап. Ребенок должен выбрать тот признак, который является наиболее значимым для деления на группы, позволяющим создать логически непротиворечивые подклассы. Например, для классификации многоугольников существенным признаком будет «количество сторон», а не «цвет» или «размер».
4. Распределение объектов на виды (подклассы): Непосредственно группировка объектов согласно выбранному существенному признаку, с соблюдением правила, что каждый объект должен попасть только в одну группу, и ни один объект не должен остаться неклассифицированным.

Для эффективного освоения этого алгоритма необходимо использовать систему творческих и поисковых упражнений, дифференцированных с учетом возрастного «скачка» к словесно-логическому мышлению, который происходит приблизительно в 9-10 лет (3-4 классы). В этот период учащиеся становятся способны к более сложным мыслительным операциям, переходя от опоры на внешние признаки к выделению внутренних, существенных характеристик.

Примеры упражнений, дифференцированных по возрастным особенностям:

1-2 классы (преимущественно наглядно-образное мышление):

• Задание «Разложи по коробкам»: Предложить набор плоских или объемных геометрических фигур (круги, квадраты, треугольники, кубы, шары) разных цветов и размеров. Задача: «Разложи фигуры так, как считаешь нужным. Расскажи, почему ты так разложил». Цель: выявление первичных оснований классификации (часто внешних: цвет, размер, форма).
• Задание «Найди пару»: Дать карточки с изображениями геометрических фигур. Задача: «Найди фигуры, которые чем-то похожи друг на друга». Цель: развитие умения сравнивать и выделять общие признаки.
• Задание «Один лишний»: На доске или карточке представлены 4 фигуры, 3 из которых обладают общим существенным признаком, а одна – нет. Задача: «Какая фигура лишняя и почему?» Например: 3 треугольника и 1 квадрат. Цель: научить выделять существенный признак и обосновывать выбор.
• Игры с блоками Дьенеша или счетными палочками: Построение фигур по образцу, затем классификация построенных фигур по количеству палочек (сторон), количеству углов.

3-4 классы (переход к словесно-логическому мышлению, формирование теоретического обобщения):

• Задание «Классификация многоугольников»: Предложить набор различных многоугольников (треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники, ромбы, прямоугольники, трапеции, параллелограммы). Задача: «Раздели эти фигуры на группы. Придумай разные способы классификации. Какое основание для классификации ты выбрал и почему?» Цель: самостоятельный выбор основания, выделение существенных признаков, логическое обоснование.
• Задание «Классификация по двум и более существенным признакам»: Например, «Раздели все четырехугольники на группы так, чтобы в каждой группе были только те, у которых есть прямой угол и равные стороны». Или: «Классифицируй треугольники по количеству равных сторон и по наличию прямого угла». Это позволяет перейти к комбинированной классификации (например, равнобедренные прямоугольные треугольники).
• Задание «Построй по условию»: «Начерти многоугольник, который относится к классу четырехугольников, но не является прямоугольником и не является ромбом». Это требует не только классифицировать, но и синтезировать знания о свойствах фигур.
• Логические задачи с использованием геометрического материала и логических связок: Например, «Если фигура имеет 4 равные стороны и 4 прямых угла, то это квадрат. Если фигура имеет 4 равные стороны, но не имеет прямых углов, то это…». Цель: применение логики для выведения свойств и классификации.
• Задание «Дерево классификации»: Предложить учащимся построить иерархическую схему классификации геометрических фигур, начиная с «Геометрические фигуры» и спускаясь до конкретных видов, указывая основания на каждом уровне (например, «фигуры» → «плоские/объемные» → «плоские» → «многоугольники/не многоугольники» → «многоугольники» → «треугольники/четырехугольники» и т.д.).

Критерии, уровни и диагностический инструментарий оценки

Эффективность любой методики определяется возможностью объективной оценки достигнутых результатов. Для формирования классификационных умений на геометрическом материале необходимо определить четкие критерии и диагностический инструментарий.

Критерии высокого уровня сформированности классификации у младших школьников:

1. Способность анализировать и обобщать: Умение выделять существенные признаки у группы геометрических фигур.
2. Самостоятельный выбор основания: Способность не просто классифицировать по заданному признаку, а самостоятельно выбирать наиболее адекватное основание для классификации из множества возможных.
3. Логическое обоснование выбора: Умение аргументировать свой выбор существенного признака, объясняя, почему именно этот признак является ключевым для данной классификации, а другие – второстепенными.
4. Полное и безошибочное распределение: Способность распределить все объекты по группам так, чтобы каждый объект попал в одну и только одну группу, и ни один объект не должен остаться неклассифицированным.
5. Гибкость мышления: Умение классифицировать один и тот же набор фигур по разным основаниям.

Для оценки уровня сформированности умения классифицировать применяются диагностические методики, которые позволяют судить о владении операциями обобщения и отвлечения, а также о способности выделять существенные признаки. К наиболее распространенным методикам диагностики уровня сформированности классификации у младших школьников относятся:

1. Методика «Классификация» (Семаго М.М.): Изначально эта методика предполагает работу с реальными объектами (овощи, фрукты, посуда, одежда и т.д.). Для адаптации к геометрическому материалу можно использовать карточки с изображениями различных геометрических фигур (плоских и объемных), фигур разного цвета, размера, расположения, но имеющих общие существенные признаки. Ребенку предлагается разложить фигуры на группы «так, как ему удобно», а затем объяснить свой выбор. При этом фиксируется, какие признаки (внешние или существенные) ребенок использует, способен ли он изменить основание классификации по просьбе экспериментатора.
2. Методика «Четвертый лишний»: Эта методика также может быть успешно адаптирована к геометрическому материалу. На карточке или слайде предъявляются 4 изображения геометрических фигур. Три из них объединены общим существенным признаком, а одна фигура этим признаком не обладает. Задача ребенка – назвать лишнюю фигуру и объяснить свой выбор. Например:
   • Три треугольника и один квадрат (лишний квадрат, так как у него 4 стороны, а у остальных 3).
   • Три прямоугольника (разных размеров) и один ромб (лишний ромб, так как у него стороны равны, но углы не прямые, в отличие от прямоугольников).
   • Три объемные фигуры (куб, параллелепипед, пирамида) и один круг (лишний круг – плоская фигура).

   По мере усложнения задач, можно предлагать варианты, где «лишним» может быть несколько фигур в зависимости от выбранного основания (например, 3 треугольника и 1 ромб – если основание «количество углов», то ромб лишний, если основание «наличие прямых углов», то могут быть и другие варианты). Это развивает гибкость мышления.

Пример протокола наблюдения за выполнением заданий на классификацию геометрических фигур:

Критерий / Уровень	Низкий уровень	Средний уровень	Высокий уровень
Выбор основания классификации	Классифицирует только по внешним, несущественным признакам (цвет, размер) или не может выбрать основание.	Может классифицировать по одному явному, но не всегда существенному признаку. Испытывает трудности при поиске нескольких оснований.	Самостоятельно выбирает существенные признаки, может предложить несколько оснований для одной группы фигур.
Обоснование выбора	Не может обосновать свой выбор или обосновывает его поверхностно.	Обосновывает выбор, но испытывает трудности с формулированием существенного признака.	Четко и логично обосновывает свой выбор существенного признака, использует математическую терминологию.
Полнота и безошибочность	Ошибки в распределении, некоторые фигуры остаются неклассифицированными или попадают в несколько групп.	Незначительные ошибки в распределении, может требоваться помощь для коррекции.	Классифицирует полностью и безошибочно, каждый объект попадает в одну группу.
Гибкость мышления	Не способен изменить основание классификации по просьбе.	С трудом меняет основание классификации, требуется значительная помощь.	Легко меняет основание классификации, видит множественные связи между объектами.

Использование подобных диагностических инструментов позволит не только констатировать уровень сформированности классификационных умений, но и выявить типичные затруднения учащихся, чтобы корректировать методику и индивидуализировать процесс обучения.

Заключение

Данная курсовая работа посвящена одной из фундаментальных задач начального образования – формированию логической операции классификации у младших школьников, сфокусированной на богатом дидактическом потенциале геометрического материала и строго соответствующей современным академическим требованиям. В ходе исследования было показано, что целенаправленное развитие классификационных умений критически важно для становления словесно-логического мышления, особенно в сензитивный период 9-10 лет (3-4 классы), когда происходит переход от опоры на внешние признаки к выявлению внутренних, существенных характеристик объектов.

Мы проанализировали актуализированные требования Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО) 2022 года, которые не просто декларируют важность классификации, но и требуют от обучающихся умения «классифицировать, самостоятельно выбирая основания и критерии для классификации». Этот акцент на самостоятельности выбора оснований является ключевым отличием нашего подхода от традиционных, часто репродуктивных методик.

Было дано исчерпывающее дидактическое обоснование использования геометрического материала, который, несмотря на свою пропедевтическую роль в начальной школе, является идеальной наглядной основой для формирования абстрактных логических операций. Детализация содержания геометрического курса по классам позволила выстроить траекторию усложнения классификационных задач. Особое внимание было уделено деятельностному подходу П.Я. Гальперина, который предполагает последовательное прохождение этапов от внешних материальных действий с фигурами до их интериоризации во внутренний, умственный план.

Кульминацией работы стала разработка структуры методики, включающей полный 4-этапный алгоритм классификации: от определения рода объектов до распределения их по видам с обязательным выбором существенного признака. Была представлена система творческих и поисковых упражнений, дифференцированных с учетом возрастных особенностей, которые направлены на развитие классификации по двум и более существенным признакам, а также на формирование умения логически обосновывать свой выбор.

Наконец, мы определили четкие критерии высокого уровня сформированности классификации, такие как способность к анализу, обобщению и, что особенно важно, к логическому обоснованию выбора существенного признака. Были предложены и адаптированы диагностические методики («Классификация» Семаго М.М., «Четвертый лишний»), позволяющие объективно оценить уровень овладения этой операцией на геометрическом материале.

Таким образом, разработанная методика полностью соответствует требованиям ФГОС НОО и психолого-возрастным особенностям младших школьников, предлагая комплексный подход к формированию логической операции классификации. Практическая значимость работы заключается в создании конкретной, готовой к внедрению системы упражнений и диагностического инструментария, которые могут быть использованы учителями начальной школы для повышения качества математического образования и развития логического мышления учащихся. Перспективы дальнейших исследований видятся в проведении экспериментальной проверки эффективности предложенной методики в реальных условиях образовательного процесса, а также в разработке аналогичных подходов для формирования других логических операций в курсе начальной школы.

Список использованной литературы

1. Александрова, Э. И. Основные положения образовательной системы Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова в свете требований Федерального государственного стандарта начального общего образования / Э. И. Александрова, А. Б. Воронцов, Е. В. Восторгова, С. Ф. Горбов, З. Н. Новлянская, С. В. Ломакович, Е. И. Матвеева, Е. В. Чудинова // Инновационные проекты и программы в образовании. – 2010. – № 3.
2. Адольф, В. А. История математики в задачах : учебное пособие / В. А. Адольф ; Краснояр. гос. пед. ун-т. – Красноярск, 2001. – 170 с.
3. Анисимов, О. С. Гегель: мышление и развитие (путь к культуре мышления) / О. С. Анисимов. – Москва : Агро-Вестник, 2000. – 800 с.
4. Башмаков, М. И. Математика: учебное пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля / М. И. Башмаков. – Москва : Просвещение, 2004. – 330 с.
5. Варламова, Т. П. Формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике : дис. … канд. пед. наук : 13.00.02. – Красноярск, 2006. – 195 с.
6. Варламова, Т. П. Система работы с одаренными детьми по математике / Т. П. Варламова // Одаренные дети: Сборник СОИП и ПКК. – Южно-Сахалинск : Изд-во СОИП и ПКК, 2002. – С. 39-45.
7. Варламова, Т. П. Формирование логической компетентности учащихся в процессе обучения математике / Т. П. Варламова // Основные аспекты обновления содержания математического образования в 2005/06 учебном году: сборник рекомендаций СОИП и ПКК. – Южно-Сахалинск : Изд-во СОИП и ПКК, 2005. – С. 14-26.
8. Дорофеев, Г. В. Язык преподавания математики и математический язык / Г. В. Дорофеев // Современные проблемы методики преподавания математики. – Москва : Просвещение, 1985. – С. 38-47.
9. Дорофеев, Г. В. Гуманитарный аспект преподавания математики / Г. В. Дорофеев // Математика в школе. – 1990. – № 6. – С. 12-13.
10. Зак, А. З. Развитие теоретического мышления у младших школьников / А. З. Зак. – Москва : Педагогика, 1984. – 152 с.
11. Зак, А. З. 500 занимательных логических задач для школьников. – Москва : ЮНВЕС, 2002.
12. Иванов, Р. И. Развитие мышления школьников в процессе выполнения ими учебно-логических заданий : учебное пособие для студентов. – Куйбышев, 1988.
13. Никольская, И. Л. Знакомство с математической логикой / И. Л. Никольская. – Москва : МПСИ Флинта, 1998. – 128 с.
14. Новиков, П. С. Элементы математической логики / П. С. Новиков. – Москва : Физматгиз, 1959. – 171 с.
15. Петерсон, Л. Г. Курс математики в новой модели школы / Л. Г. Петерсон // Начальная школа. – 1994. – № 12. – С. 28-33.
16. Петерсон, Л. Г. Интегративная теория развивающего обучения / Л. Г. Петерсон // Математика для каждого. – Москва : Школа 2000…, 2002.
17. Петерсон, Л. Г. Средства комплексного мониторинга результатов обучения / Л. Г. Петерсон, М. А. Кубышева, В. А. Петерсон. – Москва : Изд-во АПК и ПРО, 2001. – 46 с.
18. Сиденко, А. С. Путеводитель по сайту Федерального Го-сударственного Образовательного стандарта второго по¬коления: основные функции и содержание / А. С. Сиденко // Инновационные проекты и программы в образовании. – 2010. – № 2.
19. Сиденко, Е. А. Стандарты второго поко¬ления в начальной школе: от понимания теории к практи¬ке / Е. А. Сиденко, Н. Л. Хачатрян // Муниципальное образование: инновации и экспери¬мент. – 2010. – № 1.
20. Сиденко, Е. А. Универсальные учебные действия: от тер¬мина к сущности / Е. А. Сиденко // Эксперимент и инновации в школе. – 2010. – № 3.
21. Слинкина, А. К. Работа над «крылатыми» словами в на¬чальной школе / А. К. Слинкина // Муниципальное образование: иннова¬ции и эксперимент. – 2010. – № 3.
22. Амелина, М. В. Разноуровневые задания на уроках математики при изучении геометрического материала / М. В. Амелина // Начальная школа. – 2010. – №8. – С.57.
23. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах : учебное пособие для учащихся школ. отд-ний пед. училищ по спец. №2001 / под ред. М. А. Бантовой, М. А. Бельтюкова. – 3-е изд., испр. – Москва : Просвещение, 1984.
24. Вернье, Ж. Ребенок, математика и реальность: проблемы преподавания математики в начальной школе. – Москва : Ин-т психологии РАН, 1998.
25. Волкова, С. И. Развитие познавательных способностей детей на уроках математики в 1 классе : пособие для учителя четырехлетн. нач. шк. – Москва : Просвещение, 1994.
26. Волкова, С. И. Развитие познавательных способностей детей на уроках математики во 2 классе : пособие для учителя четырехлетн. нач. шк. – Москва : Просвещение, 1995.
27. Груденов, Я. И. Психолого – дидактические основы методики обучения математики. – Москва : Педагогика, 1987.
28. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности : книга для учителя. – Москва : Просвещение, 1990.
29. Зильберг, Н. И. Урок математики в 1-м классе / Н. И. Зильберг ; Осин. пед. училище. – Оса : Россиани, 1993.
30. Истомина, Н. Б. Методика обучения математики в начальных классах. – Москва : Академия, 2001.
31. Истомина, Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах : пособие для учителя. – Москва : Просвещение, 1985.
32. Казакова, М. А. Использование геометрического материала при изучении деления в начальном курсе математики / М. А. Казакова // Начальная школа. – 2008. – №3. – С.44.
33. Карп, А. П. Даю уроки математики… : кн. для учителя: из опыта работы. – Москва : Просвещение, 1992.
34. Колягин, Ю. М. Наглядная геометрия и ее роль, и место, история возникновения / Ю. М. Колягин, О. В. Тарасова // Начальная школа. – 2000. – №4.
35. Костицын, В. Н. Моделирование на уроках геометрии: теория и методические рекомендации. – Москва : Владос, 2000.
36. Лейкина, Т. Н. Научиться продумывать! : метод. приемы, материалы для уроч. и внеуроч. работы, содействующие развитию творческих способностей школьников в процессе обучения математике. – Санкт-Петербург. гос. ун-т пед. мастерства, 1994.
37. Мендыгалиева, А. К. Единый курс «Математика I –VI» — средство реализации преемственности в обучении математике в начальной и основной школе / А. К. Мендыгалиева // Начальная школа. – 2012. – № 4. – С. 23.
38. Методика преподавания математики в начальных классах. Вопросы частной методики : учеб. пособие. – Москва : Просвещение, 1986.
39. Моро, М. И. Учебник для 1 кл. начальной школы в 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 2011.
40. Моро, М. И. Учебник для 2 кл. начальной школы в 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 2010.
41. Моро, М. И. Учебник для 3 кл. начальной школы в 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 2009.
42. Моро, М. И. Учебник для 4 кл. начальной школы в 2 ч. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. – Москва : Просвещение, 2008.
43. Моро, М. И. Средства обучения математике в начальных классах : пособие для учителя. – Москва : Просвещение, 1981.
44. Николау, Л. Л. Преемственность между дошкольным и начальным образованием при изучении геометрического материала / Л. Л. Николау // Начальная школа до и после. – 2008. – №8. – С.33.
45. Овчинникова, В. С. Как создать проблемные ситуации при формировании математических понятий / В. С. Овчинникова // Начальная школа. – 2011. – №10. – С.27.
46. Палунина, И. А. Задачи на распознавание в начальном курсе математики и проблемы обучения их решению / И. А. Палунина, Л. П. Стойлова // Начальная школа. – 2010. – №1. – С.57.
47. Подходова, Н. С. Моделирование как универсальное учебное действие при изучении математики / Н. С. Подходова // Начальная школа. – 2011. – № 9. – С. 34.
48. Практикум по методике преподавания математики в средней школе / под ред. В. И. Мишина. – Москва : Просвещение, 1993.
49. Рудницкая, В. Н. Математика. Методическое пособие. – Москва, 2005.
50. Рыжик, В. И. 25000 уроков математики : книга для учителя. – Москва : Просвещение, 1993.
51. Селькина, Л. В. Компетентностный подход в оценке результатов обучения по начальной математике / Л. В. Селькина, М. А. Худякова // Начальная школа. – 2010. – №11. – С. 40.
52. Ставцева, Д. В. Взаимосвязанное изучение краеведческого и геометрического материала в начальной школе / Д. В. Ставцева // Начальная школа. – 2012. – №4. – С. 19.
53. Тихоненко, А. В. О развитии ключевых компетенций младших школьников при выборе рациональных способов решения геометрических задач / А. В. Тихоненко, Ю. В. Трофименко // Начальная школа. – 2007. – №4.
54. Чилингирова, Л. К. Играя, учимся математике : пособие для учителя. – Москва : Просвещение, 1993.
55. Ж. ПИАЖЕ, П.Я. ГАЛЬПЕРИН, Л.С. ВЫГОТСКИЙ: РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ В ОНТОГЕНЕЗЕ. Исследованиями детской психологии. – 2025.