Каждый студент знает это чувство: тянешь билет на экзамене, а там — та самая транспортная задача, от которой бросает в холодный пот. Но что, если взглянуть на нее не как на проблему, а как на интересный квест? Задача по поиску самого выгодного маршрута, самого умного плана распределения ресурсов. Эта статья — ваш надежный проводник в этом квесте. Мы обещаем: к концу прочтения этот «сложный билет» превратится в четкий и абсолютно выполнимый алгоритм. Мы пройдем весь путь вместе: от простой и понятной теории, которая заложит фундамент, до небольшой «магии» в Microsoft Excel, которая позволит решать такие задачи автоматически и безошибочно. Забудьте о панике — давайте разбираться.
Что представляет собой транспортная задача и каковы ее условия
Если отбросить сложную терминологию, суть транспортной задачи — найти самый дешевый способ доставить однородный товар оттуда, где он есть, туда, где он нужен. В этой модели всегда есть три ключевых элемента:
- Поставщики — это пункты отправления (например, заводы или склады), у каждого из которых есть ограниченный запас продукции.
- Потребители — это пункты назначения (магазины, стройплощадки), у каждого из которых есть определенная потребность в этой продукции.
- Тарифы — это стоимость перевозки одной единицы товара от каждого конкретного поставщика к каждому конкретному потребителю.
Сама по себе транспортная задача — это частный случай более общей области математики, известной как линейное программирование. Главное условие для начала решения — определить ее тип. Задачи бывают двух видов:
- Закрытая (сбалансированная) задача: Общий объем запасов у всех поставщиков в точности равен общему объему потребностей всех потребителей. Это идеальный сценарий.
- Открытая (несбалансированная) задача: Сумма запасов не совпадает с суммой потребностей. Паниковать не стоит! Эта ситуация решается очень просто: если запасов больше, чем нужно, мы создаем фиктивного потребителя, который «заберет» все излишки. Если потребностей больше, чем запасов, — вводится фиктивный поставщик, который «поставит» недостающее количество. Тарифы перевозок для такого фиктивного участника всегда равны нулю.
Таким образом, любую открытую задачу мы сначала превращаем в закрытую, чтобы можно было применить стандартные алгоритмы решения.
Как подготовить рабочее пространство для решения в Excel
Теория — это хорошо, но практика лучше. Microsoft Excel — идеальный инструмент для решения транспортной задачи. Он нагляден и автоматизирует все сложные вычисления. Чтобы подготовить рабочую область, нужно создать простую и логичную структуру из трех таблиц (матриц).
Шаг 1: Матрица тарифов. Это ваша исходная информация. Создайте таблицу, где по строкам будут перечислены поставщики, а по столбцам — потребители. В ячейках на пересечении укажите стоимость перевозки единицы товара (тарифы). Рядом со строками поставщиков создайте столбец с их запасами, а под столбцами потребителей — строку с их потребностями.
Шаг 2: Матрица перевозок. Это ключевая таблица, в которой и будет находиться ответ. Скопируйте структуру первой таблицы (названия поставщиков и потребителей), но все ячейки с тарифами оставьте пустыми. Именно эти пустые ячейки Excel будет заполнять, подбирая оптимальный план. Это наши переменные.
Шаг 3: Матрица итоговой стоимости. Эта таблица будет показывать, во сколько нам обходится план из второй матрицы. В каждой ее ячейке должна стоять формула, которая умножает объем перевозки из соответствующей ячейки «Матрицы перевозок» на стоимость из «Матрицы тарифов». А в отдельной ячейке (назовем ее «Общая стоимость») просуммируйте значения всех ячеек из этой третьей матрицы. Именно эту итоговую сумму мы и будем минимизировать.
Когда эти три таблицы готовы, у нас есть все необходимое для начала расчетов. Наша «карта» готова. Теперь нужен первоначальный маршрут.
Находим первоначальный план самым простым методом северо-западного угла
Чтобы найти оптимальное решение, нужно с чего-то начать. Нам нужен любой первоначальный (опорный) план, который просто удовлетворяет все потребности и вывозит все запасы. Метод северо-западного угла — самый простой и быстрый способ это сделать, хотя и самый «грубый».
Его главный принцип — полное игнорирование тарифов. Мы просто заполняем матрицу перевозок по строгому алгоритму:
- Начинаем с левой верхней ячейки (условного «северо-западного угла» таблицы).
- В эту ячейку записываем максимально возможное количество груза. Это число ограничено либо запасом поставщика в этой строке, либо потребностью потребителя в этом столбце. Выбираем меньшее из двух.
- Если мы полностью исчерпали запас поставщика, вычеркиваем эту строку и смещаемся на ячейку вниз.
- Если мы полностью удовлетворили потребность потребителя, вычеркиваем этот столбец и смещаемся на ячейку вправо.
- Повторяем этот процесс, двигаясь по таблице, пока все запасы не будут распределены, а все потребности — удовлетворены.
В результате мы получим работающий план. Но так как этот метод совершенно не смотрит на стоимость перевозок, итоговая сумма расходов почти всегда будет очень далека от оптимальной. Его ценность не в качестве результата, а в скорости получения отправной точки для дальнейшей оптимизации.
Как найти более выгодный стартовый план методом наименьшей стоимости
Если метод северо-западного угла был простым, но неэффективным, то метод наименьшей стоимости (или минимального элемента) — это уже более осмысленный подход. Его логика проста и понятна: давайте с самого начала будем использовать самые дешевые маршруты.
Алгоритм здесь следующий:
- Просматриваем всю матрицу тарифов и находим ячейку с самой низкой стоимостью перевозки.
- Именно в эту ячейку в нашей матрице перевозок записываем максимально возможный объем груза (снова выбираем минимум из запаса поставщика и потребности потребителя).
- Вычеркиваем из рассмотрения строку поставщика, чей запас исчерпан, или столбец потребителя, чья потребность удовлетворена.
- Среди всех оставшихся (не вычеркнутых) ячеек снова ищем ту, у которой минимальный тариф, и повторяем процесс.
- Продолжаем до тех пор, пока все товары не будут распределены.
Если сравнить итоговую стоимость плана, полученного этим методом, с результатом метода северо-западного угла, разница будет очевидна. План, построенный на основе минимальной стоимости, почти всегда оказывается значительно дешевле. Существуют и более продвинутые методы, например, метод аппроксимации Фогеля, который часто дает решение, максимально близкое к идеальному, но для понимания основ достаточно и этого.
Этот план уже гораздо лучше. Но является ли он самым лучшим из всех возможных? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужен строгий математический инструмент проверки.
Почему первоначальный план нужно проверять и в чем суть метода потенциалов
Представьте, что мы составили план перевозок. У нас есть «загруженные» маршруты (по которым идет товар) и «свободные» (по которым перевозки равны нулю). Главный вопрос оптимизации звучит так: а не станет ли наш план дешевле, если мы перекинем часть груза с одного из загруженных маршрутов на какой-нибудь свободный?
Именно для ответа на этот вопрос и служит метод потенциалов. Его суть заключается во введении особых числовых характеристик для каждого поставщика и каждого потребителя — так называемых «потенциалов». Эти потенциалы можно представить как некие скрытые «ценности» или «индексы» для каждой строки и каждого столбца нашей таблицы.
Логика метода строится на простом правиле. Для каждого загруженного маршрута должно выполняться условие: Сумма потенциалов его поставщика и потребителя равна тарифу этого маршрута. Опираясь на это правило, мы можем рассчитать значения всех потенциалов.
А дальше начинается самое интересное: мы используем эти рассчитанные потенциалы, чтобы оценить все свободные маршруты. Для каждой пустой ячейки мы проверяем, не выгоднее ли она, чем сумма ее потенциалов. Если мы находим свободный маршрут, для которого тариф оказывается меньше, чем сумма потенциалов его участников, — это прямой сигнал: план не оптимален, и его можно удешевить, переместив часть груза сюда. Если же таких «выгодных» свободных маршрутов нет, то наш план является окончательным и самым лучшим.
Практикум по улучшению решения с помощью метода потенциалов
Этот этап требует максимальной концентрации, так как он демонстрирует «механику» оптимизации. Допустим, мы нашли опорный план (например, методом наименьшей стоимости) и хотим проверить его на оптимальность.
Шаг 1: Расчет потенциалов. Мы присваиваем первому поставщику потенциал, равный нулю (U₁ = 0). Далее, используя правило «Потенциал поставщика + Потенциал потребителя = Тариф» для всех заполненных ячеек, мы как в уравнении находим потенциалы для всех остальных строк (Uᵢ) и столбцов (Vⱼ).
Шаг 2: Оценка свободных ячеек. Теперь, зная все потенциалы, мы вычисляем «оценки» для всех пустых ячеек по формуле: Оценка = Тариф — (Потенциал поставщика + Потенциал потребителя). Мы ищем ячейки с отрицательной оценкой.
Шаг 3: Улучшение плана. Если мы нашли ячейку с отрицательной оценкой — ура, план можно сделать дешевле! Эта ячейка должна стать загруженной. Для этого мы строим так называемый цикл пересчета — замкнутый путь, который начинается в этой «перспективной» ячейке, проходит через несколько других уже заполненных ячеек и возвращается в начало. Двигаться по циклу можно только по горизонтали и вертикали.
Шаг 4: Перераспределение груза. Расставляем в вершинах цикла знаки «+» (в новой ячейке) и «-» (в следующей) поочередно. Находим минимальный объем перевозки среди ячеек со знаком «-». Это число мы вычитаем из всех «минусовых» ячеек и прибавляем ко всем «плюсовым». В результате одна из старых ячеек обнулится, а наша новая станет заполненной. Общая стоимость перевозок уменьшится.
После этого мы получили новый, улучшенный план. И теперь весь процесс — расчет потенциалов, оценка ячеек — нужно повторить заново, пока среди свободных ячеек не останется ни одной с отрицательной оценкой. Как видите, вручную это довольно трудоемко. К счастью, Excel делает это за доли секунды.
Автоматизируем все расчеты через надстройку «Поиск решения» в Excel
Ручные методы важны для понимания логики, но на практике для получения быстрого и гарантированно точного ответа используется специальная надстройка Excel — «Поиск решения» (Solver). Если вы не видите ее во вкладке «Данные», ее нужно один раз включить через «Файл» -> «Параметры» -> «Надстройки». Это кульминация нашей работы, превращающая сложный процесс в несколько кликов.
Вот пошаговая инструкция по использованию «Поиска решения» на нашей подготовленной модели:
- Указать целевую ячейку. В поле «Оптимизировать целевую функцию» укажите ячейку, где у вас считается общая стоимость всех перевозок (сумма произведений тарифов на объемы). Ниже выберите опцию «Минимум», так как наша цель — минимизировать затраты.
- Указать изменяемые ячейки. В поле «Изменяя ячейки переменных» выделите всю вашу «Матрицу перевозок» — те самые пустые ячейки, которые Excel должен заполнить оптимальным образом.
-
Добавить ограничения. Это самый важный шаг. Нам нужно задать правила игры. Нажмите «Добавить» и последовательно введите три группы ограничений:
- Ограничения по запасам: Сумма всех ячеек в каждой строке «Матрицы перевозок» должна быть равна запасу соответствующего поставщика. Это нужно сделать для каждой строки-поставщика.
- Ограничения по потребностям: Сумма всех ячеек в каждом столбце «Матрицы перевозок» должна быть равна потребности соответствующего потребителя. Это нужно сделать для каждого столбца-потребителя.
- Неотрицательность: Все ячейки «Матрицы перевозок» должны быть больше либо равны нулю, ведь мы не можем перевозить отрицательное количество товара.
Убедитесь, что выбран метод решения «Симплекс-метод ЛП» (поскольку это задача линейного программирования). Теперь смело нажимайте кнопку «Найти решение». Через мгновение Excel выдаст сообщение, что решение найдено, а ваша «Матрица перевозок» будет заполнена оптимальными значениями.
Как правильно интерпретировать результаты и сформулировать ответ
Программа выдала нам заполненную таблицу. Финальный и очень важный шаг, особенно на экзамене, — это правильно прочитать и грамотно оформить полученный ответ. Просто показать таблицу недостаточно.
Итоговая, заполненная «Матрица перевозок» и есть ваш оптимальный план. Его нужно описать текстом. Например, если в ячейке на пересечении «Склад 2» и «Магазин 3» стоит число 150, ваш ответ должен содержать фразу: «Со Склада 2 необходимо отправить 150 единиц продукции в Магазин 3».
Далее, укажите итоговую минимальную стоимость. Это значение находится в вашей целевой ячейке («Общая стоимость»), которую «Поиск решения» и минимизировал. Ответ должен звучать так: «Минимальные суммарные транспортные расходы при выполнении данного плана составят X денежных единиц».
Например, в реальном кейсе это может быть задача по распределению трех сортов бумаги для печати пяти разных книг. Ответ будет четко указывать, сколько тонн бумаги каждого сорта нужно направить в типографию для печати каждой конкретной книги, чтобы общая себестоимость была минимальной.
Таким образом, вы не просто показываете цифры, а даете развернутое, осмысленное решение поставленной задачи, что всегда высоко ценится.
Мы прошли весь путь: от постановки задачи и знакомства с ее правилами до получения готового, оптимального ответа. Давайте еще раз, кратко, закрепим последовательность действий, которая теперь должна быть у вас в голове.
Ключевой алгоритм предельно прост: сначала мы грамотно описываем условия задачи в Excel, создавая матрицы тарифов и будущих перевозок. Затем мы запускаем надстройку «Поиск решения», правильно указав целевую функцию, переменные и все ограничения. И в конце — анализируем полученный результат, превращая таблицу с цифрами в четкий и ясный текстовый ответ. Знание ручных методов, таких как «северо-западный угол» или «метод потенциалов», нужно для глубокого понимания того, что происходит «под капотом». Но на практике именно Excel является вашим главным инструментом для скорости и точности. Теперь транспортная задача — это не повод для страха, а возможность продемонстрировать свои навыки. Удачи на экзамене!
Список использованной литературы
- Методические указания к написанию предметно-аналитических справок по решению классических оптимизационных задач с использованием Excel в рамках дисциплины «Математические методы в экономике»: Учебно-методическое пособие для студентов и слушателей ВАВТ/ Н.Е. Москаленко, Г.А. Шапошникова; ГОУВПО Всероссийская академия внешней торговли Минэкономразвития России. – М.: ВАВТ, 2009.-60 с.
- Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.:ЗАО Финстатинформ, 2000-136 с.