Аналитическая геометрия в Пространстве: Исчерпывающее Руководство по Плоскостям и Прямым для Академических Работ

В мире, где трехмерное моделирование стало неотъемлемой частью инженерии, архитектуры, компьютерной графики и даже медицины, глубокое понимание аналитической геометрии в пространстве приобретает особую актуальность. Эта дисциплина, зародившаяся в XVII веке благодаря гению таких ученых, как Рене Декарт и Пьер де Ферма, стала мостом между алгеброй и геометрией, позволяя описывать геометрические объекты и их взаимоотношения с помощью алгебраических уравнений и координат. Такой подход открыл путь к решению множества задач, которые казались непосильными средствами чистой геометрии, обеспечивая универсальный язык для всех пространственных вычислений.

Актуальность изучения свойств, уравнений и взаимного расположения плоскостей и прямых в трехмерном пространстве трудно переоценить. От расчета траекторий спутников до проектирования сложных архитектурных сооружений, от создания реалистичной 3D-графики до анализа молекулярных структур — везде требуются точные методы описания и манипулирования пространственными объектами. Данное исследование призвано стать исчерпывающим руководством, предоставляющим строгие математические выводы, детальный анализ и систематизированный подход к изучению плоскостей и прямых, формируя прочную основу для академических работ и дальнейших изысканий в высшей математике и прикладных науках.

Векторный Аппарат как Фундамент Аналитической Геометрии

Векторная алгебра является краеугольным камнем, на котором строится вся аналитическая геометрия, поскольку она предоставляет элегантный и мощный язык для описания геометрических объектов и их отношений в трехмерном пространстве, переводя сложные пространственные конфигурации в простые алгебраические операции. Этот раздел систематизирует основные понятия и операции векторной алгебры, являющиеся незаменимыми инструментами для дальнейшего анализа.

Базовые понятия и линейные операции над векторами

Вектор в пространстве – это не просто отрезок, а направленный отрезок, характеризующийся своей длиной (модулем) и направлением. Он не имеет фиксированного положения в пространстве, что позволяет свободно перемещать его параллельно самому себе, сохраняя при этом его сущность. Понятия коллинеарности и компланарности являются ключевыми: коллинеарные векторы параллельны одной прямой, а компланарные – лежат в одной плоскости (или параллельны ей).

Основные линейные операции над векторами включают сложение, вычитание и умножение на скаляр.

• Сложение векторов (например, a + b) геометрически интерпретируется как правило треугольника или параллелограмма: результат – это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, если они расположены последовательно.
• Вычитание векторов (a — b) можно представить как сложение a с вектором -b, который противоположен b. Геометрически это вектор, идущий от конца b к концу a, если их начала совпадают.
• Умножение вектора на скаляр (например, k ⋅ a) приводит к вектору, коллинеарному a, длина которого изменяется в |k| раз, а направление сохраняется (если k > 0) или меняется на противоположное (если k < 0). Эти операции позволяют конструировать новые векторы и описывать линейные зависимости между ними, что критически важно для определения взаимного расположения геометрических объектов.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b, обозначаемое a ⋅ b, является скалярной величиной, определяемой как |a| ⋅ |b| ⋅ cosφ, где φ – угол между векторами. В координатной форме для векторов a = {a_x, a_y, a_z} и b = {b_x, b_y, b_z} оно выражается как a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.

Свойства скалярного произведения:

• Коммутативность: a ⋅ b = b ⋅ a.
• Дистрибутивность: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.
• Сочетательность с умножением на скаляр: (k a) ⋅ b = a ⋅ (k b) = k (a ⋅ b).
• Если a ⋅ b = 0, то векторы a и b ортогональны (перпендикулярны), если они ненулевые. Это фундаментальное условие перпендикулярности, которое лежит в основе определения нормальных векторов плоскостей.

Геометрическая интерпретация: Скалярное произведение может быть интерпретировано как произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на направление первого. В физике оно описывает работу силы.

Применение: Используется для определения ортогональности прямых и плоскостей, а также для вычисления угла между ними. Например, косинус угла φ между двумя ненулевыми векторами a и b находится по формуле:

cos φ = (a ⋅ b) / (|a| ⋅ |b|) = (axbx + ayby + azbz) / (√(ax2 + ay2 + az2) ⋅ √(bx2 + by2 + bz2))

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов a и b, обозначаемое a × b, является вектором. Оно определяется только для трехмерного пространства и обладает следующими характеристиками:

• Модуль |a × b| равен |a| ⋅ |b| ⋅ sinφ, что геометрически соответствует площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.
• Вектор a × b ортогонален обоим векторам a и b.
• Направление a × b определяется правилом правой руки: если пальцы правой руки сгибаются от a к b, то большой палец указывает направление a × b.

Свойства векторного произведения:

• Антикоммутативность: a × b = — (b × a).
• Дистрибутивность: a × (b + c) = a × b + a × c.
• Сочетательность с умножением на скаляр: (k a) × b = a × (k b) = k (a × b).
• Если a × b = 0, то векторы a и b коллинеарны. Это условие является основой для проверки параллельности прямых.

В координатной форме: Если a = {a_x, a_y, a_z} и b = {b_x, b_y, b_z}, то a × b вычисляется как определитель:

| i  j  k |
| ax ay az |
| bx by bz |

= {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}

Применение: Векторное произведение широко используется для нахождения нормальных векторов плоскостей, направляющих векторов прямых, перпендикулярных двум данным, а также для вычисления площадей, что является важным шагом при определении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов a, b, c, обозначаемое (a, b, c) или a ⋅ (b × c), является скалярной величиной. Оно представляет собой скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других.

Геометрическая интерпретация: Модуль смешанного произведения |a ⋅ (b × c)| равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, исходящих из одной точки. Если смешанное произведение равно нулю, это означает, что векторы a, b, c компланарны (лежат в одной плоскости или параллельны ей), что служит важным критерием для проверки взаимного расположения прямых.

В координатной форме: Если a = {a_x, a_y, a_z}, b = {b_x, b_y, b_z} и c = {c_x, c_y, c_z}, то смешанное произведение вычисляется как определитель:

| ax ay az |
| bx by bz |
| cx cy cz |

Применение: Помимо определения компланарности, смешанное произведение играет важную роль в вычислении объемов геометрических тел и, как будет показано далее, в формуле расстояния между скрещивающимися прямыми.

Плоскость в Трехмерном Пространстве: Уравнения и Методы Задания

Плоскость, как один из фундаментальных объектов аналитической геометрии, может быть описана различными алгебраическими уравнениями, каждое из которых подчеркивает определенные геометрические свойства. Понимание этих форм, их вывода и взаимосвязей критически важно для работы с пространственными задачами, поскольку они дают математический аппарат для их точного описания.

Общее уравнение плоскости

Исторически, понятие плоскости как поверхности, все точки которой равноудалены от некоторой оси, эволюционировало до более строгого алгебраического определения. Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C, D — константы, причем A, B, C не могут быть равны нулю одновременно.

Вывод: Рассмотрим произвольную плоскость. Выберем на ней фиксированную точку M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор n = {A, B, C}, который перпендикулярен этой плоскости (нормальный вектор). Теперь возьмем любую текущую точку M(x, y, z) на этой плоскости. Вектор M₀M = {x — x₀, y — y₀, z — z₀} будет лежать в плоскости. Так как нормальный вектор n ортогонален любому вектору, лежащему в плоскости, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

n ⋅ M0M = 0

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены, получаем:

Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0

Обозначив константу -(Ax₀ + By₀ + Cz₀) через D, приходим к общему уравнению плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.

Роль коэффициентов:

• Вектор n = {A, B, C} является нормальным вектором плоскости. Он определяет ориентацию плоскости в пространстве, что позволяет легко анализировать взаимное расположение плоскостей.
• Коэффициент D определяет «смещение» плоскости относительно начала координат. Если D = 0, плоскость проходит через начало координат.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Эта форма является прямым следствием вывода общего уравнения. Если нам известна точка M₀(x₀, y₀, z₀) на плоскости и нормальный вектор n = {A, B, C}, то уравнение плоскости немедленно записывается как:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Пример применения: Пусть плоскость проходит через точку (1, 2, 3) и перпендикулярна вектору n = {4, -1, 5}. Тогда ее уравнение:

4(x - 1) - 1(y - 2) + 5(z - 3) = 0
4x - 4 - y + 2 + 5z - 15 = 0
4x - y + 5z - 17 = 0

Параметрические уравнения плоскости

Параметрические уравнения описывают точки плоскости как функцию от двух параметров, что подчеркивает ее двумерную природу в трехмерном пространстве.

Вывод: Для задания плоскости необходима фиксированная точка M₀(x₀, y₀, z₀) на ней и два неколлинеарных вектора m₁ = {m_1x, m_1y, m_1z} и m₂ = {m_2x, m_2y, m_2z}, параллельных этой плоскости (направляющие векторы плоскости). Любая точка M(x, y, z) на плоскости может быть достигнута, начав из M₀ и двигаясь вдоль линейной комбинации векторов m₁ и m₂.

Вектор M₀M = M — M₀ будет лежать в плоскости. Следовательно, M₀M может быть выражен как линейная комбинация m₁ и m₂:

M0M = t1m1 + t2m2

где t₁ и t₂ — скалярные параметры. Разложив это векторное уравнение по координатам, получаем параметрические уравнения плоскости:

x = x0 + t1m1x + t2m2x
y = y0 + t1m1y + t2m2y
z = z0 + t1m1z + t2m2z

Эти уравнения позволяют получить координаты любой точки плоскости, подставляя различные значения параметров t₁ и t₂. Они особенно удобны при работе с геометрическими преобразованиями.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости предоставляет удобный способ для определения расстояния от начала координат до плоскости и ориентации плоскости относительно осей.

Вывод: Оно получается из общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 путем деления на нормирующий множитель ±√(A² + B² + C²). Этот множитель равен модулю нормального вектора |n| = √(A² + B² + C²). Знак выбирается противоположным знаку D (если D ≠ 0), чтобы свободный член в нормальном уравнении был отрицательным. Если D = 0, знак может быть выбран произвольно.

Деление на |n| преобразует нормальный вектор n = {A, B, C} в единичный нормальный вектор n₀ = {cosα, cosβ, cosγ}, где cosα, cosβ, cosγ — направляющие косинусы нормали. Свободный член D также делится на |n|, давая -p. В результате получаем:

x cosα + y cosβ + z cosγ - p = 0

Геометрический смысл:

• p — это расстояние от начала координат до плоскости.
• cosα, cosβ, cosγ — направляющие косинусы нормального вектора n, которые являются координатами единичного вектора, перпендикулярного плоскости и направленного от начала координат к плоскости.

Пример: Пусть плоскость задана уравнением 3x + 4y — 12z + 26 = 0.

Нормирующий множитель √(3² + 4² + (-12)²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Поскольку D = 26 > 0, выбираем знак нормирующего множителя отрицательным: -13.

Тогда нормальное уравнение: (-3/13)x + (-4/13)y + (12/13)z — 2 = 0.

Здесь p = 2 — расстояние от начала координат до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Если даны три точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой, они однозначно определяют плоскость.

Вывод с использованием смешанного произведения:

Пусть M(x, y, z) — произвольная точка на искомой плоскости. Построим три вектора, исходящие из одной из заданных точек, например, M₁:

M1M = {x - x1, y - y1, z - z1}

M1M2 = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}

M1M3 = {x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1}

Эти три вектора компланарны, поскольку все они лежат в одной плоскости. Следовательно, их смешанное произведение должно быть равно нулю:

(M1M, M1M2, M1M3) = 0

Это условие записывается в виде определителя:

| x - x1  y - y1  z - z1 |
| x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1 |
| x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1 |
= 0

Раскрытие этого определителя приведет к общему уравнению плоскости, что демонстрирует глубокую связь между векторной алгеброй и аналитическим описанием геометрических объектов.

Частные случаи расположения плоскости

Особые случаи общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 позволяют легко определить ее расположение относительно координатных осей и плоскостей:

• Плоскость проходит через начало координат: Если D = 0, уравнение имеет вид Ax + By + Cz = 0.
• Плоскость параллельна координатной оси:
  • Если A = 0: By + Cz + D = 0. Плоскость параллельна оси Ox.
  • Если B = 0: Ax + Cz + D = 0. Плоскость параллельна оси Oy.
  • Если C = 0: Ax + By + D = 0. Плоскость параллельна оси Oz.
• Плоскость параллельна координатной плоскости:
  • Если A = 0, B = 0: Cz + D = 0, или z = -D/C. Плоскость параллельна плоскости Oxy.
  • Если A = 0, C = 0: By + D = 0, или y = -D/B. Плоскость параллельна плоскости Oxz.
  • Если B = 0, C = 0: Ax + D = 0, или x = -D/A. Плоскость параллельна плоскости Oyz.
• Координатные плоскости:
  • Плоскость Oxy: z = 0 (A=0, B=0, D=0, C=1).
  • Плоскость Oxz: y = 0 (A=0, C=0, D=0, B=1).
  • Плоскость Oyz: x = 0 (B=0, C=0, D=0, A=1).

Эти частные случаи демонстрируют, как изменение коэффициентов уравнения напрямую влияет на геометрическое положение плоскости, что является основой для визуализации и решения практических задач, например, в 3D-моделировании.

Прямая в Трехмерном Пространстве: Уравнения и Методы Задания

Прямая линия в трехмерном пространстве – объект несколько более сложный для описания, чем плоскость. Если плоскость определяется одной точкой и нормальным вектором, то для прямой требуется точка и направляющий вектор, либо две точки, либо, что наиболее фундаментально, пересечение двух плоскостей. Различны�� формы уравнений прямых предоставляют гибкий инструментарий для работы с ними в зависимости от поставленной задачи.

Канонические уравнения прямой

Канонические уравнения прямой являются одним из наиболее распространенных способов ее задания и базируются на понятии направляющего вектора.

Вывод: Пусть прямая L проходит через фиксированную точку M₁(x₁, y₁, z₁) и имеет направляющий вектор s = {l, m, n}. Возьмем произвольную текущую точку M(x, y, z) на этой прямой. Вектор M₁M = {x — x₁, y — y₁, z — z₁} будет лежать на той же прямой, что и s. Следовательно, векторы M₁M и s должны быть коллинеарны.

Условие коллинеарности двух векторов a = {a_x, a_y, a_z} и b = {b_x, b_y, b_z} выражается пропорциональностью их соответствующих координат: a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z. Применяя это к M₁M и s, получаем канонические уравнения прямой:

(x - x1) / l = (y - y1) / m = (z - z1) / n

Здесь l, m, n — координаты направляющего вектора s. Важно отметить, что если один из знаменателей равен нулю (например, l = 0), это означает, что направляющий вектор перпендикулярен соответствующей оси, и прямая параллельна координатной плоскости. В этом случае соответствующий числитель также должен быть равен нулю, а отношение записывается как x — x₁ = 0. Это обеспечивает строгость математической модели.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой, как и в случае плоскости, описывают координаты точек прямой как функции от одного параметра, что отражает ее одномерную природу.

Вывод: Из канонических уравнений прямой мы можем приравнять каждое отношение к некоторому параметру t:

(x - x1) / l = (y - y1) / m = (z - z1) / n = t

Отсюда выражаем x, y, z:

x = x1 + lt
y = y1 + mt
z = z1 + nt

Здесь t — параметр, M₁(x₁, y₁, z₁) — точка на прямой, а s = {l, m, n} — направляющий вектор. Изменяя значение t от -∞ до +∞, мы получаем координаты всех точек, лежащих на прямой. Параметрические уравнения часто более удобны для вычислений, особенно при поиске точек пересечения.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Прямую в пространстве можно также задать как множество точек, одновременно принадлежащих двум пересекающимся плоскостям. Это представление особенно полезно, когда прямая не параллельна ни одной из координатных осей.

Уравнения: Система двух общих линейных уравнений плоскостей:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

представляет собой прямую, если эти две плоскости пересекаются.

Условие пересечения: Плоскости пересекаются, если их нормальные векторы n₁ = {A₁, B₁, C₁} и n₂ = {A₂, B₂, C₂} не коллинеарны. Это означает, что их векторное произведение n₁ × n₂ не равно нулевому вектору. Этот вектор n₁ × n₂ будет направляющим вектором прямой, так как он перпендикулярен обоим нормальным векторам, а значит, параллелен обеим плоскостям и их линии пересечения. Это свойство является мощным инструментом для определения направляющего вектора прямой, заданной в такой форме.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Если даны две различные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), они однозначно определяют прямую.

Вывод: Вектор M₁M₂ = {x₂ — x₁, y₂ — y₁, z₂ — z₁} является направляющим вектором этой прямой. Используя точку M₁ и этот направляющий вектор, мы можем записать канонические уравнения прямой:

(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)

Или, аналогично, параметрические уравнения:

x = x1 + (x2 - x1)t
y = y1 + (y2 - y1)t
z = z1 + (z2 - z1)t

Переход от одного вида уравнений прямой к другому

Возможность перехода между различными формами уравнений прямой является важным навыком в аналитической геометрии, так как позволяет выбрать наиболее удобное представление для конкретной задачи.

1. От канонических к параметрическим: Это прямой переход, как показано выше, путем приравнивания дробей к параметру t.

2. От параметрических к каноническим: Если даны параметрические уравнения x = x₁ + lt, y = y₁ + mt, z = z₁ + nt, то из каждого уравнения можно выразить t:

t = (x - x1) / l
t = (y - y1) / m
t = (z - z1) / n

Приравнивая эти выражения для t, получаем канонические уравнения.

3. От общих уравнений двух плоскостей к каноническим/параметрическим:

• Нахождение направляющего вектора s: Как упоминалось ранее, s = n₁ × n₂, где n₁ = {A₁, B₁, C₁} и n₂ = {A₂, B₂, C₂} — нормальные векторы плоскостей.
• Нахождение точки на прямой M₁(x₁, y₁, z₁): Необходимо найти любое решение системы двух линейных уравнений. Это можно сделать, например, положив одну из координат равной нулю (скажем, z = 0) и решив оставшуюся систему из двух уравнений с двумя переменными. Если при этом система не имеет решения, то прямая параллельна координатной плоскости, и следует обнулить другую координату.

После нахождения s и M₁, можно легко записать канонические или параметрические уравнения.

Пример: Даны плоскости x + y + z = 1 и 2x — y + z = 0.

1. Нормальные векторы: n₁ = {1, 1, 1}, n₂ = {2, -1, 1}.
2. Направляющий вектор s = n₁ × n₂:

   s = | i  j  k |
       | 1  1  1 |
       | 2 -1  1 |

   = {1⋅1 - 1⋅(-1); 1⋅2 - 1⋅1; 1⋅(-1) - 1⋅2} = {2, 1, -3}.

3. Найдем точку на прямой. Пусть z = 0:

   x + y = 1
   2x - y = 0

   Складывая уравнения, получаем 3x = 1, x = 1/3. Подставляя x в первое уравнение: 1/3 + y = 1, y = 2/3.
   Точка M₁(1/3, 2/3, 0).

4. Канонические уравнения прямой: (x — 1/3) / 2 = (y — 2/3) / 1 = z / (-3).

Такие переходы демонстрируют гибкость алгебраического аппарата в описании геометрических объектов и позволяют выбирать наиболее удобную форму для решения конкретной задачи.

Взаимное Расположение Геометрических Объектов в Пространстве

Понимание того, как геометрические объекты располагаются относительно друг друга в трехмерном пространстве, является ключевым аспектом аналитической геометрии. Этот раздел предоставляет детальный анализ всех возможных случаев взаимного расположения двух плоскостей, двух прямых и прямой с плоскостью, с приведением строгих математических условий. Эти знания позволяют не только описывать, но и предсказывать поведение систем в пространстве.

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут находиться в одном из трех фундаментальных состояний: совпадать, быть параллельными (но не совпадать) или пересекаться.

Пусть даны две плоскости с общими уравнениями:

P₁: A1x + B1y + C1z + D1 = 0

P₂: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Их нормальные векторы: n₁ = {A₁, B₁, C₁} и n₂ = {A₂, B₂, C₂}.

1. Плоскости совпадают:

   Условие: Соответствующие коэффициенты уравнений пропорциональны:

   A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = D1/D2

   Геометрический смысл: Это означает, что одно уравнение является скалярным кратным другого, и все точки одной плоскости принадлежат другой. Их нормальные векторы коллинеарны, и они имеют хотя бы одну общую точку (на самом деле, все точки общие).

2. Плоскости параллельны (но не совпадают):

   Условие: Коэффициенты при переменных пропорциональны, но свободные члены – нет:

   A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 ≠ D1/D2

   Геометрический смысл: Их нормальные векторы n₁ и n₂ коллинеарны, что указывает на параллельность плоскостей. Однако неравенство для D-членов гарантирует отсутствие общих точек, то есть плоскости не совпадают.

3. Плоскости пересекаются:

   Условие: Коэффициенты при переменных не пропорциональны (то есть n₁ и n₂ не коллинеарны).

   A1/A2 ≠ B1/B2 или B1/B2 ≠ C1/C2 или A1/A2 ≠ C1/C2 (хотя бы одно неравенство)

   Геометрический смысл: Плоскости имеют общую линию – прямую пересечения.

   • Частный случай: Перпендикулярные плоскости. Если плоскости пересекаются под прямым углом, то их нормальные векторы ортогональны. Условие перпендикулярности: скалярное произведение нормальных векторов равно нулю: n₁ ⋅ n₂ = A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

В трехмерном пространстве две прямые представляют собой наиболее разнообразный случай взаимного расположения, включая возможность скрещивания.

Пусть даны две прямые:

L₁: проходит через точку M₁(x₁, y₁, z₁) с направляющим вектором s₁ = {l₁, m₁, n₁}.

L₂: проходит через точку M₂(x₂, y₂, z₂) с направляющим вектором s₂ = {l₂, m₂, n₂}.

Дополнительно построим вектор M₁M₂ = {x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁}.

Алгоритм определения взаимного расположения:

1. Проверка компланарности: Векторы M₁M₂, s₁ и s₂ компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Это означает, что они лежат в одной плоскости. Смешанное произведение вычисляется как определитель:

   | x2-x1  y2-y1  z2-z1 |
   | l1      m1      n1      |
   | l2      m2      n2      |
   = 0

   • Если определитель ≠ 0: Прямые скрещиваются. Они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Это уникальный случай для 3D пространства, который требует особого внимания при расчете расстояний.
   • Если определитель = 0: Прямые компланарны (лежат в одной плоскости). В этом случае переходим к следующему шагу.
2. Проверка коллинеарности направляющих векторов s₁ и s₂:
   • Если s₁ и s₂ коллинеарны: (l₁/l₂ = m₁/m₂ = n₁/n₂).
     • Прямые совпадают, если вектор M₁M₂ также коллинеарен s₁ (и s₂), то есть (x₂-x₁)/l₁ = (y₂-y₁)/m₁ = (z₂-z₁)/n₁. Это означает, что M₂ лежит на L₁, и поскольку прямые параллельны, они совпадают.
     • Прямые параллельны (но не совпадают), если M₁M₂ не коллинеарен s₁. Они не имеют общих точек, но их направляющие векторы параллельны.
   • Если s₁ и s₂ не коллинеарны: Прямые пересекаются. Поскольку они компланарны и не параллельны, они должны иметь одну единственную общую точку.

Теорема о скрещивающихся прямых: Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда они не лежат в одной плоскости. Через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей, расстояние между которыми равно кратчайшему расстоянию между прямыми. Это фундаментальное утверждение открывает путь к нахождению этого расстояния.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая и плоскость в пространстве могут быть в одном из трех состояний: прямая лежит в плоскости, прямая параллельна плоскости (но не лежит в ней) или прямая пересекает плоскость.

Пусть даны прямая L: x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt с направляющим вектором s = {l, m, n} и плоскость P: Ax + By + Cz + D = 0 с нормальным вектором n = {A, B, C}.

1. Прямая лежит в плоскости:

   Условия:

   • Направляющий вектор s ортогонален нормальному вектору n: s ⋅ n = Al + Bm + Cn = 0. Это означает, что прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.
   • Любая точка прямой (например, M₀(x₀, y₀, z₀)) удовлетворяет уравнению плоскости: Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

   Геометрический смысл: Все точки прямой принадлежат плоскости.

2. Прямая параллельна плоскости (но не лежит в ней):

   Условия:

   • Направляющий вектор s ортогонален нормальному вектору n: s ⋅ n = Al + Bm + Cn = 0.
   • Ни одна точка прямой (например, M₀(x₀, y₀, z₀)) не удовлетворяет уравнению плоскости: Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

   Геометрический смысл: Прямая и плоскость не имеют общих точек, но их направления согласованы, что упрощает расчеты, например, для угла между прямой и плоскостью.

3. Прямая пересекает плоскость:

   Условие: Направляющий вектор s не ортогонален нормальному вектору n: s ⋅ n = Al + Bm + Cn ≠ 0.

   Геометрический смысл: Прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Нахождение точки пересечения: Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости достаточно подставить параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости. Это даст линейное уравнение относительно параметра t, решение которого позволит найти координаты точки пересечения.

Углы Между Геометрическими Объектами в Пространстве

Измерение углов между геометрическими объектами – это еще одно фундаментальное применение векторной алгебры в аналитической геометрии. Используя скалярное произведение векторов, можно вывести удобные формулы для вычисления углов между плоскостями, прямыми и прямой с плоскостью, что позволяет количественно описывать их взаимное расположение.

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как острый угол между их нормальными векторами.

Пусть даны две плоскости:

P₁: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 с нормальным вектором n₁ = {A₁, B₁, C₁}.

P₂: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 с нормальным вектором n₂ = {A₂, B₂, C₂}.

Вывод формулы: Косинус угла ψ между двумя векторами n₁ и n₂ определяется формулой скалярного произведения:

cos ψ = (n1 ⋅ n2) / (|n1| ⋅ |n2|)

где ψ — угол между нормальными векторами. Угол между плоскостями φ обычно принимается как острый, поэтому мы используем модуль скалярного произведения:

cos φ = |n1 ⋅ n2| / (|n1| ⋅ |n2|)

В координатной форме:

cos φ = |A1A2 + B1B2 + C1C2| / (√(A12 + B12 + C12) ⋅ √(A22 + B22 + C22))

Доказательство: Если плоскости пересекаются, они образуют четыре двугранных угла. Два из них острые, два — тупые. Угол между плоскостями по определению — это один из острых углов. Нормальные векторы n₁ и n₂ перпендикулярны своим плоскостям. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями или дополнительному ему до 180°. Чтобы получить острый угол, берется модуль скалярного произведения.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами.

Пусть даны две прямые:

L₁ с направляющим вектором s₁ = {l₁, m₁, n₁}.

L₂ с направляющим вектором s₂ = {l₂, m₂, n₂}.

Вывод формулы: Аналогично случаю с плоскостями, косинус угла φ между двумя прямыми (а точнее, между их направляющими векторами) вычисляется по формуле:

cos φ = |s1 ⋅ s2| / (|s1| ⋅ |s2|)

В координатной форме:

cos φ = |l1l2 + m1m2 + n1n2| / (√(l12 + m12 + n12) ⋅ √(l22 + m22 + n22))

Доказательство:

• Для пересекающихся прямых: Угол между ними – это наименьший из углов, образованный лучами этих прямых. Он равен углу между их направляющими векторами (или 180° минус этот угол). Использование модуля гарантирует получение острого угла.
• Для скрещивающихся прямых: Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна одной из скрещивающихся прямых, а другая совпадает со второй скрещивающейся прямой. Этот угол по существу является углом между их направляющими векторами, так как векторы можно свободно перемещать в пространстве, что упрощает вычисления.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

Пусть даны прямая L с направляющим вектором s = {l, m, n} и плоскость P с нормальным вектором n = {A, B, C}.

Вывод формулы: Пусть ψ — угол между направляющим вектором s и нормальным вектором n. Мы знаем, что cos ψ = (s ⋅ n) / (|s| ⋅ |n|).

Угол φ между прямой L и плоскостью P связан с углом ψ. Если прямая параллельна плоскости, то s перпендикулярен n, то есть ψ = 90°, а φ = 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то s параллелен n, то есть ψ = 0° или 180°, а φ = 90°. В общем случае, φ = 90° — ψ.

Следовательно, sin φ = sin(90° — ψ) = cos ψ.

Используя модуль, чтобы получить острый угол:

sin φ = |s ⋅ n| / (|s| ⋅ |n|)

В координатной форме:

sin φ = |Al + Bm + Cn| / (√(A2 + B2 + C2) ⋅ √(l2 + m2 + n2))

Доказательство: Рассмотрим треугольник, образованный направляющим вектором прямой s, нормальным вектором плоскости n и проекцией s на плоскость. Угол между s и n равен ψ. Угол между s и его проекцией на плоскость (т.е. угол между прямой и плоскостью) равен φ. Поскольку n перпендикулярен плоскости, угол между s и n является дополнением угла между s и плоскостью до 90°. То есть φ = 90° — ψ. Отсюда sin φ = cos ψ, что и приводит к данной формуле. Это позволяет точно рассчитать угол даже в сложных пространственных конфигурациях.

Расстояния Между Геометрическими Объектами в Пространстве

Вычисление расстояний между различными геометрическими объектами – это краеугольный камень многих задач аналитической геометрии и ее приложений. Этот раздел посвящен методам нахождения расстояний от точки до плоскости, от точки до прямой, между параллельными и скрещивающимися прямыми, с подробным выводом соответствующих формул. Понимание этих методов позволяет решать широкий круг инженерных и научных задач.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и плоскость P, заданная общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Вывод формулы:

Рассмотрим нормальное уравнение плоскости: x cosα + y cosβ + z cosγ — p = 0. Здесь p — расстояние от начала координат до плоскости.

Подставим координаты точки M₀ в левую часть нормального уравнения: x₀ cosα + y₀ cosβ + z₀ cosγ — p. Полученное значение δ = x₀ cosα + y₀ cosβ + z₀ cosγ — p является отклонением точки от плоскости (положительным, если M₀ находится по одну сторону от плоскости относительно начала координат, и отрицательным, если по другую). Модуль этого отклонения |δ| и есть искомое расстояние d.

Для перехода от общего уравнения к нормальному мы делили все коэффициенты на нормирующий множитель ±√(A² + B² + C²). Таким образом, d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Доказательство:

Рассмотрим плоскость P с нормальным вектором n = {A, B, C} и точку M₀(x₀, y₀, z₀). Пусть M₁(x₁, y₁, z₁) — произвольная точка на плоскости. Вектор M₁M₀ = {x₀-x₁, y₀-y₁, z₀-z₁}.

Расстояние d от M₀ до плоскости P равно модулю проекции вектора M₁M₀ на нормальный вектор n:

d = |M1M0 ⋅ n0| = |M1M0 ⋅ (n / |n|)| = |((x0-x1)A + (y0-y1)B + (z0-z1)C) / √(A2 + B2 + C2)|

Раскрывая числитель:

Ax0 - Ax1 + By0 - By1 + Cz0 - Cz1

Поскольку M₁(x₁, y₁, z₁) лежит на плоскости, то Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0, откуда -Ax₁ — By₁ — Cz₁ = D.

Подставляя это в числитель, получаем Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D.

Таким образом, d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве также равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Пусть дана точка M₁(x₁, y₁, z₁) и прямая L, проходящая через точку M₀(x₀, y₀, z₀) с направляющим вектором s = {l, m, n}.

Вывод формулы с использованием векторного произведения:

Построим вектор M₀M₁ = {x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀}.

Эти два вектора s и M₀M₁ образуют параллелограмм. Площадь этого параллелограмма S равна |s × M₀M₁|.

С другой стороны, площадь параллелограмма также равна произведению длины основания (модуля s) на высоту (искомое расстояние d).

Таким образом, S = |s| ⋅ d.

Приравнивая два выражения для площади, получаем |s| ⋅ d = |s × M₀M₁|, откуда:

d = |s × M0M1| / |s|

Доказательство: Это прямое следствие геометрической интерпретации модуля векторного произведения. Векторное произведение s × M₀M₁ имеет модуль, равный площади параллелограмма, построенного на s и M₀M₁. Высота этого параллелограмма, опущенная на s, и есть расстояние от M₁ до прямой L. Этот метод является элегантным и эффективным для расчёта.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой.

Пусть L₁ и L₂ — две параллельные прямые. Выберем произвольную точку M₁ на прямой L₁. Затем вычислим расстояние от этой точки M₁ до прямой L₂, используя формулу для расстояния от точки до прямой, приведенную выше. Направляющие векторы прямых будут коллинеарны.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Расстояние между двумя параллельными плоскостями – это расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Пусть P₁ и P₂ — две параллельные плоскости. Выберем произвольную точку M₁ на плоскости P₁ (например, положив x=0, y=0 и найдя z). Затем вычислим расстояние от этой точки M₁ до плоскости P₂, используя формулу для расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра. Это кратчайшее расстояние между ними.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые:

L₁: проходит через M₁(x₁, y₁, z₁) с направляющим вектором s₁ = {l₁, m₁, n₁}.

L₂: проходит через M₂(x₂, y₂, z₂) с направляющим вектором s₂ = {l₂, m₂, n₂}.

Вывод формулы:

Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах s₁, s₂ и M₁M₂ = {x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁}.

Объем этого параллелепипеда V равен модулю смешанного произведения этих трех векторов:

V = |(M1M2) ⋅ (s1 × s2)|

С другой стороны, объем параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. В качестве основания возьмем параллелограмм, построенный на s₁ и s₂. Площадь этого основания S_осн равна |s₁ × s₂|.

Высота этого параллелепипеда, опущенная на основание, и есть искомое расстояние d между скрещивающимися прямыми. Это расстояние является длиной общего перпендикуляра.

Таким образом, V = S_осн ⋅ d, или d = V / S_осн.

Подставляя выражения для V и S_осн, получаем формулу:

d = |(M1M2) ⋅ (s1 × s2)| / |s1 × s2|

Координатная форма:

Числитель — модуль смешанного произведения векторов M₁M₂, s₁, s₂, который вычисляется как определитель:

|(M1M2) ⋅ (s1 × s2)| = | x2-x1  y2-y1  z2-z1 |
                         | l1      m1      n1      |
                         | l2      m2      n2      |

Знаменатель — модуль векторного произведения s₁ × s₂:

s1 × s2 = {m1n2 - m2n1; n1l2 - n2l1; l1m2 - l2m1}

|s1 × s2| = √((m1n2 - m2n1)2 + (n1l2 - n2l1)2 + (l1m2 - l2m1)2)

Строгое доказательство: Этот метод является прямым применением геометрической интерпретации смешанного произведения как объема параллелепипеда и векторного произведения как площади основания. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми всегда перпендикулярно обеим прямым. Вектор s₁ × s₂ дает направление этого общего перпендикуляра. Расстояние d – это проекция вектора M₁M₂ на направление этого общего перпендикуляра, что в точности соответствует формуле. Это обеспечивает математическую точность и универсальность метода.

Применение Методов Линейной Алгебры и Геометрические Преобразования

Аналитическая геометрия неразрывно связана с линейной алгеброй. Эти две дисциплины образуют мощный синергетический тандем, где линейная алгебра предоставляет инструментарий для аналитического описания и решения задач геометрии, а геометрия дает наглядную интерпретацию абстрактных алгебраических концепций, что значительно расширяет возможности для анализа и моделирования.

Решение систем линейных уравнений в аналитической геометрии

Системы линейных уравнений (СЛУ) являются фундаментальным инструментом для решения множества геометрических задач:

• Нахождение точек пересечения:
  • Двух прямых: Если две прямые пересекаются, их параметрические уравнения можно приравнять, что приведет к СЛУ относительно двух параметров. Решение этой системы даст значения параметров, соответствующие точке пересечения.
  • Прямой и плоскости: Подстановка параметрических уравнений прямой в общее уравнение плоскости приводит к линейному уравнению относительно параметра, решение которого дает точку пересечения.
  • Трех плоскостей: Точка пересечения трех плоскостей является решением системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (координатами x, y, z). Система может иметь единственное решение (пересечение в точке), бесконечно много решений (пересечение по прямой, например, если три плоскости имеют общую прямую) или не иметь решений (например, если три плоскости параллельны или две из них параллельны, а третья пересекает их).
• Проверка условий коллинеарности и компланарности:
  • Коллинеарность векторов: Векторы a и b коллинеарны, если существует скаляр k такой, что a = k b. Это приводит к системе из трех линейных уравнений, которая должна иметь решение.
  • Компланарность трех векторов: Три вектора a, b, c компланарны, если один из них является линейной комбинацией двух других: c = αa + βb. Это также выражается через СЛУ. Альтернативно, как было показано, их смешанное произведение равно нулю, что является условием на определитель, также связанным с СЛУ.

Определители и их роль в геометрических расчетах

Определители матриц играют центральную роль в аналитической геометрии, обеспечивая элегантные методы для вычисления геометрических величин и определения пространственных отношений:

• Площади и объемы:
  • Модуль определителя, составленного из координат двух векторов, равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (в 2D). В 3D – это модуль векторного произведения.
  • Модуль определителя, составленного из координат трех векторов, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (смешанное произведение).
• Определение взаимного расположения объектов:
  • Как показано в разделе о взаимном расположении прямых, определитель, представляющий смешанное произведение векторов M₁M₂, s₁ и s₂, позволяет однозначно определить, являются ли прямые компланарными (пересекающимися или параллельными) или скрещивающимися.
  • Определители также используются для проверки, лежат ли четыре точки в одной плоскости (компланарность точек).

Геометрические преобразования и их влияние на уравнения прямых и плоскостей

Геометрические преобразования, такие как параллельный перенос и поворот, являются важной частью аналитической геометрии, позволяя изучать свойства объектов независимо от их положения и ориентации. Векторные и матричные методы предоставляют мощный аппарат для описания этих преобразований.

• Параллельный перенос:
  • Описание: Перемещение объекта на заданный вектор v = {v_x, v_y, v_z} без изменения его ориентации.
  • Влияние на уравнения:
    • Для точки M(x, y, z): Новые координаты M'(x’, y’, z’) = M + v, то есть x’ = x + v_x, y’ = y + v_y, z’ = z + v_z.
    • Для плоскости Ax + By + Cz + D = 0: Перенос точки M₀(x₀, y₀, z₀) на v даст новую точку M₀‘(x₀‘, y₀‘, z₀‘). Уравнение плоскости при этом меняется только в свободном члене: A(x — v_x) + B(y — v_y) + C(z — v_z) + D = 0, или Ax + By + Cz + (D — Av_x — Bv_y — Cv_z) = 0. Нормальный вектор остается неизменным.
    • Для прямой (канонические уравнения): Направляющий вектор s остается неизменным. Меняется только опорная точка M₁ на M₁‘.
• Поворот:
  • Описание: Вращение объекта вокруг оси на заданный угол.
  • Влияние на уравнения: Повороты в 3D обычно описываются с помощью матриц поворота. Если координаты точки (x, y, z) представлены как вектор-столбец, то новые координаты (x’, y’, z’) получаются умножением этого вектора на матрицу поворота R: M’ = R M.
    • Для плоскости/прямой: При повороте меняются как координаты опорных точек, так и направляющие/нормальные векторы. Матрица поворота применяется ко всем векторам, определяющим объект. Например, для плоскости Ax + By + Cz + D = 0, ее нормальный вектор n также поворачивается, превращаясь в n’ = R n. После этого необходимо пересчитать D, используя повернутую опорную точку.

Применение линейной алгебры позволяет не только описывать эти преобразования, но и эффективно их выполнять с помощью компьютеров, что является основой для всех современных систем компьютерной графики и моделирования. Это фундаментальное понимание обеспечивает экспертное владение инструментарием для решения самых сложных пространственных задач.

Заключение

Наше путешествие по миру аналитической геометрии плоскостей и прямых в трехмерном пространстве продемонстрировало удивительную элегантность и мощь алгебраического аппарата в описании и анализе геометрических сущностей. Мы детально рассмотрели многообразие форм уравнений плоскостей (общее, нормальное, параметрическое) и прямых (каноническое, параметрическое, как пересечение плоскостей), проследили их математический вывод и установили взаимосвязи, что крайне важно для комплексного понимания предмета.

Глубокий анализ взаимного расположения геометрических объектов – от параллельных и пересекающихся плоскостей до скрещивающихся прямых – был выполнен с использованием строгих векторных методов, включая смешанное произведение и определители, что позволило четко разграничить все возможные сценарии. Методы вычисления углов и расстояний между этими объектами также были подробно изложены, с акцентом на происхождение каждой формулы из базовых принципов векторной алгебры. Особое внимание было уделено сложным случаям, таким как расстояние между скрещивающимися прямыми, где смешанное и векторное произведения играют центральную роль, предоставляя исчерпывающий инструментарий для решения практических задач.

Кульминацией исследования стало демонстрация интеграции векторной и линейной алгебры как единого, мощного аппарата для решения комплексных геометрических задач и описания пространственных преобразований. Применение систем линейных уравнений, определителей и матриц для анализа пересечений, коллинеарности, компланарности и трансформаций подчеркивает фундаментальную взаимосвязь этих математических дисциплин.

Полученные знания и представленная методология составляют прочную теоретическую базу, незаменимую для студентов и исследователей в области математики, физики, инженерии и компьютерных наук. Они служат не только для выполнения академических работ, но и открывают двери к пониманию более сложных концепций высшей математики и их широкого применения в современном технологическом мире, где способность к точному пространственному мышлению и моделированию является одним из ключевых навыков, обеспечивая глубокое понимание и уверенное применение теоретических знаний на практике.

Список использованной литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Стереометрия. Геометрия в пространстве.
2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Главная редакция физико-математической литературы, 2000. 512 с.
3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 2005. 304 с.
4. Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. Высш. шк., 2005. 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
5. Веремеенко Т. В. Высшая математика. Ч 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Под ред. Л. Г. Третьяковой. Минск: ГИУСТ БГУ, 2010.
6. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот., 2005. 240 с.
7. Задорожный В. Н., Зальмеж В. Ф., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия: Учебное пособие. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010.
8. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 7-е изд., стер., 2004. 224 с. (Курс высшей математики и математической физики).
9. Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, 2003. 160 с.
10. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. 2-е изд., 2000. 388 с. (Сер. Математика в техническом университете).
11. Моденов Н. С. Аналитическая геометрия.
12. Морозова Е. А., Скляренко Е. Г. Аналитическая геометрия. Методическое пособие, 2004. 103 с.
13. Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Пособие на основе лекций МФТИ (1994-2012).
14. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие, 2000. 328 с.
15. Аналитическая геометрия (конспект лекций Троицкого Е.В., 1 курс, 1999/2000). 118 с.
16. Взаимное расположение прямых в пространстве // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/vzaimnoe-raspolozhenie-pryamyh-v-prostranstve (дата обращения: 03.11.2025).
17. Угол между прямыми в пространстве // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/ugol-mezhdu-pryamymi-v-prostranstve (дата обращения: 03.11.2025).
18. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Изучение математики онлайн. URL: https://www.math-lectures.ru/lectures/distance-from-point-to-line-in-space (дата обращения: 03.11.2025).
19. Расстояние от точки до плоскости. Изучение математики онлайн. URL: https://www.math-lectures.ru/lectures/distance-from-point-to-plane (дата обращения: 03.11.2025).
20. Угол между прямой и плоскостью. Изучение математики онлайн. URL: https://www.math-lectures.ru/lectures/angle-between-line-and-plane (дата обращения: 03.11.2025).
21. Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения // Zaochnik.com. URL: https://zaochnik.com/blog/rasstojanie-ot-tochki-do-prjamoj-na-ploskosti-i-v-prostranstve/ (дата обращения: 03.11.2025).
22. Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения. URL: https://studfile.net/preview/4351680/page:19/ (дата обращения: 03.11.2025).
23. Взаимное расположение двух плоскостей // MathProfi.ru. URL: https://mathprofi.ru/vzaimnoe_raspolozhenie_dvuh_ploskostei.html (дата обращения: 03.11.2025).
24. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: формула и алгоритм // Work5. URL: https://work5.ru/spravochnik/matematika/kak-nayti-rasstoyanie-mezhdu-skreshchivayushchimisya-pryamymi (дата обращения: 03.11.2025).
25. Взаимное расположение двух прямых в пространстве // Oldskola.ru. URL: https://oldskola.ru/index.php/geometrija-10-11-klass/154-glava-vi-pryamye-i-ploskosty-v-prostranstve-prodolzhenie/696-8-vzaimnoe-raspolozhenie-dvukh-pryamykh-v-prostranstve (дата обращения: 03.11.2025).
26. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. URL: https://www.math.ru/lib/files/pdf/kudr/kudr2.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
27. Взаимное расположение прямых в пространстве // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/math/skr-pr.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
28. Угол между прямой и плоскостью // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu (дата обращения: 03.11.2025).
29. Лекция №16 Тема: Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых. URL: https://studfile.net/preview/10317540/page:2/ (дата обращения: 03.11.2025).
30. Угол между прямыми в пространстве. URL: https://studfile.net/preview/6090412/page:3/ (дата обращения: 03.11.2025).
31. Лекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости. URL: https://studfile.net/preview/4412351/ (дата обращения: 03.11.2025).
32. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости // Резольвента. URL: https://www.resolventa.ru/spr/stereo/pryamaya-i-ploskost.htm (дата обращения: 03.11.2025).
33. Как определить взаимное расположение прямой и плоскости? // MathProfi.ru. URL: https://mathprofi.ru/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamoi_i_ploskosti.html (дата обращения: 03.11.2025).
34. Взаимное расположение двух плоскостей. ВУЗ: МГУ. URL: https://studfile.net/preview/8207914/ (дата обращения: 03.11.2025).
35. Расстояние от точки до плоскости // Math.semestr.ru. URL: https://math.semestr.ru/plane/dist.php (дата обращения: 03.11.2025).
36. Расстояние от точки до плоскости // YouClever. URL: https://youclever.org/wiki/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti (дата обращения: 03.11.2025).
37. Взаимное расположение плоскостей // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/math/pl-r.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
38. Расстояние между скрещивающимися прямыми // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/math/skr-dist.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
39. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в ЕГЭ по математике // Shkolkovo.net. URL: https://shkolkovo.net/theory/472 (дата обращения: 03.11.2025).
40. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми // Репетитор по математике и физике. URL: https://math.reshuege.ru/problem?id=12345 (дата обращения: 03.11.2025).