Линейное программирование в Microsoft Excel: Пошаговое руководство для написания курсовой работы

В современном мире, пронизанном сложными экономическими взаимосвязями, где каждый ресурс ограничен, а конкуренция постоянно ужесточается, проблема эффективного распределения и использования ресурсов становится краеугольным камнем успеха любого предприятия или проекта. Представьте, что ведущая логистическая компания, такая как «ТрансКонтейнер», ежедневно сталкивается с необходимостью оптимизации маршрутов тысяч контейнеров, минимизируя затраты и время доставки. Или агрохолдинг, планирующий посевные площади, стремится максимизировать прибыль при ограниченных объемах земли, рабочей силы и удобрений. Именно в таких ситуациях на помощь приходит линейное программирование (ЛП) – мощный математический аппарат, позволяющий находить наилучшие решения в условиях заданных ограничений.

Линейное программирование — это не просто абстрактная математическая дисциплина, а действенный инструмент для принятия управленческих решений. Оно позволяет формализовать экономические задачи, преобразовав их в строгие математические модели, и затем найти оптимальные стратегии, будь то максимизация прибыли, минимизация издержек, эффективное распределение ресурсов или оптимизация производственного планирования. Для студентов, изучающих экономику, менеджмент, информационные технологии и прикладную математику, овладение методами ЛП является фундаментальной компетенцией. Оно дает не только теоретические знания, но и практические навыки моделирования и анализа, критически важные в условиях современной цифровой экономики. Ведь умение переводить сложные бизнес-проблемы в математические модели и находить их оптимальные решения – это прямой путь к повышению эффективности и конкурентоспособности на рынке.

Особое значение в этом контексте приобретает использование специализированного программного обеспечения. Надстройка «Поиск решения» (Solver) в Microsoft Excel стала стандартом де-факто для практического решения задач линейного программирования. Ее доступность, интуитивно понятный интерфейс и интеграция с широко используемым офисным пакетом делают ее незаменимым инструментом для студентов и специалистов.

Настоящее руководство призвано стать исчерпывающим пособием для написания курсовой работы, посвященной решению задач линейного программирования в Excel. Оно не только заложит прочный теоретический фундамент, но и проведет читателя через все этапы практического моделирования – от активации надстройки до детального анализа отчетов, включая тонкости двойственной задачи и анализа устойчивости решения. Структура курсовой работы будет включать все необходимые разделы для глубокого изучения темы и формирования полноценного аналитического отчета.

Теоретические основы линейного программирования

Прежде чем перейти к практическому моделированию, необходимо заложить прочный фундамент в виде теоретических знаний. Линейное программирование – это не просто набор формул, а целая философия оптимизации, позволяющая находить лучшие пути в сложных системах, поскольку без понимания базовых принципов невозможно грамотно строить и интерпретировать модели.

Сущность и основные элементы задач линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – это раздел математического программирования, который занимается поиском экстремума (максимума или минимума) линейной функции при условии, что переменные, входящие в эту функцию, удовлетворяют системе линейных равенств или неравенств. Его суть заключается в нахождении такой комбинации значений неизвестных (переменных), которая обеспечивает наилучший результат (оптимум) при заданных ограничениях.

Ключевыми элементами любой задачи линейного программирования являются:

• Целевая функция: Это линейная функция, которую необходимо оптимизировать (максимизировать или минимизировать). Она выражает цель задачи, например, максимизацию прибыли, минимизацию затрат, максимизацию производительности. В общем виде она может быть записана как:
  Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ → max (или min)
  Где:
  • Z – значение целевой функции.
  • c₂ – коэффициенты целевой функции (например, прибыль от единицы продукции, стоимость единицы ресурса).
  • x₂ – переменные решения (неизвестные), значения которых необходимо определить (например, объем производства конкретного продукта, количество используемого ресурса).
• Система ограничений: Это набор линейных равенств или неравенств, описывающих доступные ресурсы, производственные мощности, спрос или другие условия, которые необходимо соблюдать. Ограничения могут быть представлены в виде:
  a₂₃x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ (или ≥ b₂, или = b₂)
  Где:
  • a₂₃ – коэффициенты ограничений (например, расход ресурса i на производство единицы продукта j).
  • b₂ – правые части ограничений (например, общий объем доступного ресурса i).
• Переменные решения: Неизвестные величины, значения которых необходимо найти для достижения оптимума. В большинстве экономических задач они должны быть неотрицательными:
  x₂ ≥ 0

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется совокупность значений переменных (x₁, x₂, ..., xₙ), которая удовлетворяет всем ограничениям задачи. Совокупность всех допустимых решений формирует область допустимых решений (ОДР), которая в графическом представлении является выпуклым многоугольником или многогранником.

Оптимальным решением (планом) является такое допустимое решение, при котором целевая функция принимает свое максимальное (или минимальное) значение.

Формы записи задач ЛП: стандартная и каноническая

Для удобства анализа и применения различных методов решения задачи линейного программирования принято приводить к стандартизированным формам. Различают две основные формы: стандартную и каноническую.

Стандартная форма задачи ЛП предполагает, что:

• Целевая функция максимизируется (или минимизируется).
• Все ограничения являются неравенствами типа «≤» (для задач на максимум) или «≥» (для задач на минимум).
• Все переменные неотрицательны.

Пример стандартной формы (максимизация):

Максимизировать: Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ

При ограничениях:

a₂₃x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂, для всех i = 1, ..., m

x₃ ≥ 0, для всех j = 1, ..., n

Каноническая форма задачи ЛП характеризуется следующими условиями:

• Целевая функция максимизируется (или минимизируется).
• Все ограничения являются равенствами.
• Все переменные неотрицательны.

Пример канонической формы (максимизация):

Максимизировать: Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ

При ограничениях:

a₂₃x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂, для всех i = 1, ..., m

x₃ ≥ 0, для всех j = 1, ..., n

Преобразование задач между формами:
Любую задачу линейного программирования можно привести к стандартной или канонической форме. Для этого используются уравнивающие переменные:

• Если ограничение имеет вид «≤», для преобразования его в равенство в левую часть добавляется неотрицательная **дополнительная (slack) переменная**. Например, неравенство 2x₁ + 3x₂ ≤ 10 преобразуется в 2x₁ + 3x₂ + s₁ = 10, где s₁ ≥ 0. s₁ показывает неиспользованный остаток ресурса.
• Если ограничение имеет вид «≥», для преобразования его в равенство из левой части вычитается неотрицательная **избыточная (surplus) переменная**. Например, неравенство 4x₁ - x₂ ≥ 5 преобразуется в 4x₁ - x₂ - s₂ = 5, где s₂ ≥ 0. s₂ показывает превышение над минимальным требованием.
• Если переменная не имеет ограничения на знак (может быть как положительной, так и отрицательной), ее можно заменить разностью двух неотрицательных переменных: x₃ = x'₃ - x''₃, где x'₃ ≥ 0, x''₃ ≥ 0.

Графический метод решения задач ЛП (на примере двух переменных)

Графический метод – это мощный дидактический инструмент, позволяющий наглядно понять природу задач линейного программирования и принцип нахождения оптимального решения. Однако его применение ограничено задачами с двумя переменными, поскольку построение графиков в трех и более измерениях становится невозможным.

Алгоритм графического метода:

1. Построение области допустимых решений (ОДР):
   • Для каждого неравенства системы ограничений построить соответствующую прямую, заменив знак неравенства на равенство.
   • Определить полуплоскость, удовлетворяющую исходному неравенству (для этого достаточно подставить координаты любой точки, не лежащей на прямой, например, (0,0)).
   • Учесть условия неотрицательности переменных (x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0), которые означают, что решения лежат в первом квадранте координатной плоскости.
   • ОДР будет представлять собой пересечение всех допустимых полуплоскостей, образуя выпуклый многоугольник (или многогранник в 3D). Если такого пересечения нет, задача не имеет допустимых решений.
2. Формирование графического изображения целевой функции:
   • Построить так называемую «линию уровня» целевой функции, приравняв ее к некоторому произвольному значению (например, Z = 0 или Z = 100). Это будет прямая: c₁x₁ + c₂x₂ = Z₀.
3. Определение направления возрастания (или убывания) целевой функции:
   • Построить вектор градиента C с координатами (c₁, c₂), начало которого находится в начале координат. Этот вектор указывает направление наискорейшего возрастания целевой функции (для максимизации) или убывания (для минимизации).
4. Перемещение линии уровня до точки экстремума:
   • Перемещать линию уровня целевой функции параллельно самой себе в направлении вектора C (для максимизации) или против него (для минимизации) до тех пор, пока она не коснется ОДР в последней точке.
   • Эта последняя точка касания и будет оптимальным решением. Оптимальный план всегда достигается в одной из вершин многогранника решений.
5. Нахождение координат оптимальной точки:
   • Определить координаты вершины (или вершин), в которой достигается оптимум, решив систему уравнений прямых, образующих эту вершину.
   • Подставить полученные координаты в целевую функцию, чтобы найти ее оптимальное значение.

Симплекс-метод как универсальный алгоритм решения ЛП

Если графический метод хорош для понимания, то симплекс-метод – это универсальный, аналитический алгоритм, способный решать задачи линейного программирования любой сложности и размерности. Разработанный Джорджем Данцигом в 1947 году, он стал краеугольным камнем исследования операций и до сих пор широко используется в коммерческих решателях.

Суть симплекс-метода заключается в систематическом переходе от одного базисного допустимого решения (которое соответствует вершине многогранника допустимых решений) к другому, соседнему, улучшая при этом значение целевой функции.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение. Метод гарантирует нахождение оптимума за конечное число шагов, если он существует.

Базовый принцип симплекс-метода:

1. Приведение задачи к канонической форме: Первым шагом является преобразование всех ограничений к равенствам путем введения дополнительных или избыточных переменных.
2. Построение исходного опорного решения: Находится начальное базисное допустимое решение. Если все правые части ограничений неотрицательны, а дополнительные переменные образуют единичную матрицу, это просто. В более сложных случаях (например, при наличии ограничений типа «≥» или равенств) может потребоваться использование метода искусственного базиса.
3. Итеративный процесс:
   • Проверка на оптимальность: Анализируются коэффициенты целевой функции в текущем базисе. Если для задачи максимизации все они неотрицательны (или неположительны для минимизации), то текущее решение оптимально.
   • Выбор вводящей переменной: Если решение неоптимально, выбирается переменная, которая при вводе в базис наиболее значительно улучшит значение целевой функции.
   • Выбор выводящей переменной: Определяется переменная, которая должна выйти из базиса, чтобы сохранить допустимость решения (т.е., чтобы новые базисные переменные остались неотрицательными). Это делается на основе наименьшего положительного отношения правой части ограничения к коэффициенту вводящей переменной в этом ограничении.
   • Пересчет симплекс-таблицы (выполнение Жордановых исключений): Обновляется симплекс-таблица, отражая новое базисное решение.
4. Повторение: Шаги 3 повторяются до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное решение или пока не будет установлено, что задача не имеет конечного решения (целевая функция неограничена).

Симплекс-метод, несмотря на свою сложность при ручных вычислениях, является основой для большинства программных пакетов, решающих задачи ЛП, включая «Поиск решения» в Excel.

Области применения линейного программирования

Линейное программирование – это не просто академическая теория, но и мощный инструмент, применяемый в самых разнообразных отраслях для решения реальных экономических и управленческих задач. Его универсальность и способность обрабатывать множество переменных и ограничений делают его незаменимым в современном мире.

• Сельское хозяйство: Здесь ЛП применяется для оптимизации использования производственных ресурсов. Например, агрохолдинги используют его для определения оптимального распределения посевных площадей между различными культурами (зерновые, сахарная свекла, подсолнечник) с целью максимизации прибыли. При этом учитываются ограничения по площади пашни (например, 3200 га), доступным трудовым ресурсам (например, 7000 чел.-дней) и запасам минеральных удобрений (например, 15000 ц.д.в.). ЛП также помогает в составлении оптимальных кормовых рационов для животных, минимизируя затраты при соблюдении пищевых требований.
• Промышленность: В производственном секторе ЛП является ключевым инструментом для оптимизации планирования. Оно позволяет компаниям минимизировать издержки, максимизировать прибыль и снизить репутационные риски, связанные с неэффективным производством. Типовые задачи включают:
  • Балансировку загрузки производственных линий для обеспечения их оптимальной работы.
  • Прогнозирование спроса и управление запасами готовой продукции и сырья.
  • Оптимизацию использования оборудования и минимизацию потерь производственного времени.
  • Распределение заказов между различными производственными мощностями.
• Транспорт и логистика: Одно из классических применений ЛП – решение транспортных задач. Крупные логистические операторы, такие как «ТрансКонтейнер», используют его для оптимального планирования перевозок грузов. Цель – минимизировать суммарные транспортные расходы (стоимость или время) при доставке товаров из пунктов отправления в пункты назначения. Это включает распределение грузов между различными видами транспорта (автомобильный, железнодорожный, морской), выбор оптимальных маршрутов и управление загрузкой транспортных средств.
• Здравоохранение: В этой сфере ЛП способствует повышению доступности и качества медицинской помощи. Оно используется для эффективного планирования, использования и своевременного пополнения медицинских ресурсов. Например, оптимизация графика работы медицинского персонала, распределение пациентов по койкам в больницах, планирование закупок лекарств и оборудования, а также распределение ресурсов для проведения вакцинации.
• Экономика и финансы: В более широком экономическом контексте ЛП применяется для решения множества задач, включая:
  • Управление инвестициями: формирование оптимального инвестиционного портфеля с учетом доходности, риска и ликвидности.
  • Составление финансовых планов и бюджетов.
  • Поддержка стратегического планирования на региональном уровне, например, через платформы «Цифровой двойник региона», которые моделируют последствия управленческих решений в различных сферах – от развития инфраструктуры до распределения бюджета.
  • Оптимизация кредитного портфеля и портфеля ценных бумаг в банковской сфере.

Широта применения ЛП подчеркивает его фундаментальную значимость как инструмента для принятия обоснованных и эффективных решений в условиях ограниченности ресурсов.

Моделирование экономических задач линейного программирования

После освоения теоретических основ линейного программирования настало время углубиться в его практическое применение. Экономические задачи, ��есмотря на кажущуюся разнообразность, часто сводятся к типовым моделям ЛП, что значительно упрощает их анализ и решение. Математическая модель экономической задачи — это не что иное, как формальное выражение ее целевой функции и системы ограничений.

Классификация и примеры типовых задач

Экономические задачи линейного программирования можно классифицировать по их функциональной направленности, что позволяет выделить несколько ключевых групп, для каждой из которых существуют свои характерные особенности в построении математической модели.

1. Транспортная задача: Эта задача является классическим примером распределительных проблем. Ее цель — оптимизировать план перевозок однородного груза из нескольких пунктов отправления (поставщиков) в несколько пунктов потребления (складов, клиентов) таким образом, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы (стоимость или время доставки). Основные ограничения: объемы груза у поставщиков и потребности потребителей.
2. Задача составления оптимального производственного плана: Одно из самых распространенных применений ЛП в бизнесе. Предприятие стремится определить оптимальные объемы производства различных видов продукции, чтобы максимизировать прибыль или выручку. Ограничениями служат доступные ресурсы: сырье, трудовые ресурсы, машинное время, производственные мощности цехов.
3. Задача составления смеси: Эта задача возникает, когда необходимо создать смесь из различных ингредиентов, которая будет удовлетворять определенным качественным требованиям при минимальных затратах или максимальной эффективности. Примеры:
   • Кормовой рацион: составление рациона для животных из различных видов кормов, чтобы обеспечить необходимые питательные вещества при минимальной стоимости.
   • Шихты в металлургии: оптимизация состава металлической шихты для получения сплава с заданными свойствами.
   • Горюче-смазочные смеси, диеты: аналогичные задачи по составлению оптимальных смесей.
4. Задача оптимального раскроя материала: Цель — минимизировать отходы или максимизировать количество получаемых годных изделий при раскрое исходного материала (рулонов ткани, листов металла, фанеры) на заготовки заданных размеров. Эта задача особенно актуальна для предприятий легкой промышленности, мебельных фабрик, машиностроения.
5. Задача застройки жилого квартала: Отражает проблемы планирования в градостроительстве. Цель может заключаться в оптимизации использования земельных участков, распределении инвестиций, минимизации затрат на строительство или максимизации доходности проекта, с учетом ограничений по этажности, плотности застройки, наличию социальной и транспортной инфраструктуры.

Все эти задачи объединяет общий принцип: наличие целевой функции, которую нужно оптимизировать, и системы линейных ограничений, выражающих ресурсные, технологические или другие условия. Распределительные задачи, как правило, возникают, когда имеющихся ресурсов недостаточно для выполнения всех намеченных работ, и требуется найти наиболее эффективное их распределение.

Детальный разбор экономических моделей

Чтобы глубже понять, как экономические задачи трансформируются в математические модели ЛП, рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 1: Задача планирования производства (Мебельная фабрика)

Представим мебельную фабрику, производящую столы (x₁) и шкафы (x₂). Цель – максимизировать прибыль.

Известны:

• Прибыль от одного стола: 5000 руб.
• Прибыль от одного шкафа: 8000 руб.
• Ресурсы:
  • Древесина: на стол – 0.1 м³, на шкаф – 0.2 м³. Общий запас – 20 м³.
  • Время работы станков: на стол – 2 часа, на шкаф – 4 часа. Общий фонд времени – 300 часов.
  • Трудоемкость: на стол – 3 чел.-часа, на шкаф – 5 чел.-часов. Общий фонд рабочего времени – 400 чел.-часов.

Математическая модель:

• Переменные решения:
  • x₁ – количество производимых столов.
  • x₂ – количество производимых шкафов.
• Целевая функция (максимизация прибыли):
  Max Z = 5000x₁ + 8000x₂
• Ограничения:
  • По древесине: 0.1x₁ + 0.2x₂ ≤ 20
  • По времени работы станков: 2x₁ + 4x₂ ≤ 300
  • По трудоемкости: 3x₁ + 5x₂ ≤ 400
  • Неотрицательность переменных: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Пример 2: Задача о банке (Управление активами и пассивами)

Банк имеет собственные средства и привлеченные депозиты на общую сумму P млн руб. Цель – максимизировать доходность или стабилизировать чистую процентную маржу, управляя рисками.

Известны:

• Общая сумма средств (P).
• Часть средств, не менее Q млн руб., должна быть размещена в кредитах (x₁).
• Вложения в ценные бумаги (x₂) должны составлять не менее r% от суммы средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.
• Доходность по кредитам: d₁%.
• Доходность по ценным бумагам: d₂%.
• Норматив ликвидности: доля высоколиквидных активов (например, ценных бумаг) должна быть не менее L% от общего объема активов.

Математическая модель (упрощенный вариант для курсовой работы):

• Переменные решения:
  • x₁ – сумма средств, размещенных в кредитах.
  • x₂ – сумма средств, размещенных в ценных бумагах.
  • x₃ – сумма средств, размещенных в других активах (например, межбанковские кредиты, корреспондентские счета).
• Целевая функция (максимизация дохода):
  Max Z = d₁x₁ + d₂x₂ + d₃x₃ (где d₃ – доходность других активов)
• Ограничения:
  • Общий объем средств: x₁ + x₂ + x₃ ≤ P
  • Минимальный объем кредитования: x₁ ≥ Q
  • Доля ценных бумаг: x₂ ≥ r * (x₁ + x₂)
    (Это можно переписать как (1-r)x₂ - rx₁ ≥ 0)
  • Норматив ликвидности: x₂ ≥ L * (x₁ + x₂ + x₃)
    (Это можно переписать как (1-L)x₂ - Lx₁ - Lx₃ ≥ 0)
  • Неотрицательность переменных: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0

В задачах о банке, помимо максимизации прибыли, могут быть также цели по стабилизации чистой процентной маржи, поддержанию оптимальной структуры активов и пассивов, обеспечению соответствия сумм, сроков и валюты привлечения и размещения ресурсов, а также минимизации риска. Модели могут включать оптимизацию кредитного портфеля и портфеля ценных бумаг с учетом доходности и рисков, но для курсовой работы чаще используются более прямолинейные модели.

Эти примеры иллюстрируют, как реальные экономические ситуации могут быть формализованы в виде задач линейного программирования, что открывает путь к их аналитическому решению и принятию обоснованных управленческих решений. Понимание этих принципов позволяет студентам не просто использовать готовые инструменты, но и адаптировать их к уникальным условиям каждой конкретной задачи, демонстрируя глубокую экспертность.

Практическое решение задач линейного программирования в Microsoft Excel

После того как мы погрузились в теоретические дебри линейного программирования и научились формулировать экономические задачи в виде математических моделей, настало время переходить к практике. Microsoft Excel, с его надстройкой «Поиск решения» (Solver), является одним из самых доступных и широко используемых инструментов для решения задач ЛП. Этот раздел представляет собой пошаговое руководство, которое поможет вам уверенно работать с Solver для вашей курсовой работы.

Активация надстройки «Поиск решения» (Solver)

Прежде чем начать решать задачи, убедитесь, что надстройка «Поиск решения» активирована в вашей версии Microsoft Excel. Это штатный инструмент, но иногда он требует ручной активации.

Пошаговая инструкция по активации:

1. Откройте Excel.
2. Перейдите во вкладку «Файл» (обычно находится в левом верхнем углу).
3. Выберите «Параметры» (Options) в нижней части меню. Откроется диалоговое окно «Параметры Excel».
4. В левой панели диалогового окна **выберите «Надстройки»** (Add-ins).
5. В нижней части окна «Надстройки» найдите поле **»Управление»** (Manage). Убедитесь, что в выпадающем списке выбрано **»Надстройки Excel»** (Excel Add-ins).
6. Нажмите кнопку **»Перейти…»** (Go…). Откроется новое диалоговое окно «Надстройки».
7. В списке доступных надстроек **установите флажок напротив «Поиск решения»** (Solver Add-in).
8. Нажмите **»ОК»**.

После этих действий надстройка «Поиск решения» будет активирована, и вы найдете ее кнопку во вкладке **»Данные»** (Data) в группе **»Анализ»** (Analyze).

Подготовка данных на листе Excel

Эффективность работы с «Поиском решения» во многом зависит от того, насколько грамотно вы организуете данные на листе Excel. Четкая структура и правильное использование формул – ключ к успеху.

Рекомендуемая структура листа:

1. Ячейки для переменных решения: Отведите отдельные ячейки для каждой переменной задачи (например, x₁, x₂, …). Изначально в этих ячейках должны быть нули. «Поиск решения» будет изменять их значения.
   • Пример: Для задачи с двумя переменными x₁ и x₂, выделите ячейки B3 и C3.
2. Ячейка для целевой функции: В отдельной ячейке (например, B6) разместите формулу для расчета целевой функции, используя значения из ячеек переменных. Для этого удобно использовать функцию СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT).
   • Пример: Если целевая функция Z = 5000x₁ + 8000x₂, где x₁ в B3, x₂ в C3, а коэффициенты 5000 и 8000 находятся в ячейках B2 и C2 соответственно, то формула в ячейке B6 будет =СУММПРОИЗВ(B2:C2;B3:C3). До запуска Solver значение в этой ячейке также будет равно нулю.
3. Ячейки для левых частей ограничений: Для каждого ограничения создайте отдельную ячейку, в которой будет находиться формула для расчета левой части ограничения. Также используйте СУММПРОИЗВ.
   • Пример: Если первое ограничение 0.1x₁ + 0.2x₂ ≤ 20, где x₁ в B3, x₂ в C3, а коэффициенты 0.1 и 0.2 находятся в ячейках B9 и C9 соответственно, то формула в ячейке D9 будет =СУММПРОИЗВ(B9:C9;$B$3:$C$3).
   • Важно: В формулах целевой функции и левых частей ограничений ссылки на ячейки переменных (B3:C3 в примере) должны быть абсолютными (например, $B$3:$C$3), если вы планируете копировать формулы. Однако для СУММПРОИЗВ это не всегда критично, если диапазон переменных всегда один и тот же.
4. Ячейки для правых частей ограничений: Отведите отдельные ячейки для числовых значений правых частей каждого ограничения.
5. Графическое представление (опционально): Для наглядности можно использовать таблицы для коэффициентов целевой функции, ограничений, а также для отображения типа ограничения (≤, =, ≥).

Пример структуры листа Excel:

	A	B	C	D	E
1	Коэффициенты целевой функции
2		5000	8000
3	Переменные (x)	0	0
4
5	Целевая функция Z
6	Значение Z	0
7
8	Ограничения	x1 коэф.	x2 коэф.	Левая часть	Правая часть
9	Древесина	0.1	0.2	0	20
10	Время станков	2	4	0	300
11	Трудоемкость	3	5	0	400

• Ячейки B3 и C3 – это «Изменяемые ячейки переменных».
• Ячейка B6 – это «Целевая ячейка».
• Ячейка D9: =СУММПРОИЗВ(B9:C9;$B$3:$C$3)
• Ячейка D10: =СУММПРОИЗВ(B10:C10;$B$3:$C$3)
• Ячейка D11: =СУММПРОИЗВ(B11:C11;$B$3:$C$3)

Настройка параметров «Поиска решения»

После подготовки данных перейдем к настройке самой надстройки.

1. Нажмите кнопку «Поиск решения» (Solver) во вкладке «Данные» (Data). Откроется диалоговое окно «Параметры поиска решения» (Solver Parameters).
2. Задайте целевую функцию (Set Objective):
   • В поле «Оптимизировать целевую функцию» (Set Objective) укажите ячейку, содержащую формулу вашей целевой функции (например, $B$6).
   • Выберите направление оптимизации:
     • Максимум (Max) – если вы максимизируете прибыль, доход и т.д.
     • Минимум (Min) – если вы минимизируете затраты, время и т.д.
     • Значению (Value Of) – если вам нужно, чтобы целевая функция приняла конкретное значение.
3. Изменяемые ячейки переменных (By Changing Variable Cells):
   • В поле «Изменяя ячейки переменных» укажите диапазон ячеек, которые «Поиск решения» будет изменять для нахождения оптимума. Это ваши x₁, x₂, … (например, $B$3:$C$3).
4. Добавление ограничений (Subject to the Constraints):
   • Нажмите кнопку **»Добавить»** (Add).
   • В диалоговом окне «Добавление ограничения» (Add Constraint) укажите:
     • **»Ссылка на ячейку»** (Cell Reference): ячейка с левой частью ограничения (например, $D$9).
     • **Знак отношения:** выберите соответствующий знак (≤, =, ≥).
     • **»Ограничение»** (Constraint): ячейка с правой частью ограничения (например, $E$9).
   • Повторите эту операцию для каждого ограничения.
   • Ограничения неотрицательности (x₃ ≥ 0) часто обрабатываются отдельной опцией, которую мы рассмотрим далее.

Выбор метода решения и важные опции

Это критически важный шаг, который часто упускается из виду, но напрямую влияет на корректность и эффективность решения задачи.

1. Выбор метода решения:
   • В нижней части диалогового окна «Параметры поиска решения» в выпадающем списке «Выберите метод решения» (Select a Solving Method) обязательно выберите «Симплекс-метод LP» (Simplex LP). Это гарантирует, что Excel будет использовать специализированный алгоритм для линейных задач, который является наиболее эффективным и точным для данного типа задач. Выбор других методов (GRG Nonlinear или Evolutionary) может привести к некорректным или субоптимальным результатам для линейных моделей.
2. Важная опция неотрицательности:
   • Установите флажок **»Сделать переменные без ограничений неотрицательными»** (Make Unconstrained Variables Non-Negative). Эта опция автоматически добавляет ограничение x₃ ≥ 0 для всех переменных решения, что является стандартным требованием для большинства экономических задач ЛП. Это позволяет избежать явного добавления каждого такого ограничения вручную, но главное – гарантирует экономическую осмысленность решения (например, нельзя произвести отрицательное количество продукции).

Запуск решения и интерпретация результатов

Когда все параметры настроены, можно запускать процесс решения.

1. Нажмите кнопку «Найти решение» (Solve) в диалоговом окне «Параметры поиска решения».
2. Результаты поиска решения:
   • После завершения расчетов Excel выведет диалоговое окно «Результаты поиска решения» (Solver Results).
   • В нем будет сообщение о статусе решения (например, «Поиск решения нашел решение. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.»).
   • Вам будет предложено:
     • Сохранить найденное решение (Keep Solver Solution) – значения переменных и целевой функции обновятся на листе Excel.
     • Восстановить исходные значения (Restore Original Values).
   • Самое важное для курсовой работы – это возможность создания отчетов. В списке «Тип отчета» (Reports) выберите те, которые вам нужны:
     • Отчет по ответам (Answer Report) – содержит оптимальные значения переменных, целевой функции и статус ограничений.
     • Отчет по устойчивости (Sensitivity Report) – предоставляет критически важную информацию для постоптимизационного анализа (теневые цены, диапазоны изменений).
     • Отчет по пределам (Limits Report) – показывает диапазоны, в которых каждая переменная может изменяться, сохраняя оптимальность решения, при условии, что все остальные переменные остаются на оптимальном уровне.
3. Нажмите «ОК». Выбранные отчеты будут сгенерированы на новых листах Excel.

Теперь вы обладаете не только оптимальным решением, но и набором аналитических отчетов, которые помогут углубить понимание задачи и ее экономической интерпретации.

Анализ результатов: двойственная задача и устойчивость решения

Получение оптимального решения – это лишь половина дела. Настоящая аналитическая ценность проявляется в способности интерпретировать эти результаты, понимать их экономический смысл и оценивать их устойчивость к изменениям. Этот раздел посвящен двойственной задаче и постоптимизационному анализу, которые являются мощными инструментами для глубокого понимания модели.

Теория двойственности: Прямая и двойственная задача

В мире линейного программирования не существует одной задачи в изоляции. Каждой задаче, которую мы решаем (так называемой прямой задаче), соответствует другая, тесно связанная с ней задача, именуемая двойственной или сопряженной. Теория двойственности – это один из самых красивых и полезных разделов ЛП, позволяющий не только по-новому взглянуть на исходную проблему, но и получить ценнейшую экономическую информацию.

Связь между прямой и двойственной задачами:

• Целевые функции: Если прямая задача направлена на максимизацию (например, прибыли), то двойственная задача всегда будет направлена на минимизацию (например, затрат на ресурсы), и наоборот.
• Переменные и ограничения: Число переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи, и наоборот. Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, а каждой переменной прямой задачи — ограничение двойственной.
• Коэффициенты:
  • Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы прямой задачи.
  • Вектор коэффициентов целевой функции прямой задачи становится вектором правых частей ограничений двойственной.
  • Вектор правых частей ограничений прямой задачи становится вектором коэффициентов целевой функции двойственной.
• Типы ограничений и знаки переменных: Существуют строгие правила перехода, определяющие знаки переменных и тип ограничений (равенство/неравенство) в двойственной задаче в зависимости от типа ограничений и знаков переменных в прямой.

Пример построения двойственной задачи:

Допустим, прямая задача (P) имеет вид:

Max Z = c₁x₁ + c₂x₂

При ограничениях:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≤ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ ≤ b₂

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

Тогда двойственная задача (D) будет иметь вид:

Min W = b₁y₁ + b₂y₂

При ограничениях:

a₁₁y₁ + a₂₁y₂ ≥ c₁

a₁₂y₁ + a₂₂y₂ ≥ c₂

y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0

Теорема о сильной двойственности: Эта фундаментальная теорема утверждает, что если прямая задача имеет оптимальное решение, то двойственная задача также имеет оптимальное решение, и их оптимальные значения равны. То есть, Max Z = Min W. Это означает, что решение одной задачи автоматически дает информацию о решении другой, и обе задачи описывают один и тот же экономический процесс с разных сторон.

Экономическая интерпретация двойственных оценок (теневых цен)

Переменные двойственной задачи (y₂) имеют глубокий экономический смысл и называются двойственными оценками или теневыми ценами (shadow prices).

Что показывают теневые цены:

Величина двойственной оценки ресурса (y₂) показывает, насколько увеличилось бы (или уменьшилось бы для минимизации) максимальное значение целевой функции прямой задачи, если бы объем данного ресурса (b₂) увеличился на единицу. Иными словами, это предельная ценность ресурса для предприятия в условиях оптимального плана.

Практическое применение в принятии управленческих решений:

1. Определение «узких мест»: Если двойственная оценка ресурса больше нуля (y₂ > 0), это означает, что ресурс является дефицитным, или «узким местом». Увеличение его объема приведет к росту оптимального значения целевой функции. Чем выше теневая цена, тем более ценен ресурс для предприятия в текущей производственной ситуации.
2. Обоснование закупки ресурсов: Теневая цена может служить внутренней оценкой максимальной цены, которую предприятие готово заплатить за дополнительную единицу дефицитного ресурса. Если рыночная цена ресурса ниже его теневой цены, то закупка дополнительного объема этого ресурса экономически целесообразна. Наоборот, если рыночная цена выше теневой, приобретать ресурс невыгодно.
3. Обоснование продажи ресурсов: Если теневая цена ресурса равна нулю (y₂ = 0), это означает, что ресурс не является дефицитным, он имеется в избытке (или не используется полностью в оптимальном плане). В таком случае, если есть возможность, часть этого ресурса может быть продана без ущерба для целевой функции.
4. Оценка эффективности: Теневые цены позволяют измерять эффективность использования ресурсов и определять, какие из них вносят наибольший вклад в достижение цели.

Границы применимости:

Важно помнить, что двойственные оценки измеряют эффективность лишь **незначительного изменения** объема ресурсов. При значительных изменениях (выходящих за пределы так называемых «диапазонов устойчивости») может быть получен новый оптимальный план, и, соответственно, новые двойственные оценки. Отчет по устойчивости в Excel помогает определить эти диапазоны.

Постоптимизационный анализ и отчет по устойчивости

Получение оптимального решения – это моментальный снимок. В реальном мире параметры задачи могут меняться. Постоптимизационный анализ (или анализ устойчивости/чувствительности) позволяет оценить, насколько «крепко» полученное решение, и как оно реагирует на изменения во входных данных.

Что позволяет определить анализ устойчивости:

• Устойчивость решения к изменению условий: Определяет, в каких пределах могут изменяться коэффициенты целевой функции и правые части ограничений без изменения состава оптимального базиса (т.е., без изменения набора производимых продуктов или используемых ресурсов).
• Чувствительность решения: Оценивает, насколько сильно изменится значение целевой функции при изменении параметров задачи.

«Поиск решения» в Excel является незаменимым инструментом для такого анализа, генерируя специальные отчеты.

Интерпретация отчетов «Поиска решения» (Отчет по ответам, устойчивости, пределам)

После успешного выполнения «Поиска решения» вы можете выбрать генерацию нескольких отчетов, которые будут созданы на отдельных листах Excel и содержат ключевую информацию.

1. «Отчет по ответам» (Answer Report):
   • «Целевая ячейка»: Показывает конечное значение целевой функции и ее исходное значение.
   • «Ячейки переменных»: Отображает оптимальные значения каждой переменной решения, их исходные значения и статус (например, «Несвязанное» – если переменная не включена в базис).
   • «Ограничения»: Для каждого ограничения указывается его текущее значение (левая часть), правая часть, избыток или дефицит (slack) и статус (например, «Связано» – если ресурс полностью использован, «Несвязанное» – если ресурс используется не полностью).

   Практическая ценность: Этот отчет предоставляет само оптимальное решение – что и сколько производить, сколько ресурсов использовать, и какое значение при этом достигнет целевая функция.

2. «Отчет по устойчивости» (Sensitivity Report):

   Это наиболее ценный отчет для глубокого анализа, особенно для курсовой работы. Он делится на две части:

   • «Ячейки переменных» (Adjustable Cells):
     • «Итоговое значение» (Final Value): Оптимальное значение переменной.
     • «Приведенная стоимость» (Reduced Cost): Для базисных переменных (входящих в оптимальный план) она равна нулю. Для небазисных переменных (которые не производятся или не используются) приведенная стоимость показывает, насколько должна улучшиться доходность (для максимизации) или уменьшиться стоимость (для минимизации) единицы этого продукта, чтобы его стало выгодно производить (или использовать).
     • «Коэффициент целевой функции» (Objective Coefficient): Исходный коэффициент переменной в целевой функции.
     • «Допустимое увеличение» (Allowable Increase) и «Допустимое уменьшение» (Allowable Decrease): Эти значения показывают, насколько может измениться коэффициент целевой функции (например, прибыль от единицы продукции) без изменения оптимального базиса (т.е. без изменения набора производимых продуктов). Если изменение выходит за эти пределы, оптимальный набор продуктов может измениться.
   • «Ограничения» (Constraints):
     • «Итоговое значение» (Final Value): Левая часть ограничения при оптимальном решении.
     • «Теневая цена» (Shadow Price): Это и есть двойственная оценка, показывающая, насколько изменится целевая функция при увеличении правой части ограничения на единицу (в пределах допустимого диапазона).
     • «Правая часть ограничения» (Constraint R.H. Side): Исходное значение правой части ограничения.
     • «Допустимое увеличение» (Allowable Increase) и «Допустимое уменьшение» (Allowable Decrease): Эти значения показывают, насколько может измениться правая часть ограничения (например, доступный объем ресурса) без изменения теневой цены и оптимального базиса. За пределами этих диапазонов теневая цена может измениться, и потребуется пересчет.

   Практическая ценность: Отчет по устойчивости позволяет оценить «прочность» решения, принимать решения о закупке дополнительных ресурсов (сравнивая теневую цену с рыночной), анализировать влияние изменений цен на продукты или доступности ресурсов на оптимальный производственный план.

3. «Отчет по пределам» (Limits Report):
   • Показывает, в каких пределах может изменяться каждая переменная решения, сохраняя остальные переменные на оптимальном уровне, при этом целевая функция не ухудшается.
   • «Целевая ячейка»: Итоговое значение целевой функции.
   • «Ячейка»: Переменная решения.
   • «Значение»: Оптимальное значение переменной.
   • «Нижний предел» (Lower Limit) и «Верхний предел» (Upper Limit): Диапазон, в котором переменная может изменяться.
   • «Результат целевой ячейки» (Target Result): Значение целевой функции при достижении предела.

   Практическая ценность: Отчет по пределам полезен для анализа гибкости решения и определения потенциальных диапазонов производства или использования ресурсов, если требуется отклонение от строго оптимального плана.

Использование этих отчетов позволяет не просто получить численное решение, но и провести глубокий качественный и количественный анализ, что является основой для высококачественной курсовой работы.

Ограничения и типичные ошибки при использовании Excel для ЛП

Надстройка «Поиск решения» в Microsoft Excel – это мощный и удобный инструмент, но, как и любой другой программный комплекс, она имеет свои возможности, пределы и подводные камни. Понимание этих аспектов критически важно для получения корректных результатов и их адекватной интерпретации, особенно при написании академической работы.

Возможности и пределы надстройки «Поиск решения»

«Поиск решения» (Solver) в базовой версии Microsoft Excel разработан для решения широкого круга оптимизационных задач. Он способен эффективно находить решения уравнений, исследовать экстремумы функций и отыскивать оптимальные решения для линейных, нелинейных и даже целочисленных моделей.

Основные возможности базовой версии Solver:

• Типы задач: Поддерживает линейные задачи (Linear Programming, LP), нелинейные задачи с гладкими функциями (Generalized Reduced Gradient, GRG Nonlinear) и задачи с целочисленными или бинарными переменными (Evolutionary). Для ЛП используется симплекс-метод.
• Количество переменных и ограничений:
  • Базовая версия, поставляемая с Excel, способна обрабатывать задачи с количеством неизвестных (переменных решения) до 200.
  • Количество формульных ограничений (те, которые вы задаете через ячейки) – **до 100**.
  • Количество **простых ограничений** (таких как неотрицательность или бинарность, которые можно установить опциями) – **до 400**.
• Интеграция с Excel: Полная интеграция с рабочим листом, что позволяет легко подготавливать данные и визуализировать результаты.

Пределы и расширенные версии:

Хотя 200 переменных и 100 формульных ограничений достаточно для большинства учебных и многих практических задач, этого может быть недостаточно для крупномасштабных промышленных оптимизаций. Для решения более сложных задач с большим количеством переменных и ограничений (до 1000 и более) существуют коммерческие версии надстройки, такие как Premium Solver или Frontline Systems Solvers, которые предлагают расширенные возможности, более мощные алгоритмы и поддержку значительно больших моделей. Для студенческой курсовой работы стандартной версии Solver, как правило, более чем достаточно.

Распространенные ошибки и методы их предотвращения

Типичные ошибки при работе с «Поиском решения» могут возникать на разных этапах – от подготовки данных до интерпретации отчетов. Понимание этих ошибок и знание способов их предотвращения существенно повысят качество вашей курсовой работы.

1. Неверный выбор метода решения:
   • Ошибка: Для задач линейного программирования не выбран «Симплекс-метод LP» в параметрах Solver. Вместо него по умолчанию может быть установлен GRG Nonlinear. Использование нелинейного метода для линейной задачи может привести к некорректным, неоптимальным или медленным результатам.
   • Предотвращение: Всегда проверяйте и явно устанавливайте «Симплекс-метод LP» при решении задач линейного программирования. Это критически важно для обеспечения правильности решения.
2. Игнорирование условия неотрицательности переменных:
   • Ошибка: Для большинства экономических задач переменные (например, количество производимого продукта) не могут быть отрицательными. Если не установить соответствующую опцию, Solver может найти решение с отрицательными значениями, которое будет математически верным, но экономически бессмысленным.
   • Предотвращение: Всегда устанавливайте флажок «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». Если же по условиям задачи некоторые переменные могут быть отрицательными (что редко для экономических задач ЛП), то эту опцию отключают, но тогда нужно явно прописывать все необходимые ограничения на знак.
3. Некорректный ввод формул целевой функции или ограничений:
   • Ошибка: Самая банальная, но частая ошибка – опечатки в формулах, неверные ссылки на ячейки или неправильное использование СУММПРОИЗВ. Например, ссылка на коэффициенты целевой функции вместо переменных или наоборот.
   • Предотвращение: Тщательно проверяйте каждую формулу. До запуска Solver убедитесь, что все левые части ограничений и целевая функция корректно отображают нулевые значения, когда ячейки переменных пусты (равны нулю). Используйте функцию СУММПРОИЗВ для минимизации ошибки и большей наглядности.
4. Неправильная установка типа ограничения:
   • Ошибка: Ошибка в выборе знака отношения (≤, =, ≥) при вводе ограничений. Например, вместо «меньше или равно» указано «больше или равно».
   • Предотвращение: Внимательно сопоставляйте математическую модель с вводом ограничений в диалоговом окне «Поиска решения».
5. Неверная интерпретация отчетов:
   • Ошибка: Непонимание смысла теневых цен, приведенных стоимостей или диапазонов устойчивости может привести к ошибочным выводам в курсовой работе. Например, попытка интерпретировать теневую цену для изменения ресурса за пределами его допустимого диапазона.
   • Предотвращение: Глубоко изучите разделы, посвященные двойственной задаче и анализу устойчивости. Всегда обращайте внимание на «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» в «Отчете по устойчивости», чтобы корректно применять теневые цены.
6. Задача не имеет решения (неразрешимость) или целевая функция неограничена:
   • Ошибка: Solver не может найти решение и выдает сообщение об ошибке (например, «Поиск решения не смог найти допустимого решения», «Целевая ячейка не сходится» или «Линейная модель неограничена»).
   • Предотвращение: Если такая ситуация возникла, это не всегда ошибка Solver, а часто индикатор некорректно поставленной модели.
     • Неразрешимость: Проверьте, нет ли противоречий в ограничениях (например, x₁ ≤ 5 и x₁ ≥ 10 одновременно). Убедитесь, что все необходимые ограничения учтены.
     • Неограниченность: Это означает, что целевую функцию можно увеличивать (или уменьшать) до бесконечности, не нарушая ограничений. Проверьте, все ли необходимые ресурсные ограничения были учтены в модели.

Тщательное следование инструкциям и внимательность при работе с «Поиском решения» позволят вам избежать этих распространенных ошибок и получить надежные, экономически обоснованные результаты для вашей курсовой работы.

Заключение

В рамках данного руководства мы совершили всестороннее погружение в мир линейного программирования, начиная с его фундаментальных теоретических основ и заканчивая детальным практическим применением в Microsoft Excel для решения реальных экономических задач. Мы определили линейное программирование как мощнейший аналитический инструмент для оптимизации процессов в условиях ограниченных ресурсов, обозначив его актуальность для современного специалиста.

Мы систематизировали теоретический материал, рассмотрев сущность и основные элементы задач ЛП, различия между стандартной и канонической формами, а также принципы графического и симплекс-методов – основы, без которых невозможно глубокое понимание практической реализации. Показали широту применения линейного программирования: от оптимизации посевных площадей в сельском хозяйстве и планирования производства в промышленности, до логистических задач на примере компании «ТрансКонтейнер» и управления ресурсами в здравоохранении.

Особое внимание было уделено моделированию экономических задач, где на конкретных примерах (таких как планирование производства мебели или управление активами банка) было продемонстрировано, как абстрактные экономические проблемы трансформируются в строгие математические модели ЛП. А ведь именно эта способность переводить сложную реальность в понятный математический язык является ключевым навыком для современного аналитика.

Центральной частью практического раздела стало пошаговое руководство по использованию надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel: от активации и подготовки данных до тщательной настройки параметров, включая критически важный выбор «Симплекс-метода LP» и условия неотрицательности переменных. Мы подробно описали процесс запуска решения и получения базового «Отчета по ответам».

Однако истинная ценность аналитической работы раскрывается не столько в получении решения, сколько в его интерпретации. Мы глубоко погрузились в теорию двойственности, объяснив связь между прямой и двойственной задачами и раскрыв экономический смысл двойственных оценок, или теневых цен. Эти показатели оказались незаменимыми инструментами для оценки дефицитности ресурсов и принятия управленческих решений о закупках или продажах. Постоптимизационный анализ и детальная интерпретация «Отчета по устойчивости» и «Отчета по пределам» предоставили ключи к пониманию того, насколько устойчиво полученное решение и как оно реагирует на изменения во внешней среде.

Наконец, мы не обошли вниманием ограничения возможностей Solver и, что особенно важно, типичные ошибки, которые студенты часто допускают при работе с этой надстройкой. Были даны конкретные рекомендации по их предотвращению, что является залогом получения корректных и обоснованных результатов.

Овладение методами линейного программирования и умение применять их с помощью таких инструментов, как Microsoft Excel, является ценнейшим навыком для любого будущего экономиста, менеджера или аналитика. Это не только позволяет решать конкретные задачи оптимизации, но и развивает системное мышление, способность структурировать проблемы и принимать обоснованные решения. Для успешного написания курсовой работы важно не только выполнить все шаги, но и критически осмыслить каждый полученный результат, интерпретируя его в экономическом контексте. Рекомендуется дальнейшее изучение более сложных методов оптимизации и специализированного программного обеспечения, что откроет новые горизонты в области исследования операций.

Список использованной литературы

1. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс, 2008.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: ВШ, 2008.
3. Исследование операций в экономике / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2009.
4. Методы оптимальных решений для экономистов: Электронный учебно-методический ресурс / Зайчикова Н.А.; Самарский институт (филиал) РГТЭУ, 2011.
5. Соколов А.В., Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения. Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
6. Соколов А.В., Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
7. Основные понятия линейного программирования (методическое пособие).
8. Решение симплекс методом задачи ЛП: пример и алгоритм (учебное пособие).
9. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Основы и примеры (учебный материал).
10. Графический метод решения задачи линейного программирования (учебное пособие).
11. Основные понятия линейного программирования (лекция/методичка) // kuzstu.ru. URL: https://kuzstu.ru/upload/iblock/d7c/d7c00e12911993439408e063d8ff11e1.pdf.
12. Загрузка надстройки «Поиск решения» в Excel // Служба поддержки Майкрософт. URL: https://support.microsoft.com/ru-ru/office/%D0%B7%D0%B0%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B7%D0%BA%D0%B0-%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BA%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B2-excel-61292671-3347-496e-8e43-157d191685dd.
13. Двойственность в линейном программировании // Онлайн-калькулятор. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=dual.
14. Графический метод решения ЗЛП онлайн // Онлайн-калькулятор. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=graphic.
15. Решение задач линейного программирования графическим методом // МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=lp_graf.
16. Связь между решениями прямой и двойственной задач (методическое пособие).
17. Шаг 9. Основные понятия линейного программирования (учебный материал).
18. Линейное программирование (учебное пособие).
19. Примеры задач линейного программирования // Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Bstudy. URL: https://bstudy.net/603175/ekonomika/primery_zadach_lineynogo_programmirovaniya.
20. Графический метод решения задачи линейного программирования (учебный материал).
21. Теория двойственности в линейном программировании. Двойственный симплекс-метод (стр. 1) // pandia.ru. URL: https://pandia.ru/text/78/395/3690.php.
22. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (методические указания).
23. Теневая цена ресурса (учебное пособие).
24. Надстройка Поиск решения // HCXL. URL: https://www.hcxl.ru/nadstroyka-poisk-resheniya/.
25. 1.6. Примеры экономических задач линейного программирования. Задача о выборе оптимальных технологий (методическое пособие).
26. Симплекс-метод // Онлайн-калькулятор. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=simplex.
27. Графический метод решения задач линейного программирования // Политехнический Колледж № 50. URL: https://pk50.mskobr.ru/attach_files/upload_users_files/5e0037a3424d8.pdf.
28. Двойственность в линейном программировании // Справочник технического переводчика. URL: https://slovar-lopatnikov.ru/slovar/d/dvojstvennost-v-linejnom-programmirovanii/.
29. Двойственные оценки, двойственные цены // Экономико-математический словарь. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/3444.
30. Презентация на тему: Свойства двойственных оценок (учебный материал).
31. Решение задач линейного программирования в Excel // МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=lp_excel.
32. Линейное программирование в Excel // Онлайн-калькулятор. URL: https://www.matburo.ru/tv_sub.php?p=lp_excel_online.
33. Задачи линейного программирования (методическое пособие).
34. Теневые цены // Экономико-математический словарь. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/3444.
35. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Курганский государственный университет. URL: https://kurgansu.ru/wp-content/uploads/2019/02/%D0%97%D0%90%D0%94%D0%90%D0%A7%D0%98-%D0%9B%D0%98%D0%9D%D0%95%D0%99%D0%9D%D0%9E%D0%93%D0%9E-%D0%9F%D0%A0%D0%9E%D0%93%D0%A0%D0%90%D0%9C%D0%9C%D0%98%D0%A0%D0%9E%D0%92%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%AF.pdf.
36. Компьютерное решение задачи линейного программирования при помощи excel (учебное пособие).